Statistics 2 – Các định Lý Cơ Bản Của Xác Suất

Trang chủ » Công Thức Hai Biến Cố độc Lập » Statistics 2 – Các định Lý Cơ Bản Của Xác Suất

Có thể bạn quan tâm

Ở bài trước, chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp tính trực tiếp xác suất của các biến cố bằng các định nghĩa xác suất. Song việc áp dụng chúng không phải lúc nào cũng tiện lợi và có thể dùng được. Vì vậy, để xác định xác suất của biến cố, người ta thường không áp dụng các phương pháp tính trực tiếp mà áp dụng phương pháp gián tiếp, cho phép tính xác suất của một biến cố dựa vào xác suất đã biết của các biến cố khác có liên quan với nó thông qua các định lý xác suất, thường được gọi là định lý cộng và định lý nhân xác suất.

I. Định lý cộng xác suất

Định nghĩa 1. Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu C = A + B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra.

Định nghĩa 2. Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} nếu A xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố ấy xảy ra. Ký hiệu: \displaystyle A=\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{i}}}}.

Định nghĩa 3. Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử. Trường hợp ngược lại, nếu hai biến cố có thể cùng xảy ra trong một phép thử thì được gọi là không xung khắc.

Định nghĩa 4. Nhóm n biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau.

Chú ý rằng, việc nhận xét tính chất xung khắc hay không xung khắc của các biến cố chủ yếu dựa vào trực giác. Các khái niệm trên cho phép chúng ta phát biểu định lý cộng xác suất các biến cố xung khắc như dưới đây:

“Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc, bằng tổng xác suất của các biến cố đó.”

Định lý cộng xác suất cho hai biến cố không xung khắc xem ở mục III.

Như vậy, nếu A và B là hai biến cố xung khắc với nhau thì: \displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B). Từ định lý trên, ta có thể suy ra hệ quả:

Hệ quả 1. Xác suất của tổng các biến cố xung khắc từng đôi \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} bằng tổng xác suất của các biến cố đó: \displaystyle P(\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{i}}}})=\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{P({{A}_{i}})}}.

Định nghĩa 5. Các biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu trong kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó.

Nói cách khác, các biến có nói trên sẽ tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi với nhau và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn. Đối với nhóm đầy

Hệ quả 2. Nếu các biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúng bằng 1: \displaystyle \sum\limits_{{i=1}}^{n}{{P({{A}_{i}})}}=1.

Định nghĩa 6. Hai biến cố \displaystyle A và \displaystyle \bar{A} được gọi là đối lập nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

Hệ quả 3. Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau bằng 1: \displaystyle P(A)+P(\bar{A})=1.

II. Định lý nhân xác suất

Nối tiếp định lý cộng xác suất, mục này sẽ nghiên cứu trường hợp khi một biến cố có thể được xem như tích của các biến cố khác.

Định nghĩa 1. Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra. Ký hiệu C = A.B.

Định nghĩa 2. Biến cố A được gọi là tích của n biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố nói trên cùng đồng thời xảy ra. Ký hiệu: \displaystyle A=\prod\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{i}}}}.

Gắn liền với khái niệm về tích các biến cố là khái niệm về sự độc lập và phụ thuộc vào các biến cố đó.

Định nghĩa 3. Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại. Trong trường hợp việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm cho xác suất xảy ra của biến cố kia thay đổi thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.

Trong thực tế, việc nhận xét tính độc lập hay phụ thuộc của các biến cố chủ yếu dựa vào trực giác. Việc mở rộng khái niệm độc lập cho nhiều biến cố sẽ dẫn đến hai khái niệm khác nhau là sự độc lập từng đôi và sự độc lập toàn phần.

Định nghĩa 4. Các biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} được gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến cố đó độc lập với nhau.

Chẳng hạn, ba biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} sẽ độc lập từng đôi với nhau nếu: \displaystyle {{A}_{1}} độc lập với \displaystyle {{A}_{2}}, \displaystyle {{A}_{2}} độc lập với \displaystyle {{A}_{3}}, \displaystyle {{A}_{3}} độc lập với \displaystyle {{A}_{1}}.

Định nghĩa 5. Các biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...{{A}_{n}} được gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại.

