Sử Dụng Các Công Thức để Tính Diện Tích Và Thể Tích | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Như đã học trong Giáo trình, để tính diện tích của một hình $D,$ được bao quanh bởi đường cong kín $L$ (trong mặt phẳng) ta dùng Công thức Green

$\iint_D dxdy= \int_L xdy= -\int_L ydx= \dfrac{1}{2}\int_L (xdy-ydx),$

trong đó đường cong $L$ được định hướng dương là hướng mà nếu ta đi theo hướng đó thì miền $D$ ở bên tay trái.

Vậy trong không gian thì ta sẽ dùng Công thức Stokes thay thế! Ta sẽ phải chọn các hàm $P, Q, R$ phù hợp! Trước hết tôi nhắc lại Công thức Stokes

$\int_L (Pdx+Qdy+Rdz)=$

$\iint_D \big((Q'_x-P'_y)dxdy+(R'_y-Q'_z)dydz+(P'_z-R'_x)dzdx\big)=$

$\iint_D \big((Q'_x-P'_y)n_z+(R'_y-Q'_z)n_x+(P'_z-R'_x)n_y\big)ds$

với $n=(n_x, n_y, n_z)$ là véc-tơ pháp tuyến đơn vị định hướng mặt $D,$ đường cong $L$ được định hướng dương sao cho ở mỗi điểm trên $D$ ta đứng theo hướng của $n$ rồi nhìn xuống thì thấy đó là hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Như vậy nếu tôi chọn

$P=zn_y-yn_z, Q=xn_z-zn_x, R=yn_x-xn_y$

ta có diện tích của mặt $D$ cho bởi

$\dfrac{1}{2}\int_L \big((zn_y-yn_z)dx+(xn_z-zn_x)dy+(yn_x-xn_y)dz\big).$

Công thức Ostrogradski- Gauss cho phép ta tính thể tích của một miền $V$ (trong không gian) qua tích phân mặt loại II trên mặt $S$ bao quanh nó được định hướng theo phía ngoài của miền; và tính diện tích của mặt $S$ bằng tích phân bội trên $V!$