Sử Dụng Bất đảng Thức Cô Si Vào Giải Quyết Một Số Bài Toán Thực Tế ...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HÀM RỒNG -------SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH

PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Hồ Thị Bình Chức vụ: Giáo viên

SKKN (thuộc lĩnh vực môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2

2.3.1 Kiến thức cơ bản 2

2.3.2 Các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2

2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy áp dụng vào bài toán thực tế 6

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18

3.1 Kết quả thực nghiệm 18

3.2 Bài học kinh nghiệm 18

3.3 Kết luận 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểm tra, đánh giá theođịnh hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai từ hơn 30 năm qua.Hầu hết giáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kĩthuật dạy học tích cực trong quá trình đào tạo tại các trường sư phạm cũng nhưquá trình bồi dưỡng, tập huấn hằng năm Tuy nhiên, việc thực hiện các phươngpháp dạy học tích cực trong thực tiễn còn chưa thường xuyên và chưa hiệu quả Bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số là một dạng Toán khó đốivới hầu hết học sinh phổ thông, kể cả học sinh khá giỏi Trong đề thi THPTquốc gia và đề thi Học sinh giỏi các tỉnh thành, bài toán bất đẳng thức và tìmGTLN, GTNN của hàm số luôn là một bài tập ở đòi hỏi mức độ vận dụng cao.Mặc dù đa phần các bài tập đều quy về một biến và dùng kỹ thuật khảo sát hàm

số để giải quyết, song với thời gian giải quyết đề thi trắc nghiệm như hiện nay,việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời

gian Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải quyết một số bài toán thực tế trong chương trình phổ thông” làm đề tài nghiên cứu của

mình

1.2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy vào bài toán thực tế, nhằm giúp học sinhbớt khó khăn khi giải các bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm

số trong quá trình học và thi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các nămgiảng dạy từ trước đến nay

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bàitoán tổng quát

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy và học tập, khi đứng trước một bài toán bấtđẳng thức, chúng ta thương đặt ra các câu hỏi:

- Vai trò các biến trong bất đẳng thức thế nào (Bình đẳng hay không bình đẳng)

- Có những đại lượng nào có tổng hay tích là hằng số hay không

- Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi nào

- Biểu thức nào lớn, biểu thức nào bé trong bất đẳng thức

- Những công thức, hằng đẳng thức nào liên quan đến các biểu thức trong bài toán …

Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá cácbiểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức củabất đẳng thức…để giải quyết bài toán.Trong bài viết này, tôi xin nêu ra một sốphương pháp thường được sử dụng trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ởchương trình phổ thông

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Với sự thay đổi của kì thi THPT Quốc Gia kể từ năm 2017, các bài toánthực tế có thể sẽ được đưa vào các đề thi Như đề thi minh họa lần 1 và lần 2 của

Bộ Giáo Dục và Đào tạo đều có các bài toán thực tế nói chung Trước khi thựchiện đề tài này nhiều học sinh có tâm lý sợ các bài tập về các bài toán liên hệthực tế Đây là một dạng toán mới và khó nên đa số học sinh khi gặp dạng toánnày còn lúng túng và không giải được Học sinh thường làm theo phương pháphàm cơ bản sẽ mất nhiều thời gian hơn so với sử dụng bất đẳng thức Cauchy

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Kiến thức cơ bản.

Bất đẳng thức Cauchy.

Trường hợp 2 số: Cho là hai số thực dương ta có a b 2 ab 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trường hợp 3 số: Cho là ba số thực dương ta có a b c 3 abc   3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.

Mở rộng Với các số thực dương ta có

n

a a  a n a a a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.

Chú ý Trong tài liệu này, ta gọi giá trị của các biến làm cho dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra là điểm rơi của bài toán.

