Số Hoàn Hảo - The Numbers Of 2H

Ở trong bài viết này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn một loại số đặc biệt. Đó là các số hoàn hảo, cùng với đó là các tính chất thú vị của nó.

Định lý 9.1. Ký hiệu $\sigma (n)$ là tổng các ước số của $n$. Nếu $n=p_1^{a_1}\ldots p_s^{a_s}$, lúc đó \[\sigma (n) = \dfrac{{{p_1}^{{a_1} + 1} – 1}}{{{p_1} – 1}} \ldots \dfrac{{{p_s}^{{a_s} + 1} – 1}}{{{p_s} – 1}}.\]

Chứng minh. Tất cả những ước số của $n$ có dạng \[p_1^{x_1}\ldots p_s^{x_1},\,\quad 0\le x_1\le a_1,\,\ldots,0\le x_s\le a_s.\] Từ đó ta có \[\begin{align*} \sigma (n) =& \sum\limits_{{x_1} = 0}^{{a_1}} {\sum\limits_{{x_2} = 0}^{{a_2}} { \ldots \sum\limits_{{x_s} = 0}^{{a_s}} {\left( {p_1^{{x_1}}p_2^{{x_2}} \ldots p_s^{{x_s}}} \right)} } } \\ &= \sum\limits_{{x_1} = 0}^{{a_1}} {p_1^{{x_1}}\sum\limits_{{x_2} = 0}^{{a_2}} {p_2^{{x_2}} \ldots \sum\limits_{{x_s} = 0}^{{a_s}} {p_s^{{x_s}}} } } \\ &= \left( {\dfrac{{p_1^{{a_1}} – 1}}{{{p_1} – 1}}} \right)\left( {\dfrac{{p_2^{{a_2}} – 1}}{{{p_2} – 1}}} \right) \ldots \left( {\dfrac{{p_s^{{a_s}} – 1}}{{{p_s} – 1}}} \right). \end{align*}\]

$\square$

Một hệ quả trực tiếp của định lý này là:

Định lý 9.2. Nếu $\gcd\left( m,\,n\right)=1$, lúc đó $\sigma (mn)=\sigma (m)\sigma (n)$.

Chú ý. $\sigma(n)$ là một hàm số học. Một hàm số học có tính chất như trong Định lý 9.2 gọi là hàm nhân tính.

Định nghĩa. Một số nguyên dương $n$ được gọi là số hoàn hảo nếu $\sigma(n)=2n$.

Một ví dụ của số hoàn hảo đó là \[6=1+2+3,\,\quad 28=1+2+4+7+14.\]

Định lý 9.3. Với $p=2^n-1$ là một số nguyên tố. Lúc đó \[\dfrac{1}{2}p(p+1)=2^{n-1}(2^n-1)\] là một số hoàn hảo. Đồng thời mọi số hoàn hảo chẵn đều ở dưới dạng này.

Chứng minh. Đầu tiên, từ Định lý 9.1 ta có \[\sigma\left(\dfrac{1}{2}p(p+1)\right) = \dfrac{{{2^n} – 1}}{{2 – 1}}\dfrac{{{p^2} – 1}}{{p – 1}} = ({2^{n – 1}})({2^n} – 1) = p(p + 1).\]

Giờ với $a$ là số hoàn hảo chẵn bất kì. Khi đó $a$ có dạng \[a=2^{n-1}u,\,\quad\quad u>1,\,\quad 2\nmid u.\] Lúc đó, theo Định lý 9.2 ta có, \[2^nu=2a=\sigma(a)=\dfrac{2^n-1}{2-1} \sigma(u),\] và vì vậy \[\sigma(u)=\dfrac{{{2^n}u}}{{{2^n} – 1}} = u + \dfrac{u}{{{2^n} – 1}}.\] Nhưng $u$ và $\dfrac{u}{2^n-1}$ đều là ước số của $u$. Từ $\sigma(u) $ là tổng của tất cả những ước số của $u$, nó kéo theo là $u$ chỉ có duy nhất hai ước số, vì thế $u$ là mộ số nguyên tố và $\dfrac{u}{2^n-1}=1$. Định lý được chứng minh.

$\square$

Sau đây tôi muốn đưa ra một số bài tập để các bạn hiểu thêm về loại số đặc biệt này.

Bài tập 1. Kiểm tra rằng $\sigma(m)=\sigma(n)=m+n$ với các cặp $(m,\,n)$ sau: \[(284,\,220),\quad (17296,\,18416),\quad (9363584,\,9437056).\]

Bài tập 2. Chứng minh rằng nếu một số nguyên dương là tích của những ước đúng của nó, lúc đó nó phải là một luỹ thừa bậc ba của một số nguyên tố hoặc là một tích của hai số nguyên tố phân biệt.