Chẳng hạn, ba biến cố \displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} sẽ độc lập toàn phần với nhau nếu: \displaystyle {{A}_{1}} độc lập với \displaystyle {{A}_{2}}, \displaystyle {{A}_{2}} độc lập với \displaystyle {{A}_{3}}, \displaystyle {{A}_{3}} độc lập với \displaystyle {{A}_{1}}, \displaystyle {{A}_{1}} độc lập với tích \displaystyle {{A}_{2}}{{A}_{3}}, \displaystyle {{A}_{2}} độc lập với tích \displaystyle {{A}_{3}}{{A}_{1}}, \displaystyle {{A}_{3}} độc lập với tích \displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}.

Chú ý rằng: nếu các biến cố độc lập từng đôi với nhau thì từ đó chưa thể suy ra rằng chúng độc lập toàn phần với nhau. Nhưng điều ngược lại đúng, nếu các biến cố độc lập toàn phần thì chắc chắn chúng độc lập từng đôi với nhau.

Từ những khái niệm trên, chúng ta có định lý nhân xác suất cho hai biến cố độc lập như sau:

“Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích các xác suất thành phần.”

\displaystyle P(A.B)=P(A).P(B)

Từ định lý trên, ta có các hệ quả:

Hệ quả 1. Nếu A và B độc lập thì: \displaystyle P(A)=\frac{{P(A.B)}}{{P(B)}} và \displaystyle P(B)=\frac{{P(A.B)}}{{P(A)}}

khi \displaystyle P(A)>0,P(B)>0.

Hệ quả 2. Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất thành phần:

\displaystyle P(\prod\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{i}}}})=\prod\limits_{{i=1}}^{n}{{P({{A}_{i}})}}

Để xem xét trường hợp các biến cố phụ thuộc, trước hết ta xét khái niệm xác suất có điều kiện:

Định nghĩa 6. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A và ký hiệu là P(A/B).

Bây giờ, ta có thể phát biểu định lý nhân xác suất đối với một tích của các biến cố phụ thuộc:

“Xác suất của tích hai biến cố phụ thuộc A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại.”

\displaystyle P(A.B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)

Từ định lý trên, ta có thể suy ra các hệ quả sau đây:

Hệ quả 1. Nếu \displaystyle P(B)>0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng công thức: \displaystyle P(A/B)=\frac{{P(A.B)}}{{P(B)}}.

Còn nếu \displaystyle P(B)=0 thì xác suất trên không xác định. Tương tự, nếu \displaystyle P(A)>0 ta cũng có: \displaystyle P(B/A)=\frac{{P(A.B)}}{{P(A)}}. Các công thức này được suy ra trực tiếp từ định lý trên.

Hệ quả 2. Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc bằng tích xác suất của n biến cố, trong đó: xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố xét trước đó đã xảy ra.

\displaystyle P({{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}})=P({{A}_{1}}).P({{A}_{2}}/{{A}_{1}}).P({{A}_{3}}/{{A}_{1}}{{A}_{2}})...P({{A}_{n}}/{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n-1}})

Hệ quả 3. Nếu A và B độc lập thì:

\displaystyle P(A/B)=P(A) và \displaystyle P(B/A)=P(B)

III. Các hệ quả của định lý cộng và định lý nhân xác suất

1. Định lý cộng xác suất cho hai biến cố không xung khắc:

“Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó.”

\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Mở rộng định lý trên cho trường hợp tổng của n biến cố không xung khắc, ta thu được hệ quả sau đây:

Hệ quả 1. Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc được xác định bằng công thức:

\displaystyle P(\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{i}}}})=\sum\limits_{i}{{P({{A}_{i}})-\sum\limits_{{i<j}}{{P({{A}_{i}}{{A}_{j}})}}+\sum\limits_{{i<j<k}}{{P({{A}_{i}}{{A}_{j}}{{A}_{k}})}}-...+{{{(-1)}}^{{n-1}}}P({{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}})}}

Hệ quả dưới đây cho phép biểu diễn tích của n biến cố thông qua xác suất của tổng các biến cố đó:

Hệ quả 2. Xác suất của tích n biến cố bất kỳ được xác định bằng công thức:

\displaystyle \begin{array}{l}P(\prod\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{1}}}})=\sum\limits_{i}{{P({{A}_{i}})}}-\sum\limits_{{i<j}}{{P({{A}_{i}}+{{A}_{j}})}}+\sum\limits_{{i<j<k}}{{P({{A}_{i}}+{{A}_{j}}+{{A}_{k}})}}-...\\+{{(-1)}^{{n-1}}}P({{A}_{1}}+{{A}_{2}}+...+{{A}_{n}})\end{array}

