Số Thực Là Gì? Tính Chất, Thuộc Tính Và Các Dạng Bài Tập Về Số Thực

Toán học là một trong những môn học bắt buộc gắn liền với mỗi học sinh từ tiểu học cho đến hết trung học phổ thông tại Việt Nam. Những kiến thức về toán học luôn là vô tận và rất phong phú. Bài viết này sẽ giúp bạn giải đáp toàn bộ thắc mắc về số thực là gì, ví dụ và các tính chất của số thực. 

Contents

• 1 Số thực là gì?
• 2 Tính chất của số thực
• 3 Các thuộc tính của số thực
  • 3.1 Thuộc tính đầu tiên
  • 3.2 Thuộc tính thứ hai
• 4 Tập hợp các số thực
• 5 Các dạng bài tập toán thường gặp

Số thực là gì?

Số thực là số được định nghĩa bởi các thành phần của chính nó. Trong đó tập hợp số thực được xem như là hợp của tập hợp các số vô tỉ với tập hợp các số hữu tỉ. Số thực này có thể là đại số hoặc số siêu việt. Tập hợp số thực được đặt làm đối trọng với tập hợp của số phức. Số thực được mô tả một cách không chính thức theo nhiều cách. Số thực thường sẽ bao gồm cả số dương, số 0 và số âm.

Trong toán học thì số thực là một giá trị của một đại lượng liên tục, được biểu thị bằng một khoảng cách dọc theo một đường thẳng. Tính từ thực này được giới thiệu vào thế kỷ 17 bởi một nhà toán học người Pháp tên là Rene Descartes, ông là người phân biệt giữa nghiệm thực và ảo của đa thức.  

Xem thêm: Số chính phương là gì? Đặc điểm và một số bài toán ví dụ

Các số thực sẽ bao gồm tất cả các số hữu tỉ, bao gồm các số nguyên và số thập phân. Ví dụ như số nguyên -5, phân số 4/3 và tất cả cả các số vô tỉ như: √2(1.41421356…, căn bậc 2 của số 2, số đại số vô tỉ). Nằm trong các số vô tỉ là số siêu việt, chẳng hạn như π(3.14159256…). Ngoài việc đo khoảng cách thì số thực còn được sử dụng để đo các đại lượng khác như thời gian, năng lượng, khối lượng, vận tốc và rất nhiều đại lượng khác.

Về tính chất thì tập hợp số thực là tập hợp vô hạn và không đếm được. Nghĩa là khi tập hợp các số tự nhiên và tập hợp của tất cả các số thực thì đều là tập hợp vô hạn. Không thể có hàm đơn ánh từ số thực tới các số tự nhiên, lực lượng của tập hợp tất cả các số thực thường lớn hơn rất nhiều so với tập hợp của tất cả các số tự nhiên.

Tập hợp các số thực sẽ được ký hiệu là R.

Tính chất của số thực

Các tính chất cơ bản của số thực:

• Bất kỳ số thực nào khác 0 thì số số âm hoặc là số dương.
• Tổng và tích của hai số thực không âm cũng chính là một số thực không âm. Điều này đồng nghĩa với việc chúng được đóng trong các phép toán này và tạo thành một vành số dương. Từ đó nó tạo ra một thứ tự tuyến tính của các số thực dọc theo một trục số.
• Những số thực sẽ tạo nên một tập hợp vô hạn các số mà không thể đơn ánh tới tập hợp vô hạn của các số tự nhiên. Điều này chứng tỏ có nhiều số thực hơn so với các phần tử trong bất kỳ tập hợp đếm được nào khác. 

• Số thực được sử dụng để thực hiện các phép đo đại lượng liên tục. Chúng có thể được hiển thị bằng các biểu diễn thập phân, hầu hết chúng có một chuỗi các các chữ số vô hạn ở bên phải của dấu thập phân và chúng thường được biểu diễn ví dụ như: 324.832122147…. Trong đó dấu chấm lửng nói ra rằng vẫn còn rất nhiều chữ số nữa sẽ xuất hiện.

Các thuộc tính của số thực

Số thực có hai thuộc tính cơ bản đó là trường có thứ tự và thuộc tính cận trên thấp nhất.

Thuộc tính đầu tiên

Thuộc tính này sẽ chỉ ra các số thực bao gồm một trường, với phép cộng và phép nhân cùng với phép chia cho các số khác không. Chúng có thể được sắp xếp hoàn toàn trên một trục số hoành theo cách tương thích với phép cộng và phép nhân.

Thuộc tính thứ hai

Thuộc tính này chỉ ra rằng nếu tập hợp một số thực không trống có giới hạn trên  thì nó có cận trên chính là những số thực nhỏ nhất. 

Tập hợp các số thực

Tập hợp của các số thực được biểu diễn qua hình vẽ dưới đây:

Xem thêm: Tích phân là gì? Các công thức tính tích phân mà bạn nên biết

Trong đó:

N: Tập hợp số tự nhiên

Z: Tập hợp số nguyên

Q: Tập hợp số hữu tỉ

I = RQ: Tập hợp số vô tỉ

R: Tập hợp số thực

Ngoài ra, một số thực còn có thể là số đại số hoặc số siêu việt.

Tập hợp số thực là tập hợp con của số phức x = a + bi, khi hệ số b = 0.

Trục số thực

Mối số thực đều sẽ được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại mỗi điểm trên trục số cũng đều biểu diễn một số thực. Chỉ có tập hợp số thực mới có thể lấp đầy trục số.

Chú ý: Các phép toán trong tập hợp các số thực cũng có các tính chất tương tự như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.

Ta có: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Các dạng bài tập toán thường gặp

Dạng 1: Các câu hỏi về bài tập hợp số:

Phương pháp sử dụng;

Các ký hiệu về tập hợp số:

N: Tập hợp các số tự nhiên

Z: Tập hợp các số nguyên

Q: Tập hợp các số hữu tỉ

I: là tập hợp các số vô tỉ

R: là tập hợp các số thực.

Ta có quan hệ giữa các tập hợp số như sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R.

Dạng 2 là tìm số chưa biết trong một đẳng thức:

Phương pháp sử dụng:

• Sử dụng từ tính chất của các phép toán 
• Sử dụng quan hệ giữa các số hạng trong một tổng và một hiệu. Quan hệ giữa các thừa số trong một tích, quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương của phép chia.
• Sử dụng đến quy tắc chuyển vế, phá ngoặc.

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức nào đó:

Phương pháp sử dụng:

• Thực hiện phối hợp các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Tuy nhiên, bạn cần chú ý đến thứ tự thực hiện.
• Rút gọn các phân số khi cần thiết
• Chú ý để vận dụng các tính chất của phép toán sao cho thích hợp.

Như vậy qua bài viết trên đây chắc hẳn bạn đọc cũng có thể hiểu được số thực là gì, tính chất và các dạng toán cũng như phương pháp có thể vận dụng để giải bài tập. Hy vọng những chia sẻ tại bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích.