Số Chính Phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A. Lý thuyết

I- Định nghĩa

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

II- Tính chất

1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n \[\in \] N).

4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng  3n + 2 ( n  \[\in \] N ).

5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc  9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng  bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Chứng minh là một số là số chính phương

Câu 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:          A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + \[{{y}^{4}}\]  là số chính phương.

Giải:

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + \[{{y}^{4}}\]

             = (\[{{x}^{2}}\,+\,5xy+4{{y}^{2}})({{x}^{2}}\,+5xy\,+6{{y}^{2}})+{{y}^{4}}\] 

Đặt \[{{x}^{2}}\,+5xy+\,5{{y}^{2}}\,=t\,\,\,\,\,\,\,\,(t\in Z)\] thì

          A = (\[t-{{y}^{2}})(t+{{y}^{2}})\,+{{y}^{4}}={{t}^{2}}-{{y}^{4}}+{{y}^{4}}={{t}^{2}}={{({{x}^{2}}+5xy+5{{y}^{2}})}^{2}}\]

Vì  x, y, z \[\in \] Z nên \[{{x}^{2}}\in Z,\,\,\,\,\,5xy\in Z,\,\,\,\,5{{y}^{2}}\,\in \,\,Z\,\,\,\Rightarrow \,{{x}^{2}}+5xy+5{{y}^{2}}\,\in \,Z\]

Vậy A là số chính phương.

Câu 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên  liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Giải:

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n \[\in \] Z). Ta có:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

                                          = (\[{{n}^{2}}\,+3n)({{n}^{2}}\,+3n\,+\,2)\,+\,1\,\,\,\,\,\,(*)\]

Đặt  \[{{n}^{2}}\,+\,3n\,=t\,\,\,\,(t\,\in N)\] thì (*)  = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2

                                               = (n2 + 3n + 1)2

Vì n \[\in \] N nên n2 + 3n + 1 \[\in \] N.  Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.

Câu 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.

Giải:

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = \[\frac{1}{4}\]k (k + 1)(k + 2). 4= \[\frac{1}{4}\]k(k + 1)(k + 2). \[\left[ (k+3)-(k-1) \right]\]

                                   = \[\frac{1}{4}\]k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - \[\frac{1}{4}\] k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

             - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương

Câu 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương n2 + 2n + 12

Giải:

Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12  = k2 (k \[\in \] N)

\[\Rightarrow \]  (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 \[\Leftrightarrow \]k2 – (n + 1)2 = 11 \[\Leftrightarrow \] (k + n + 1)(k – n - 1) = 11

Câu 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương n(n + 3)

Giải:

Đặt n(n + 3) = a2 (n \[\in \] N) \[\Rightarrow \] n2 + 3n = a2      \[\Leftrightarrow \] 4n2 + 12n = 4a2

                                                                   \[\Leftrightarrow \](4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2

                                                                   \[\Leftrightarrow \] (2n + 3)2 – 4a2 = 9

\[\Leftrightarrow \](2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9

Dạng 3: Tìm số chính phương

Câu 1: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.

Giải:

Đặt \[\overline{abcd\,}\,=\,{{k}^{2}}\] ta có \[\overline{ab}-\overline{cd}=1\] và k \[\in \] N, 32 \[\le \] k < 100

Suy ra : 101\[\overline{cd}\] = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) \[\Rightarrow \] k + 10 \[\vdots \] 101 hoặc k – 10 \[\vdots \] 101

Mà (k – 10; 101) = 1  \[\Rightarrow \] k + 10 \[\vdots \] 101

Vì 32 \[\le \] k < 100 nên 42 \[\le \] k + 10 < 110 \[\Rightarrow \] k + 10 = 101 \[\Rightarrow \] k = 91

\[\Rightarrow \] \[\overline{abcd}\] = 912 = 8281

Câu 2: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.

Giải:

Gọi số chính phương phải tìm là: \[\overline{aabb}\] = n2 với a, b \[\in \] N, 1 \[\le \] a \[\le \] 9; 0 \[\le \] b \[\le \] 9

Ta có: n2 = \[\overline{aabb}\] = 11. \[\overline{a0b}\] = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b)      (1)

Nhận xét thấy \[\overline{aabb}\] \[\vdots \] 11 \[\Rightarrow \] a + b \[\vdots \] 11

Mà 1 \[\le \] a \[\le \] 9; 0 \[\le \] b \[\le \] 9 nên 1 \[\le \] a + b \[\le \] 18 \[\Rightarrow \] a + b = 11

Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương

Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn \[\Rightarrow \] b = 4

Số cần tìm là: 7744

Câu 3: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.

Giải:

Gọi số phải tìm là \[\overline{abcd}\] với a, b, c, d nguyên và 1 \[\le \] a \[\le \] 9; 0 \[\le \] b, c, d \[\le \] 9

\[\overline{abcd}\] chính phương \[\Rightarrow \] d \[\in \left\{ 0,\,1,\,4,\,5,\,6,\,9 \right\}\]

d nguyên tố \[\Rightarrow \] d = 5

Đặt \[\overline{abcd}\] = k2 < 10000 \[\Rightarrow \] 32 \[\le \] k < 100

k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 \[\Rightarrow \] k tận cùng bằng 5

Tổng các chữ số của k là một số chính phương \[\Rightarrow \] k = 45

\[\Rightarrow \] \[\overline{abcd}\] = 2025

Vậy số phải tìm là: 2025

C. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n \[\in \] N và n >1

không phải là số chính phương.

Bài 3: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số  hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.

Bài 4: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.

Bài 5 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.

Bài 6 : Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.

Bài 7: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

Bài 8: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu.

 

 

 

 

Bài viết gợi ý:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (P1)

4. Quan hệ giữa thứ tự và các phép toán

5. Giải bài toán bằng phương pháp lập phương trình

6. Phương trình tích

7. Phương trình bậc nhất một ẩn