Thực tế, các hệ quả đã xét ở trên được sử dụng để biến đổi các biểu thức chứa xác suất của tổng và tích các biến cố. Tùy thuộc vào đặc điểm của từng loại bài toán, trong một số trường hợp chỉ nên dùng tổng các biến cố, trong một vài trường hợp khác lại chỉ nên dùng tích các biến cố. Các công thức trên được sử dụng để thực hiện các phép biến đổi qua lại đó. Tuy nhiên, trong thực tế giải các bài toán của lý thuyết xác suất, việc vận dụng các hệ quả trên là khá phức tạp. Trong một số trường hợp, có thể chuyển qua biến cố đối lập để việc giải quyết trở nên đơn giản hơn. Ta có định lý sau:

“Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần với nhau bằng 1 trừ đi tích xác suất của các biến cố đối lập với các biến cố đó.”

\displaystyle P(\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{i}}}})=1-\prod\limits_{{i=1}}^{n}{{P({{{\bar{A}}}_{i}}}})

Trong trường hợp riêng, nếu \displaystyle P({{A}_{1}})=P({{A}_{2}})=...=P({{A}_{n}})=p thì công thức trên trở thành:

\displaystyle P(\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{A}_{i}}}})=1-{{(1-p)}^{n}}

2. Công thức Bernoulli:

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp trường hợp cùng một phép thử được lặp lại nhiều lần. Trong kết quả của mỗi phép thử có thể xảy ra hoặc không xảy ra một biến cố A nào đó, ta không quan tâm đến kết quả của từng phép thử mà quan tâm đến tổng số lần xảy ra biến cố A trong cả dãy phép thử. Chẳng hạn, nếu tiến hành sản xuất hàng loạt một loại chi tiết nào đó thì ta thường quan tâm đến tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất. Trong những bài toán như vậy, cần phải biết cách xác định xác suất để biến cố A xảy ra một số lần nhất định trong kết quả của cả một dãy phép thử. Bài toán này sẽ được giải quyết khá dễ dàng nếu các phép thử là độc lập với nhau.

Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở các phép thử khác hay không. Chẳng hạn, tung nhiều lần một đồng xu sẽ tạo nên các phép thử độc lập (vì việc hiện mặt sấp/ngửa ở lần tung này không ảnh hưởng đến việc hiện mặt sấp/ngửa ở các lần tung khác), lấy nhiều lần sản phẩm từ một lô sản phẩm theo phương thức có hoàn lại cũng tạo nên các phép thử độc lập (vì sau mỗi lần lấy: sản phẩm được hoàn lại, nên không có gì thay đổi về số lượng sản phẩm ở các lần lấy khác) … vv. Giả sử ta tiến hành n phép thử độc lập (1). Trong mỗi phép thử chỉ có hai trường hợp: hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố A không xảy ra (2); xác suất xảy ra của biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng \displaystyle p (3). Những bài toán thỏa mãn cả ba điều giả thiết trên được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli. Lúc đó, xác suất để trong n phép thử độc lập nói trên, biến cố A xuất hiện đúng x lần, ký hiệu là \displaystyle {{P}_{n}}(x), được tính bằng công thức Bernoulli sau đây:

\displaystyle {{P}_{n}}(x)=C_{n}^{x}{{p}^{x}}{{(1-p)}^{{n-x}}}

Trong đó: \displaystyle x=0,1,2,...,n.

VD: Bắn 6 viên đạn vào bia. Xác suất trúng đích của mỗi viên là 0.7. Tìm xác suất để có 3 viên trúng bia.

Giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli: (1) các phép thử (bắn súng) là độc lập; (2) có hai biến cố xảy ra trong mỗi phép thử (“đạn trúng bia” và “đạn không trúng bia”) và ở đây “đạn trúng bia” là biến cố A, (3) có xác suất của biến cố A trong một phép thử là 0.7.  Do đó, áp dụng công thức Bernoulli, xác suất để trong 6 viên có 3 viên trúng bia bằng:

\displaystyle {{P}_{6}}(3)=C_{6}^{3}{{(0.7)}^{3}}{{(0.3)}^{3}}=0.18522

3. Công thức xác suất đầy đủ:

Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},...,{{H}_{n}}, với \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},...,{{H}_{n}} là một nhóm đầy đủ các biến cố. Lúc đó, xác suất của biến cố A được tính bằng công thức xác suất đầy đủ sau đây:

\displaystyle P(A)=\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{P({{H}_{i}})P(A/{{H}_{i}})}}

Các biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},...,{{H}_{n}} thường được gọi là các giả thuyết.

