Số Phức Là Gì? Các Dạng Số Phức Toán Học Lớp 12? - DINHNGHIA.VN

Tìm hiểu về số phức là gì?

Định nghĩa số phức là gì?

Số phức là biểu thức dạng \(a + bi\) trong đó a, b là số thực và \(i^2=−1\) Đối với số phức \(z = a + bi\) thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của \(z, i\) là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Nhận xét về số phức

• Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo \(b = 0\)
• Số phức \(z = a + bi\) có \(a = 0\) được gọi là số thuần ảo hay là số ảo
• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau. Số phức \(z = a + bi\) và \(z’ = c + di\) bằng nhau \Leftrightarrow a = c và \(b = d\) Ví dụ: tìm các số thực \(x, y\) biết \((2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i\) Lời giải: Vì hai số phức bằng nhau nên \(\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = x + 2 & \\ 3y = y + 2 & \end{matrix}\right.\) Suy ra \(x = 1, y = 1\)

Mô đun của số phức

Khái niệm module của số phức là gì?

Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của \(\vec{OM}\) chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|. Ta có: \(|z|=|\vec{OM}|= |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

Số phức liên hợp là gì?

Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là \(\bar{z}=a-bi\) Ví dụ: \( z = 1 + 2i\) thì \(\bar{z}=1 – 2i\)

Một số tính chất của số phức liên hợp:

• là một số thực.
• =
• =

Xem chi tiết >>> Số phức liên hợp là gì? Cách giải số phức bằng máy tính cầm tay Casio

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức \(z = a + bi\) được xác định được bởi cặp số thực (a; b) Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a,b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Các phép toán với số phức

Cộng trừ số phức

Số đối của số phức \(z = a + bi\) là \(-z = -a – bi\) Phép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức Cho \(z = a + bi\) và \(z’ = c + di. \) Tổng quát: \(z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\) \(z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i\) Ví dụ: \((5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i\) \((5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1)i = -1 + i\)

Phép nhân số phức

Phép nhân số phức có tính chất như phép nhân số thực Tổng quát: \((a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\) Ví dụ : \((2 – 3i)(6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – 12i2 = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i\)

Phép chia số phức

Số nghịch đảo của số phức \(z=a+bi≠0\) là \(z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}\) Hay \(\frac{1}{a + bi} = \frac{a – bi}{a^{2} + b^{2}}\) Cho hai số phức \(z=a+bi≠0\) và \(z′=a′+b′i\) Thì \(\frac{z}{z’} = \frac{z’\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}\) hay \(\frac{a’ + b’i}{a + bi} = \frac{(a’ + b’i)(a – bi)}{a^{2} + b^{2}}\)

Ví dụ: Tìm \(z=\frac{4+2i}{1+i}\) Giải: Ta có \(z(1 + i) = 4 + 2i.\) Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của \(1 + i\) là \(1 – i\) ta được: \((1 + i)(1 – i)z = (1 – i)(4 + 2i)\) \(=> 2z = 6 – 2i\) \(=> z = 3 – i\) Vậy: \(3-i=\frac{4+2i}{1+i}\)

Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức cho số phức \(z\) với \(z≠0\) được biểu diễn bởi vector \(\vec{OM}\) với M(a;b). Góc lượng giác \((\vec{Ox},\vec{OM}) = \varphi + 2k\pi , k\epsilon \mathbb{Z}\) Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của \(z\). Gọi \(φ\) là một acgumen và \(r > 0\) là mô đun của số phức \(z = a + bi\) khác 0 dạng lượng giác của \(z\) là: \(z=r(acos\varphi +isin\varphi )\) Với \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) và \(φ\) định bởi \(cos\varphi =\frac{a}{r}\) và \(sin\varphi =\frac{b}{r}\) Ghi chú:

• \(|z| = 1 ⇔z=(cos\varphi +isin\varphi )\), \(φ∈R\)
• \(z = 0\) thì \(|z| = r = 0\) nhưng acgumen của \(z\) không xác định xem như tùy ý.

Nhân chia số phức ở dạng lượng giác: Cho \(z=r(cos\varphi +isin\varphi )\), \(z’=r’(cos\varphi’ +isin\varphi’)\) \((r >0, r’ >0)\) \(z.z’=r.r’(cos(\varphi+\varphi’) +isin(\varphi+\varphi’) )\) \(\frac{z}{z’}=\frac{r}{r’}[cos(\varphi -\varphi ‘)+isin(\varphi -\varphi ‘)]\) khi \(r > 0\)

Xem chi tiết >>> Số phức lượng giác và cách chuyển đổi số phức lượng giác

Ứng dụng của số phức là gì?

Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình Xét hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} f(x;y) = g(x;y) (1) & \\ h(x;y) = k(x;y) (2) & \end{matrix}\right.\) Lấy (2) nhân i sau đó cộng/trừ (1) vế theo vế ta được: \(f(x;y) + h(x;y)i = g(x;y) + k(x;y)i\) (*) Đặt \(z = x + yi\), biểu diễn (*) thông qua các đại lượng z, mô đun z…

Ví dụ: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x + \frac{3x – y}{x^{2}+y^{2}} = 3 (1) & \\ y = \frac{x + 3y}{x^{2} + y^{2}} (2)& \end{matrix}\right.\) Giải: Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được: \(x + yi + \frac{(3x-y)-(x + 3y)i}{x^{2} + y^{2}} = 3\) \(\Leftrightarrow x + yi+ \frac{3(x – yi)}{x^{2} + y^{2}} – \frac{(x-yi)i}{x^{2} + y^{2}} = 3 (*)\) Đặt \(z = x + yi\) với \(x, y ϵR.\)

\(\Rightarrow (*) \Leftrightarrow z + \frac{(3 – i)\bar{z}}{\left | z \right |^{2}} = 3 \Leftrightarrow z + \frac{(3 – i)}{z} = 3\) \(⇔ z = 2 + i\) hoặc \(z = 1 – i\) \(x + yi = 2 + i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2 & \\ y = 1 & \end{matrix}\right.\) \(x + yi = 1 – i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 & \\ y = -1 & \end{matrix}\right.\) Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: \((x;y) = (2;1), (x;y) = (1,-1)\)

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về số phức là gì cũng như những nội dung liên quan. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng về chủ đề bài viết số phức là gì, các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn các bạn, đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nhé <3

Xem thêm >>> Số phức nghịch đảo là gì? Cách giải bài tập số phức nghịch đảo

Xem thêm >>> Số phức Elip và Các dạng toán liên quan tới số phức Elip