Sự Ra đời Của Hình Học Phi EUCLIDE (tt) - 123doc

Cho đếnđầu thế kỷ 19, công trình nghiên cứu của Nicolai Ivanovich Lobachevsky và Janos Bolyal về hình học phi Euclide độc lập nghiên cứu và đồng thờitìm ra đã giải quyết được vấn đề, mở

Mục lục

1.1 Phương pháp tiên đề 7

1.2 Hình học Euclide 8

1.3 Vấn đề về tiên đề 5 9

1.4 Sự ra đời của hình học phi Euclide 11

2 HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 16 2.1 Hình học giả Euclide 16

2.1.1 Không gian vectơ giả Euclide 16

2.1.2 Không gian giả Euclide 18

2.2 Hình học Lobachevsky (hình học Hyperbolic) 19

2.2.1 Không gian Lobachevsky 19

2.2.2 Các phép biến đổi đẳng cự của không gian Hn 20

2.2.3 Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn 21

2.2.4 Góc giữa hai đường thẳng 23

2.2.5 Siêu cầu, siêu mặt cách đều và siêu mặt cực hạn 28

2.2.6 Một số tính chất chung của siêu cầu và siêu mặt cách đều 29

2.2.7 Ứng dụng của hình học Hyperbolic 30

2.3 Hình học Elliptic 32

2.3.1 Không gian Elliptic 33

2.3.2 Khoảng cách 34

2.3.3 Góc giữa hai đường thẳng 34

2.3.4 Ứng dụng của hình học Elliptic 35

Lời cảm ơn

Được sự phân công của khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại họcQuảng Bình và sự hướng dẫn của thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm, tôi đãthực hiện đề tài: "Tìm hiểu về hình học phi Euclide"

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớithầy giáo hướng dẫn ThS Nguyễn Lê Trâm, giảng viên khoa Khoa học Tựnhiên - Trường Đại học Quảng Bình đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôithực hiện khóa luận này

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã nhiệt tìnhgiảng dạy cho tôi những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong suốt quátrình học tập và rèn luyện ở trường Đại học Quảng Bình Tôi cũng xin gửilời cảm ơn đến toàn thể người thân trong gia đình và bạn bè đã luôn quantâm, lo lắng, chăm sóc cho tôi trong thời gian qua

Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã rất cố gắng để hoànthiện nội dung lẫn hình thức nhưng do thiếu kinh nghiệm và kiến thức cóhạn nên sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận được hoànthiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Sinh viên

Lê Thị Thanh Nhã

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hình học được hình thành từ rất lâu đời và phát triển với ý tưởng phục

vụ nhu cầu cuộc sống con người Đến giai đoạn của Euclide, người ta được

mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm Cơ bản rất nổi tiếng có tất cả 13quyển, trình bày cách xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề Trong

đó, có 5 tiên đề với nội dung quan trọng Tuy nhiên, tiên đề 5 đã dẫn đếnnhiều nghi ngờ và tranh cãi có thực sự là tiên đề hay không? Hay nó cóthể được chứng minh như một định lý? Việc tìm lời giải cho bài toán này

đã thu hút rất nhiều nhà toán học trong suốt một thời gian dài Cho đếnđầu thế kỷ 19, công trình nghiên cứu của Nicolai Ivanovich Lobachevsky

và Janos Bolyal về hình học phi Euclide (độc lập nghiên cứu và đồng thờitìm ra) đã giải quyết được vấn đề, mở ra một kỉ nguyên mới của Toán học,Vật lý và nhiều ngành khoa học khác có liên quan

Nghiên cứu hình học phi Euclide chúng ta sẽ thấy được những kết quảhết sức bất ngờ và thú vị hoàn toàn khác với hình học Euclide, khác vớinhững gì mà chúng ta tưởng tượng được bằng trực giác

Với mong muốn giới thiệu, tìm hiểu về hình học phi Euclide và sự khácbiệt giữa hình học phi Euclide và hình học Euclide mà chúng ta đã đượchọc trong suốt quá trình học phổ thông, thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm

đã hướng dẫn tôi chọn đề tài "Tìm hiểu về hình học phi Euclide" làm đềtài khóa luận tốt nghiệp