Lời giải Rõ ràng hai số hạng trong vế trái là nghịch đảo của nhau Do đó ta có

thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy như sau

b a  b a Đẳng thức xảy ra khi

Ví dụ 2 Cho Tìm GTNN của

Lời giải.Ở đây, do và không phải là hai số có tích không đổi nên chưa thể

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số này Do đó ta biến đổi như sau

Vậy đạt được khi

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với ta có

Lời giải Tương tự ví dụ trên ta biến đổi vế trái như sau

Và từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 4 Cho Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải.Với ý tưởng tương tự các ví dụ trước, ta cũng tìm cách tách P ra thành

tổng của các số hạng có tích không đổi và sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Ta có

Do đó

2.3.2.2 Phương pháp tách ghép, thêm bớt các số hạng

Ý tưởng chính của phương pháp này là dự đoán được điểm rơi của bài toán,

từ đó tách ghép, thêm bớt các số hạng cho phù hợp rồi sau đó sử dụng bất đẳngthức Cauchy để đánh giá

Ví dụ 1 Cho Tìm GTNN của biểu thức

Trước tiên ta dự đoán GTNN của đạt được khi Từ đó sẽ

có lời giải như sau

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số ta có

Cộng 3 bất đăng thức trên ta có

Vậy Min P = 3, đạt được khi

Ví dụ 2.Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm GTNN của biểuthức sau

Với bài toán này, nhiều học sinh mắc phải sai lầm với đánh giá

và kết luận GTNN của S là 2 Sai lầm là do dấu bằng trong đánh giá trên xảy ra khi tuy nhiên điều này không thể xảy ra với giả thiết vì

Để có phép đánh giá đúng ta phải dự đoán được điểm rơi của bài toán là

Lời giải Ta có

Từ đó

Nhận xét.Qua ví dụ trên ta nhận thấy việc dự đoán đúng điểm rơi của bài toán

là yếu tố quyết định đến việc tách ghép các số hạng một cách hợp lý.

Ví dụ 3 Cho Tìm GTNN của biểu thức

Cũng giống ví dụ trước, nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm với đánh giá trực tiếp

và kết luận Sai lầm vẫn nằm ở việc dự đoán điểm rơi vì dấu bằng trong đánh giá trên xảy ra khi không thỏa mãn giả thiết.

Ta dự đoán S đạt GTNN khi Khi đó

Lời giải

Ta có

Gọi a b, là 2 cạnh của hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bán kính R.

Gọi x là chiều dài cạnh song song bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc với

Ví dụ 4 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức

  0,025 230 

f x  x  x , trong đó x (miligam) là liều lượng thuốc được tiêm chobệnh nhân Khi đó, liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảmnhiều nhất là

A.

20miligam B 10miligam C 15miligam D 30miligam

Lời giải Chọn A

Dấu “=” xảy ra khi x 60 2  x  x 20 miligam

Ví dụ 5 Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lítbằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toànphần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:

Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy (đơn vị: mét)

Ta có: 2

2

1 1

B A

Tìm tổng x y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất

A 4 2 B 7 2

Lời giải Chọn B

Ta có S EFGH S ABCD S AHE S DHGS GCF S EBF

Để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất thì S AHE S DHGS GCFđạt giá trịlớn nhất

số phòng cho thuê giảm đi 4 %.

5

x

Hỏi nhà nghỉ phải niêm yết giá phòng là baonhiêu để đạt doanh thu cao nhất?

A 540 nghìn đồng. B 480 nghìn đồng.

C 600 nghìn đồng. D 660 nghìn đồng.

Lời giải Chọn A

Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng x% là:

Dấu " "  xảy ra khi 125  x 100 x x 12,5

Giá phòng niêm yết là: 480 4,8.12,5 540   (nghìn đồng)

Ví dụ 8 Xét các hình chóp S ABC. có SA SB SC  AB BC a  Giá trị lớn nhấtcủa khối chóp S ABC. bằng

Gọi D là trung điểm của cạnh AB Theo giải thiết  SD AB

Đặt B  2 2 2

SD a  x

Xét tam giác vuông SHD có HD2 SD2  SH2

2 2

3 4

a x

2 2

3 4

a

HD  x

Ta có .

1 3

S ABC

V  AD SC DH

2 2

Ví dụ 9 Ông Quang muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với

dung tích 3000 lít Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng.Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng cho mỗi mét vuông Hỏi chi phíthấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu?

