Số Phức - Vườn Toán

Trang chủ » Số đối Của Số Phức Là Gì » Số Phức - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Số phức

Hôm nay chúng ta sẽ học về số phức. Điểm mấu chốt của số phức là chúng ta chấp nhận một số mà chúng ta sẽ ký hiệu là $i$. Số $i$ này rất đặc biệt vì $$i^2 = -1.$$ Như vậy số phức sẽ có dạng $$a + ib$$ trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Nếu $b=0$ thì $a + ib = a$ là số thuần thực, còn nếu $a=0$ thì $a + ib = ib$ là số thuần phức. Sau đây là ví dụ về số phức: $$1+ i, ~~ 2 - 3i, ~~ -\sqrt{3} + 4i, ~~5i - 4, ~~6, ~~i, ~~-3i, ~~4 + 2i, \dots$$ Đầu tiên chúng ta sẽ học về những phép tính đại số cơ bản như cọng, trừ, nhân, chia của số phức. Phép cọng và trừ thì đơn giản và hiển nhiên như những ví dụ sau $$(3 + 2i) + (4 + i) = 7 + 3i, ~~(3 + 2i) - (4+i) = -1 + i,$$ $$(2 + i) + (3 - 4i) = 5 - 3i, ~~ (2 + i) - (3 - 4i) = -1 + 5i,$$ $$2i + (3i + 1) = 1 + 5 i, ~~ 2i - (3i + 1) = -1 - i,$$ Một cách tổng quát thì $$(a + i b) + (c + i d) = (a+c) + i (b+d) , ~~ (a + i b)- (c + i d) = (a-c) + i (b - d). $$ Phép nhân thì chúng ta cần sử dụng đẳng thức $i^2 = -1$, ví dụ như $$(3 + 2i) (4 + i) = 12 + 3i + 8i + 2 i^2 = 12 + 11 i - 2 = 10 + 11 i,$$ $$(2 + i) ( 3 - 4i) = 6 - 8i + 3i - 4 i^2 = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i,$$ $$2i (3i+1) = 6 i^2 + 2i = -6 + 2i .$$ Một cách tổng quát thì $$(a + i b)(c + i d) = ac + i ad + i bc + i^2 bd = (ac - bd) + i (bc + ad ) .$$ Phép chia: đối với phép chia, chúng ta nhớ lại phép chia của căn thức, ví dụ, nếu chúng ta muốn tính $$\frac{1 + 4 \sqrt{3}}{5 + 2 \sqrt{3}},$$ chúng ta sử dụng hằng đẳng thức $$(5 + 2 \sqrt{3})(5 - 2 \sqrt{3}) = 5^2 - (2 \sqrt{3})^2 = 25 - 12 = 13.$$ Như vậy $$\frac{1 + 4 \sqrt{3}}{5 + 2 \sqrt{3}} = \frac{(1 + 4 \sqrt{3})(5 - 2 \sqrt{3})}{(5 + 2 \sqrt{3})(5 - 2 \sqrt{3})}= \frac{5 - 2 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3} - 24}{25 - 12} = \frac{-19 + 18 \sqrt{3}}{13} = -\frac{19}{13} + \frac{18}{13} \sqrt{3}.$$ Tương tự như vậy, đối với phép chia chúng ta sử dụng đẳng thức $$(a + i b)(a - ib ) = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2 .$$ Như vậy $$\frac{c + i d}{a + i b} = \frac{(c + i d)(a - ib)}{(a + ib)(a - ib)} = \frac{(ac + bd) + i(ad - bc)}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + i \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}.$$ Ví dụ $$\frac{3 + 2i}{4 + i} = \frac{(3 + 2i)(4 - i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{12 - 3i + 8 i - 2 i^2}{16 - i^2} = \frac{14 + 5i}{17} = \frac{14}{17} + \frac{5}{17} i,$$ $$\frac{2+i}{3 - 4i} = \frac{(2+i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3+4i)} = \frac{6 + 8i + 3 i + 4 i^2}{9 - 16 i^2} = \frac{2 + 11 i}{25} = \frac{2}{25} + \frac{11}{25} i,$$ $$\frac{2i}{3i + 1} = \frac{2i(1 - 3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{2i - 6 i^2}{1 - 9 i^2} = \frac{6 + 2i}{10} = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i,$$ Số phức liên hợp: ở trên, chúng ta thấy ở trong phần phép chia, chúng ta đã sử dụng hai số phức $a + i b$ và $a - ib$ với nhau bởi vì tích của chúng là một số thực $$(a + i b)(a - ib ) = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2.$$ Hai số phức này rất tiện dụng khi dùng với nhau. Chúng ta gọi hai số phức $a + i b$ và $a - ib$ là hai số phức liên hợp. Chúng ta dùng ký hiệu $\overline{z}$ để chỉ số phức liên hợp của $z$, tức là $$\overline{a + i b} = a - ib, ~~~~\overline{a- ib} = a + ib.