2 Trình bày về một số định nghĩa, tính chất của hình học giả Euclide,hình học Hyperbolic và hình học Elliptic.

3 Giới thiệu một số ứng dụng trong tự nhiên và đời sống của hình họcphi Euclide

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: hình học phi Euclide

4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài này là lịch sử ra đời, một số mô hình,ứng dụng trong tự nhiên và đời sống của hình học Euclide

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về hình học phi Euclide

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: tham khảo, lấy ý kiến góp ý củagiảng viên hướng dẫn Khoa học, giảng viên ThS Nguyễn Lê Trâm và cácgiảng viên khác trong Bộ môn Toán, khoa Khoa học Tự nhiên - TrườngĐại học Quảng Bình

6 Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn

Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyênngành Toán có mong muốn tiếp tục tìm hiểu hình học phi Euclide Vớibản thân tôi, khóa luận này giúp tôi tìm hiểu thêm được về một loại hìnhhọc mới khác với hình học Euclide, tìm hiểu được sự ứng dụng trên thực

tế của nó mà tôi trước đây chưa được biết đến

7 Bố cục khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung khóa luậnnày gồm hai chương:

Chương 1: Sự ra đời của hình học phi Euclide

Chương này trình bày về phương pháp tiên đề, hình học Euclide và tácphẩm Cơ bản, vấn đề về tiên đề 5 và sự ra đời của hình học phi Euclide

Chương 2: Hình học phi Euclide.

Chương này trình bày một số định nghĩa, định lý trong 3 loại hìnhhọc phi Euclide: hình học giả Euclide, hình học Hyperbolic và hình họcElliptic

Chương 1

SỰ RA ĐỜI CỦA HÌNH HỌC PHI EUCLIDE

Xây dựng một lý thuyết toán học bằng phương pháp tiên đề là một nétđặc trưng của toán học hiện đại Tuy nhiên, phương pháp tiên đề đã đượcEuclide - nhà toán học cổ Hy Lạp phát hiện và được sử dụng đầu tiên khitrình bày hình học sơ cấp trong tác phẩm Cơ bản của mình

Muốn xây dựng một lý thuyết khoa học bằng phương pháp tiên đề, tacần lựa chọn một số khái niệm cơ bản (khái niệm không định nghĩa) vàmột số tiên đề (mệnh đề mà ta công nhận là đúng, không cần chứng minh)nói lên các tính chất đặc trưng của các khái niệm cơ bản Dựa vào các kháiniệm cơ bản và các tiên đề đã lựa chọn, ta có thể tìm thêm các tính chấtcủa các khái niệm cơ bản, có thể định nghĩa các khái niệm mới và nghiêncứu các tính chất của các khái niệm đó cũng như quan hệ giữa các kháiniệm Các kết quả thường được viết dưới dạng định lý, tức là các mệnh đềsuy ra từ hệ tiên đề bằng các nguyên tắc kết luận logic

Một lý thuyết suy diễn là một hệ tiên đề phải thỏa mãn 3 điều kiện: phimâu thuẫn, độc lập, đầy đủ

- Tính phi mâu thuẫn (nhất quán): yêu cầu của tính chất này là từ một

hệ tiên đề không thể dùng suy diễn logic để suy ra một kết quả mâu thuẫnvới một tiên đề nào đó hay hai kết quả mâu thuẫn với nhau

- Tính độc lập: yêu cầu của tính chất này là không có một tiên đề nàotrong hệ là hệ quả của logic của các tiên đề còn lại, tức là không có một

tiên đề nào thừa cả.

- Tính đầy đủ: Mọi định lý (mệnh đề mới không nằm trong hệ tiên đề)nói về các khái niệm có trong lý thuyết khoa học đó có thể chứng minhbằng suy diễn logic (không dựa vào trực giác)

Để chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề nào đó, ta phảidựa vào tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề khác Do đó, tính phi mâuthuẫn của một hệ tiên đề nào đó là có tính chất tương đối

Xây dựng lý thuyết toán học theo phương pháp tiên đề là một cách hìnhthức hóa Nếu chỉ hình thức hóa đối tượng nghiên cứu mà không hình thứchóa phương pháp suy diễn logic là "nửa hình thức" Các lý thuyết toánhọc hiện nay thường được trình bày theo dạng này Nếu hình thức hóa cảđối tượng nghiên cứu và cả phương pháp suy diễn logic thì gọi là "hìnhthức hóa hoàn toàn" Người ta thường nói: Phương pháp tiên đề là tácphong của toán học hiện đại