A 6 490123 đồng B 7500000đồng C 5151214 đồng D 6500000 đồng

Lời giải Chọn A

Gọi x là chiều rộng bể, chiều dài bể là 2x  diện tích đáy là 2x2

Do thể tích bể là V 3000 l   3 m 3 nên chiều cao bể là 32

2x Diện tích xây dựng là diện tích toàn phần của bể là

x x



3 9 2

A 20.000 đồng B 15.000 đồng C 10.000 đồng D 22.000 đồng

Lời giải Chọn D

Ví dụ 11 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400 km  

Vận tốc dòng nước là 10 km/h   Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là

Với vận tốc tự thân là v (km/h), vận tốc dòng nước là 10 (km/h) thì

Vận tốc di chuyển ngược dòng của con cá hồi là : v 10 (km/h)

Thời gian để con cá hồi vượt 400 (km) ngược dòng nước là :

A 5 cm  B 4 cm  C 2 cm  D 10 cm 

Lời giải Chọn A

Dấu bằng xảy ra khi 10  x x  x 5

Ví dụ 13 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 2016 cm  Người ta cắt ở bốn góccủa tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

Dấu " "  xảy ra khi 4x 2016 2  x x 336 Vậy x 336 thì thể tích lớn nhất

Ví dụ 14 Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 vớichiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trịcủa r là:

r



Lời giải Chọn A

Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

(bỏ qua đường kính của sào)

Suy ra PQ nhỏ nhất a2 b2 nhỏ nhất

2

2

4 2

8 1

1

k a a k b b

k a b

Ví dụ 16 Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm, AB 40cm

Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong cho đến khi AB và

DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi

đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng

Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh bên bằng x, cạnh đáy bằng 60 2x

Đường cao tam giác đó là

r





Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn B

Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh OA.

Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB) thì chu vi

C đường tròn đáy bằng độ dài cung AB bằng 2  Khi đó bán kính đáy là

Ví dụ 19 Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm Biết hình nón có thểtích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ởtrên Tính bán kính của hình nón.

A 25 cm B 26 cm C 23 cm D 22 cm

Lời giải Chọn A

Đặt a 50 cm Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là x y,

 đạt giá trị nhỏ nhất

A 6 6 cm B 26 6 cm C 23 cm D 22 cm

Lời giải Chọn A

Gọi x x 0là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường trònđáy của hình nón sẽ có độ dài là x. Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳngthức 2

3.1.1 Kết quả kiểm tra

Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Lớp TổngSố bài 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9 5.0 – 6.4 3.5 – 4.9 0.0 – 3.4

Tổng 83 Trên Khá 18 chiếm 21,7% Dưới Khá 65 chiếm 78,3%

Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

I

S

chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toánliên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho họcsinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nềntảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu

3.2 Bài học kinh nghiệm

Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trướchết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt cáckiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiếnthức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu,rèn kỹ năng cho học sinh

3.3 Kết luận

Sau một thời gian nghiên cứu và được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến củađồng nghiệp đề tài hoàn thành với một số ưu nhược điểm sau:

3.3.1 Ưu điểm

- Sáng kiến đã đạt được những yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề

- Tìm hiểu và đưa ra hệ thống bài tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết

- Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá

- giỏi THPT Bên cạnh đó đề tài đưa ra bài tập khó dành cho học sinh giỏi

- Giúp học sinh có những bài tập tương tự để phát triển tư duy

học Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên trong chuyên đề nàynhững vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến

Trên đây là một số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy hoc, tìm tòi tựbồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn Các ví dụ được sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng

từ đề thi đại học các năm và đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong cả nước Mặc dù

đã cố gắng song kinh nghiệm còn rất khiêm tốn Mong nhận được sự góp ý chânthành của quý thầy cô và các bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trìnhbày để chuyên đề được hoàn thiện hơn

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinhnghiệm của mình viết, không sao chép nộidung của người khác

Hồ Thị Bình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính)

2 Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (Nguyễn Đức Tấn)

3 Báo toán học và tuổi trẻ

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Hồ Thị Bình

Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1. Áp dụng công nghệ thông tin

vào dạy học một số bài toán

trong chương Vecto- Hình

học 10

Ngành giáo dục

2 Rèn luyện tư duy giải toán

cho học sinh thông qua mối

liên hệ giữa hình học phẳng

và hình không gian

Ngành giáo dục