$$ Trong trường hợp đặc biệt, số phức liên hợp của $a$ chính là $a$, còn số phức liên hợp của $ib$ là $-ib$. Trị tuyệt đối: đối với số thực, chúng ta đã biết về trị tuyệt đối $$|5| = 5, ~~~ |-5| = 5.$$ Bây giờ, mở rộng khái niệm này ra đối với số phức, trị tuyệt đối của số phức $z = a + ib$, ký hiệu là $|z|$ được định nghĩa bằng $$|z| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ Từ đó suy ra $$|z|^2 = a^2 + b^2 = (a + ib)(a - ib) = z ~ \overline{z}.$$ Sau đây là một vài ví dụ $$|3 + 2i| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13},$$ $$|2 - i| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5},$$ $$|3i| = \sqrt{0+9} = 3,$$ $$|2| = \sqrt{4 + 0} = 2.$$ Trong trường hợp đặc biệt, chúng ta có $|5| = 5$, $|-5|=5$ và $|3i| = 3$, $|-3i| = 3$. Hằng đẳng thức Fibonacci Trị tuyệt đối có một tính chất quan trọng sau đây $$|u|~|v| = |uv|.$$ Tính chất này tương đương với hằng đẳng thức Fibonacci sau đây $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 .$$ Thật vậy, nếu $u = a + ib$ và $v = c + id$ thì $uv = (ac - bd) + i(ad + bc)$ và $$|u| = \sqrt{a^2 + b^2},$$ $$|v| = \sqrt{c^2 + d^2},$$ $$|uv| = \sqrt{(ac-bd)^2 + (ad + bc)^2}.$$ Như vậy đẳng thức $|u| |v| = |uv|$ trở thành $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 .$$ Nếu sau này các bạn lỡ quên hằng đẳng thức này mà muốn nhớ lại nó, thì các bạn có thể làm các bước sau đây để thiết lập lại hằng đẳng thức.
  • Đầu tiên, viết hai số phức bất kỳ và nhân lại với nhau $$(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc), $$
  • Sau đó, thay dấu cọng thành dấu trừ, $$(a - ib)(c - id) = (ac - bd) - i (ad + bc),$$
  • Cuối cùng, nhân hai đẳng thức lại với nhau $$[(a + ib)(a - ib)] [(c + id)(c - id)] = [(ac - bd) + i (ad + bc)] [(ac - bd) - i (ad + bc)]$$ và suy ra hằng đẳng thức $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 .$$
Hôm nay chúng ta đã học sơ qua về số phức, chúng ta tạm dừng ở đây. Có lẽ các bạn sẽ ngạc nhiên khi biết rằng số phức được dùng trong số học rất nhiều. Kỳ sau chúng ta sẽ học thêm về số phức và một vài ứng dụng nho nhỏ. Sau này khi học về dãy số, chúng ta cũng sẽ dùng đến số phức. Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Làm các phép cộng, trừ, nhân, chia cho các cặp số sau:
  • $3 + 4i$, $2 + 3i$;
  • $4i$, $2-i$;
  • $7 - i$, $2 + 4i$;
  • $5 - 2i$, $3 + i$;
  • $4 + 3i$, $-i$.
2. Tìm số phức liên hợp cho các số sau: $5 + 3i$, $4-2i$, $1 + i$, $-4$, $-1 + 2i$, $5i$, $-4i$. 3. Tính giá trị tuyệt đối cho các số phức sau: $2 + 3i$, $2-3i$, $4 + i$, $4-i$, $5 + 2i$, $5-2i$, $6$, $-6$, $2 - i$, $2 + i$, $4i$, $-4i$. 4. Tính $$i^{3}, ~~~~i^{4}, ~~~~i^5, ~~~~i^6, \dots.$$ Tìm công thức tổng quát cho $i^n$. 5. Chứng minh rằng $$\left| \frac{u}{v} \right| = \frac{|u|}{|v|}.$$ 6. Chứng minh rằng $$|u + v| \leq |u| + |v|.$$ 7. Chứng minh rằng tồn tại $\phi$ để $$z = |z| (\cos{\phi} + i ~ \sin{\phi}).$$ 8. Dùng quy nạp để chứng minh $$(\cos{\phi} + i ~ \sin{\phi})^n = \cos{(n ~\phi)} + i ~ \sin{(n ~\phi)}.$$ 9. Chứng minh rằng $$(\cos{\alpha} + i ~\sin{\alpha})(\cos{\beta} + i ~\sin{\beta}) = \cos{(\alpha + \beta) + i ~\sin{(\alpha + \beta)}} .$$ 10. Chứng minh rằng tồn tại hai số tự nhiên $a$ và $b$ thoã mãn $$a^2 + b^2 = 5^{2013}.$$ Labels: công thức Moivre, đại số, Fibonacci, hằng đẳng thức, lượng giác, số phức Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2013 (26)
    • ▼  tháng 1 (2)
      • Công thức Moivre
      • Số phức

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Số đối Của Số Phức Là Gì