Euclide là nhà toán học nổi tiếng thời kỳAlexandria Tài liệu viết về đời riêng của ông lưulại rất ít Người ta biết rằng, ông sống ở Alexan-dria vào thời gian trị vì của vua Ptolemy I (306

- 283) Ptolemy hỏi Euclide: "Liệu có con đườngnào ngắn hơn để hiểu hình học một cách dễ dàngkhông?" Euclide trả lời: "Trong hình học không

có con đường dành riêng cho vua chúa"

Khoảng 300 năm TCN, Euclide đã viết cuốn

Cơ bản - một bộ sách gồm 13 tập được coi làcuốn giáo khoa vĩ đại nhất từ trước tới nay Cáctập của cuốn Cơ bản trình bày toàn bộ lý thuyếthình học - một lý thuyết dẫn dắt sự nghiên cứuToán học trong suốt 23 thế kỷ cho đến bây giờ.Hình học Euclide là một ý đồ trừu tượng hóa các khái niệm về không gianvật lý với mục tiêu sử dụng các tiên đề, định đề, định lý để khảo sát cáctính chất chủ yếu của không gian mà những người thời cổ đại nghĩ rằng

đó là không gian duy nhất

Trước hết, Euclide định nghĩa những yếu tố cơ bản của hình học nhưđiểm, đường thẳng, mặt phẳng - những khái niệm quen thuộc với bất kỳ

ai đã theo học chương trình hình học sơ cấp ngày nay Sau đó, Euclide nêunăm tiên đề chủ yếu:

1 Qua hai điểm chỉ vẽ được một đường thẳng;

2 Một đường thẳng có thể kéo dài mãi mãi;

3 Có thể vẽ được một đường tròn nếu biết tâm và bán kính của nó;

4 Mọi góc vuông đều bằng nhau;

5 Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo nên những góc trongcùng phía có tổng nhỏ hơn 180◦, thì hai đường thẳng này kéo dài sẽcắt nhau ở phía có hai góc trong có tổng nhỏ hơn 180◦

Các cách phát biểu tương đương:

• Tiên đề Playfair 1: "Qua một điểm cho trước không nằm trên đườngthẳng cho trước, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đườngthẳng đã cho"

• "Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180◦": cách phát biểu này

là một hệ quả của tiên đề 5 và là cách phát biểu dễ nhớ nhất

Trong khi Euclide sử dụng chủ yếu 4 tiên đề đầu tiên trong các chứngminh, tiên đề 5 không hề được sử dụng trong bất kỳ chứng minh nào Điềunày cho thấy rằng, các định lý của ông vẫn có giá trị nếu tiên đề 5 bị loại

bỏ hoặc thay thế bởi 1 tiên đề khác phù hợp với 4 tiên đề kia

Ngay cả cách phát biểu của tiên đề 5 cũng dài dòng, lủng củng, trongkhi 4 tiên đề kia đều ngắn gọn, súc tích

Ngay từ khi cuốn Cơ bản mới ra đời, các nhà hình học đã nghi ngờ về

sự cần thiết cũng như tính hiển nhiên đúng của tiên đề 5 trong toàn bộ lýthuyết này Tiên đề 5 có thật là một tiên đề hay không? Hay là nó có thểđược chứng minh như là một định lý?

1 John Playfair (1748 - 1819), nhà Toán học người Scotland Cách phát biểu tiên đề của ông trở thành phổ biến và hiện nay được hầu hết sách giáo khoa hình học trên thế giới sử dụng, kể cả Việt Nam Từ đó, tiên đề 5 thường được đồng nhất với tên gọi Tiên

đề đường thẳng song song

Có vẻ như chính Euclide cũng băn khoăn như vậy, bởi vì ông đã cố trìhoãn việc áp dụng tiên đề đó vào việc chứng minh các định lý Cho mãiđến định lý thứ 29, khi không thể dừng được, ông mới sử dụng nó vàochứng minh.