VD: Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm; hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm; hộp thứ ba dựng 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lẫy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.

Giải: Gọi A là biến cố “Lấy được chính phẩm”. Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong ba biến cố sau đây:

\displaystyle {{H}_{1}} – Sản phẩm lấy ra thuộc hộp I.

\displaystyle {{H}_{2}} – Sản phẩm lấy ra thuộc hộp II.

\displaystyle {{H}_{3}} – Sản phẩm lấy ra thuộc hộp III.

Các biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}} tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Vì theo giả thiết của bài toán: lấy ngẫu nhiên một hộp, nên các biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}} là đồng khả năng, do đó:

\displaystyle P({{H}_{1}})=P({{H}_{2}})=P({{H}_{3}})=\frac{1}{3}

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}} xảy ra (tức là xác suất khi lấy được chính phẩm ở hộp I, hộp II và hộp III) bằng:

\displaystyle P(A/{{H}_{1}})=\frac{6}{{10}};P(A/{{H}_{2}})=\frac{{10}}{{15}};P(A/{{H}_{3}})=\frac{{15}}{{20}}

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có xác suất của biến cố A là:

\displaystyle P(A)=P({{H}_{1}})P(A/{{H}_{1}})+P({{H}_{2}})P(A/{{H}_{2}})+P({{H}_{3}})P(A/{{H}_{3}})

\displaystyle =\frac{1}{3}\times \frac{6}{{10}}+\frac{1}{3}\times \frac{{10}}{{15}}+\frac{1}{3}\times \frac{{15}}{{20}}=\frac{{124}}{{180}}=\frac{{31}}{{45}}

4. Công thức Bayes:

Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong n biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},...,{{H}_{n}}, với \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},...,{{H}_{n}} là một nhóm đầy đủ các biến cố. Lúc đó, ta có công thức Bayes như sau:

\displaystyle P({{H}_{i}}/A)=\frac{{P({{H}_{i}})P(A/{{H}_{i}})}}{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{P({{H}_{i}})P(A/{{H}_{i}})}}}}

Như trên đã nói, các biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}},...,{{H}_{n}} thường được gọi là các giả thuyết. Các xác suất \displaystyle P({{H}_{1}}),P({{H}_{2}}),...,P({{H}_{n}}) được xác định trước khi các phép thử tiến hành, do đó thường được gọi là các xác suất tiên nghiệm. Còn các xác suất \displaystyle P({{H}_{1}}/A),P({{H}_{2}}/A),...,P({{H}_{n}}/A) được xác định sau khi phép thử đã tiến hành và biến cố A đã xảy ra, do đó được gọi là các xác suất hậu nghiệm. Như vậy, công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giả thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra.

VD: Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, máy thứ 2 cung cấp 40% chi tiết. Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một chi tiết, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để chi tiết đó do máy thứ nhất sản xuất.

Giải: Gọi A là biến cố “Chi tiết lấy từ dây chuyền là đạt tiêu chuẩn”. Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau đây:

\displaystyle {{H}_{1}} – Chi tiết do máy một sản xuất

\displaystyle {{H}_{2}} – Chi tiết do máy hai sản xuất

Các biến cố \displaystyle {{H}_{1}},{{H}_{2}} tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố. Như vậy, áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất để chi tiết đó do máy một sản xuất bằng:

\displaystyle P({{H}_{1}}/A)=\frac{{P({{H}_{1}})P(A/{{H}_{1}})}}{{P({{H}_{1}})P(A/{{H}_{1}})+P({{H}_{2}})P(A/{{H}_{2}})}}

Theo điều kiện đầu bài: \displaystyle P({{H}_{1}})=0.6;P({{H}_{2}})=0.4;P(A/{{H}_{1}})=0.9;P(A/{{H}_{2}})=0.85.

Do đó: \displaystyle P({{H}_{1}}/A)=\frac{{0.6\times 0.9}}{{0.6\times 0.9+0.4\times 0.85}}=0.614.

Như ta đã thấy, trước khi phép thử được thực hiện, xác suất của giả thuyết \displaystyle {{H}_{1}} bằng 0.6. Còn sau khi đã biết kết quả của phép thử, thì xác suất đó thay đổi và bằng 0.614.

Tham khảo:

– Chương 1 – Giáo trình Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán – ĐH KTQD – 4th edition

Chia sẻ bài viết này trên:

Like Loading...

Related

Từ khóa » Công Thức Hai Biến Cố độc Lập