Tiên đề 5 trở thành câu hỏi, thách thức đối với các nhà Toán học trongsuốt 2000 năm từ khi cuốn Cơ sở ra đời Rất nhiều nhà Toán học đã cốgắng tìm cách chứng minh tiên đề 5 Có thể nói, trong lịch sử Toán họcchưa bao giờ có một vấn đề được nhiều người nghiên cứu đến thế (từ thế

kỷ II TCN cho đến giữa thế kỷ XIX) Hầu hết các nhà Toán học đều thấtbại Họ cứ tưởng là mình đã chứng minh được tiên đề 5, nhưng thực rakhông phải, vì trong khi chứng minh họ đã sử dụng một điều tương đươngvới tiên đề 5

• Vua Ptolemy I (306 - 283 TCN): nhà vua này đã viết một cuốn sáchbàn về tiên đề 5 rắc rối của Euclide, trong đó tìm cách chứng minhtiên đề 5 dựa trên 4 tiên đề kia Đây là một cố gắng đầu tiên thôngqua các nguồn cơ lịch sử mà chúng ta được biết về ý đồ chứng minhtiên đề 5 như một hệ quả của tiên đề đầu tiên của Euclide Do đó,Ptolemy đã cho rằng chứng minh của mình đã chứng tỏ tiên đề 5 làthừa

• Tuy nhiên, đến thế kỷ V, Proclus (410 - 485) là một triết gia, nhàToán học và sử học Hy Lạp Khi trình bày công trình lịch sử củaEuclide, ông đã nhận định rất chính xác rằng chứng minh của Ptolemythực ra đã sử dụng một giả định khác tương đương với tiên đề 5: Quamột điểm không nằm trên đường thẳng, chỉ có thể kẻ được một đườngthẳng song song với đường thẳng đã cho (chính xác là tiên đề Playfair

đã nói ở trên) Do đó chứng minh của Ptolemy là sai

• Nasiraddin (1201 - 1274, nhà Thiên văn học của Hulagu Khan) làhọc giả đầu tiên nhận thấy tầm quan trọng của một tiên đề kháctương đương với tiên đề 5 của Euclide: Tổng các góc trong một tamgiác bằng 180◦ Như những người đi trước, Nasiraddin cố gắng chứngminh tiên đề 5 rắc rối của Euclide chỉ là hệ quả của 4 tiên đề trước

nó Và cũng như những người đi trước, Nasiraddin thất bại

• Saccheri (một thầy tu dòng Jesuit, tác giả của cuốn sách Euclides obomni narvo Vindicatus - Vứt bỏ mọi thiếu sót trong hình học Euclide)

đã sử dụng phương pháp phản chứng, giả sử tiên đề 5 sai, và hi vọngtìm thấy mâu thuẫn Nhưng rồi ông chẳng thấy mâu thuẫn nào cả, màngược lại chỉ thu được kết quả khác thường, có thể có hơn một đường

thẳng đi qua một điểm cho trước song song với một đường thẳng chotrước Từ đó Saccheri đi đến 3 kết luận bất khả dĩ Cả 3 phát biểuđều phù hợp với 4 tiên đề của Euclide Cách phát biểu thứ nhất dẫnđến một hệ thống trong đó tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180◦,cách thứ hai tương ứng với tổng 3 góc trong một tam giác nhỏ hơn

180◦, cách thứ ba tương ứng với tổng 3 góc trong một tam giác lớnhơn 180◦ Nhưng ông không hề biết rằng đó chính là những khám phámới, và việc chứng minh tiên đề 5 bằng phản chứng thất bại đơn giản

vì hệ thống giả định của ông thực ra không hề sai - thực ra chúnghoàn toàn đúng về mặt Toán học!

Bây giờ tưởng tượng mặt phẳng của bạn là một miếng cao su phẳng,

và ta dùng một quả cầu lớn ấn nó ở giữa trũng xuống, và căng các phíaxung quanh sao cho áp sát vào một mặt yên ngựa Trên mặt yên ngựa này,

có một số vô hạn các đường "thẳng" song song với một đường thẳng chotrước đi qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng đã cho Ởđây, tổng 3 góc của một tam giác sẽ nhỏ hơn 180◦

Trong khảo sát ở trên, mặt phẳng nguyên thủy của chúng ta đã bị biếndạng theo kiểu Hyperbolic Ta cũng có thể làm cho mặt phẳng biến dạngthành mặt cầu bằng cách đẩy quả cầu từ dưới lên, mặt cao su phẳng sẽdần dần biến thành mặt cầu Khi đó các đường thẳng song song kéo dài bịcong trên mặt cầu và có xu hướng sẽ gặp nhau ở phía kéo dài Trên mặt

cầu, những đường tròn lớn sẽ cắt nhau Và ở đây, tổng 3 góc trong mộttam giác sẽ lớn hơn 180◦.

Yếu tố quan trọng trong cả hai trường hợp trên đó là mặt cầu và mặthyperbolic, tức là mặt phẳng đã bị biến dạng

Karl Friedrich Gauss (1777

- 1855), một thiên tài người Đức

có những đóng góp phi thường chokhoa học, là gương mặt tiêu biểucủa thế giới Toán học Gauss đãdành hàng chục năm để nghiêncứu tiên đề 5 của Euclide

Trong thời gian học đại họcGotting danh tiếng, Gauss kết bạnvới Farkas Bolyal (1775 - 1856)

Cả hai đều dành nhiều thì giờ

để thử chứng minh tiên đề 5 Năm

1804, F.Boyal nghĩ rằng mình đã tìm ra một chứng minh và soạn một bảnngắn gửi cho Gauss Tuy nhiên Gauss đã nhanh chóng tìm ra một sai lầmtrong bản chứng minh này Và năm sau F.Bolyal cũng gửi Gauss một bảnchứng minh khác nhưng cũng sai nốt

Con trai của Farkas Bolyal là Janos Bolyal (1802)

đã nắm bắt được mối bận tâm của ông bố Farkas vềtiên đề 5 và cũng khát khao muốn chứng minh tiên đề

đó từ những tiên đề và định đề khác của Euclide mặc

dù Farkas đã khuyên con đừng nên lãng phí thời gianvào một bài toán bất khả

Chuyện kể rằng, vào năm 1823, Farkas Bolyal đã viếtthư cho người con trai Janos Bolyal rằng: "Con đừng đivào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào hang khôngđáy đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố ".Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm củangười bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu tiên đề 5 củaEuclide mà không thành công Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu

"Lý thuyết các đường song song" thì F.Bolyal đã rất sợ hãi và đã viết chocon mình (trong một bức thư khác) như sau: "Con sẽ không thể nào chiếnthắng được lý thuyết các đường song song bằng con đường ấy Bố đã đi đếncuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng củangọn nến cũng không có và đã chôn vùi đó bao niềm hạnh phúc của đời

mình Khi lao vào các học thuật cô quạnh về các đường thẳng song song,con sẽ chẳng còn gì cả Con hãy lẩn tránh nó như lẩn tránh những dụcvọng thấp hèn, nó làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấyđảo sự yên tĩnh và giết chết những niềm vui của cuộc sống Bóng tối mịtmùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sángtrên trái đất tối tăm Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thựchoàn mỹ ngay chính trong hình học Chúa trời hãy cứu vớt con khỏi nhữngham mê con ôm ấp ".

Nhưng F.Bolyal không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đãlàm J.Bolyal bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau:

"Ai chứng minh được tiên đề về các đường thẳng song song, người đó sẽsáng ngời như một viên kim cương to bằng Trái Đất ") Và chàng trai trẻJ.Bolyal trẻ tuổi đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước.Tránh những thất bại của những người đi trước, J.Bolyal đã đi theo conđường riêng của mình Ông đã không tìm cách chứng minh tiên đề 5 củaEuclide mà đã xét nó như một tiên đề độc lập Và khi phủ định tiên đề 5của Euclide, J.Bolyal đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà

về sau còn được gọi là hình học phi Euclide) Các kết quả về hình học nàycủa ông cũng phong phú và chứng minh của ông cũng rất hoàn thiện.Năm 1931, J.Bolyal đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục

ở một cuốn sách của bố mình Phụ lục trình bày học thuyết tuyệt đốiđúng về không gian F.Bolyal đã viết thư cho Karl Friedrich Gauss, đềnghị Gauss cho nhật xét về công trình nghiên cứu của J.Bolyal

Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể khen ngợi công trình

đó vì như thế tức là tự khen mình: Ông nói rằng tư tưởng của J.Bolyaltrong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây Sau

đó, Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổiJ.Bolyal là một thiên tài

Phải nói rằng đánh giá trên của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toànchân thực Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi người bạn là Tolinos,Gauss đã viết: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180◦

giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học củachúng ta Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến

ta hài lòng." Và trong bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Flants AdonfTaurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọngcủa hình học phi Euclide Nhưng đó chỉ là những đoạn rời rạc, những phátkiến mặc dù đã rất sâu sắc Tuy nhiên, lúc bấy giờ Gauss đã không công

bố những kết quả nghiên cứu này của mình

Thư trả lời của Gauss đã làm cho J.Bolyal có những hiểu lầm lớn.J.Bolyal nghĩ rằng Gauss đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyềnphát minh về hệ thống hình học mới của ông Vì thế, J.Bolyal rất đaulòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học Tháng 10-1848,J.Bolyal đã được bố mình gửi cho luận văn: "Nghiên cứu về lý thuyết cácđường song song" của Nicolai Ivanovich Lobachevsky, xuất bản bằng tiếngĐức năm 1840 J.Bolyal đã ngạc nhiên, vì thấy rằng Lobachevsky cũng đã

đi đến những kết quả giống như mình và J.Bolyal cũng rất khâm phục tàinăng của Lobachevsky

Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792 - 1856)sống ở Cadan 2 là nhà toán học thiên tài cùng thời vớiJ.Bolyal Lobachevsky là giáo sư xuất sắc Hiệu trưởngcủa trường đại học Tổng hợp Cadan Ông đã tìm cáchchứng minh rằng, từ các tiên đề khác của hình học Eu-clide cổ điển, không thể suy ra tiên đề 5

Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các tiên

đề khác của hình học Euclide cổ điển và thay thế tiên

đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề 5 Ngày nay,tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevsky Tiên đềnày có nội dung như sau: "Trong mặt phẳng, qua mộtđiểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất 2 đường thẳngkhông cắt đường thẳng đã cho" Rồi từ đó, Lobachevsky đã xây dựng nênmột hình học mới không có mâu thuẫn Những kết quả hình học mới này

"trái mắt", trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình họcEuclide quen thuộc

Ngày 11-2-1826, Lobachevsky đã công bố kết quả của mình về hình họcEuclide trên diễn đàn Vật lý - Số học của Trường Đại học Tổng hợp Cadan.Sau đó, Công trình nghiên cứu về hình học phi Euclide của Lobachevskyvới tiêu đề "Về các cơ sở hình học", đã được đăng trên "Thông báo Cadan"năm 1829

Ngày nay, chúng ta gọi hình học phi Euclide (do Lobachevsky và JanosBolyal đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra) là hình học Lobachevskyhoặc Lobachevsky-Bolyal Ngày 11-2-1826 được thế giới gọi là ngày ra đờicủa hình học này

Công trình nghiên cứu của Lobachevsky và Janos Bolyal về hình họcphi Euclide là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỉ nguyênmới của Toán học, Vật lý và nhiều ngành khoa học khác có liên quan

2 Thủ đô nước Cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga

Vào năm 1882, nhà toán học Jules Henri Poincare (1854-1912) đã xâydựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của hình học Lobachevskyphẳng, khi sử dụng các vật liệu lấy từ hình học Euclide phẳng.

Đầu thế kỷ 19, tên tuổi của Lobachevsky và Janos Bolyal một lần nửađược trân trọng nhắc lại với sự ra đời của thuyết tương đối - học thuyếtmới của Albert Einstein xuất phát từ nghiên cứu chuyển động của ánhsáng đã thay đổi tận gốc quan niệm của chúng ta về không gian và thờigian, mở ra một kỉ nguyên mới về khám phá vật chất Einstein đã xây dựngthuyết tương đối trên không - thời gian 4 chiều mà thực chất là không giangiả Euclide với tích Lorentz

Chương 2

HÌNH HỌC PHI

EUCLIDE

2.1.1 Không gian vectơ giả Euclide

Cho Vn là không gian vectơ n chiều trên trường số thực Gọi

n chiều với chỉ số p, ký hiệu là E~n

p

Ta có một số định nghĩa sau:

- Độ dài (hay chuẩn) của vectơ ~a là số ||~a||p = p< ~a, ~a >p

- Số đo góc giữa hai vectơ~a và~b (có độ dài đều khác 0) là số ϕ xác địnhbởi:

cosϕ = < ~a,~b >p

||~a||p.||~b||p

- Hai vectơ~avà~bgọi là trực giao (hoặc vuông góc) với nhau nếu~a∗~b = 0

Ký hiệu~a ⊥ ~b

- Ta chọn trong không gian vectơ giả Euclide chỉ số p một cơ sở {~ei}

sao cho đối với nó biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính đối xứng η

có dạng:

η(~a,~b) =< ~a,~b >p= −a1b1 − a2b2 − − apbp+ ap+1bp+1 + + anbn,với ~a = (a1, a2, , an) và~b = (b1, b2, , bn)

Một cơ sở như vậy được gọi là cơ sở giả trực chuẩn

Chú ý rằng, đối với cơ sở giả trực chuẩn {~ei}, ta có:

là ma trận cột tọa độ của các vectơ~a và~b còn at là ma trận chuyển vị của

ma trận a Ma trận Ipn gọi là ma trận giả đơn vị cấp n chỉ số p

Đối với các cơ sở giả trực chuẩn, ta có các công thức:

Như vậy độ dài của vectơ có thể là số thực hoặc số thuần ảo Đặc biệt đốivới các vectơ cơ sở ~ej ta có ||~ej|| = i (đơn vị ảo) nếu j ≤ p và ||~ej|| = 1

nếu j > p

- Ta thấy rằng có những vectơ khác vectơ~0nhưng có độ dài bằng không,

ví dụ: || ~e1+ ~en|| = 0, các vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng, hiển nhiêncác vectơ đẳng hướng thì vuông góc với chính nó Và các nghiên cứu liênquan đến metric sẽ không thể thực hiện được trên tập các vectơ đẳnghướng

- Hệ vectơ {~bi}1,m¯ gồm các vectơ b~i 6= ~0 được gọi là hệ trực giao nếu

~

bi∗ ~bi 6= 0(∀i = ¯1, m) và ~b

i ∗ ~bj = 0(∀i 6= j; i, j = ¯1, n) (tức là chúng từngđôi một trực giao với nhau)

- Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn

- Công thức về số đo góc giữa hai vectơ~a,~b là:

Ta thấy rằng cos ϕ có thể có giá trị thực hoặc phức

- Nếu −1 ≤ cos ϕ ≤ 1 thì góc ϕ có giá trị thực

- Nếu cos ϕ > 1 thì cos ϕ = chθ = cos iθ, do đó, ϕ = iθ (trong đó θ là

Tóm lại, số đo góc trong E~n

p có thể là số thực, số thuần ảo, hoặc số phứcvới phần thực bằng π hoặc π

2.

2.1.2 Không gian giả Euclide

Một không gian affine liên kết với không gian vectơ giả Euclide E~n

p đượcgọi là không gian giả Euclide n chiều, chỉ số p, kí hiệu là Epn

Ta có một số khái niệm:

- Khoảng cách d(A, B) giữa hai điểm A và B của Epn được định nghĩa

là d(A, B) = || ~AB||

Như vậy khoảng cách d(A, B)có thể là một số thực dương, bằng 0 (mặc

dù A và B không trùng nhau) hoặc là một số thuần ảo

- Một phép f : Epn → En

p được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k > 0)nếuvới bất kỳ cặp điểm A, B và ảnh của chúng A0, B0 ta cũng có: d(A0, B0) =k.d(A, B) Phép đẳng cự là phép đồng dạng có tỉ số k = 1, tức là phépbiến đổi bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

- Siêu cầu là tập hợp những điểm có khoảng cách tới một điểm I cốđịnh bằng một số R không đổi

đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đườngthẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic

2.2.1 Không gian Lobachevsky

Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, ta lấy một siêu mặttrái xoan có phương trình:

−x20 + x21 + x22 + + x2n = 0 (2.3)

Và nó gọi là cái tuyệt đối (T )