Tải Giải Bài Tập SBT Toán 8 Bài: Ôn Tập Chương I - 123doc

Tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.... Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD.[r]

Giải SBT Toán 8 bài: Ôn tập chương 1

Câu 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB,

BC, CD, DA Tìm diêu kiện của tứ giác ABGD để EFGH là:

a Hình chữ nhật

b Hình thoi

c Hình vuông

Lời giải:

* Ta có EF là đường

trung bình của

ΔABCABC

Suy ra: EF //AC và

EF = 1/2 AC (1)

* Trong ΔABCADC có

HG là đường trung

bình

Suy ra: HG // AC và

HG = 1/2 AC (2)

Từ (l) và (2) suy ra EF // HG và EF // HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành

a, Tứ giác EFGH là hình chữ nhật EH EF AC BD⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

b, Tứ giác EFGH là hình thoi EH = EF AC = BD⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

c, Tứ giác EFGH là hình vuông AC BD AC = BD⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC Gọi M

là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC

a, Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b, Các tứ giác ADBM, ADCN

c, Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A

d, Tam giác ABC có điều kiện gìthì tứ giác AEDF là hình vuông

Lời giải:

a, Điểm M và

điểm D đối xứng

qua trục AB

Suy ra AB là

đường trung trực

của đoạn thẳng

MD

⇒ AB ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD DM ⇒

(AED) = 90o

Điểm D và điểm N đối xứng qua trục AC AC là đường trung trực của đoạn⇒ thẳng DN AC DN (AFD) = 90⇒ ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒ o

Mà (EAF) = 90o (gt) Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

b, Tứ giác AEDF là hình chữ nhật

⇒ DE // AC; DF // AB

Trong ∆ABC, ta có: DB = DC (gt)

Mà DE // AC

Suy ra: AE = EB (tỉnh chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: DF // AB

Suy ra: AF = FC (tỉnh chất đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác ADBM, ta có: AE = EB (chứng minh trên)

ED = EM (vì AB là trung trực DM)

Suy ra tứ giác ADBM là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mặt khác: AB DM⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc) Xét tứ giác ADCN, ta có: AF = FC (chứng minh trên)

DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)

Suy ra tứ giác ADCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Lại có: AC DN⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

c, Tứ giác ADBM là hình thoi AM // DB và AM = AD⇒

Hay AM // BC và AM = AD (1)

Tứ giác ADCN là hình thoi AN // DC và AD = AN⇒

Hay AN // BC và AN = AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng

Và AM = AN nên A là trung điểm của MN

Vậy điểm M và điểm N đối xứng qua điểm A

d, Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF

Ta có: AE = 1/2 AB; AF = 1/2 AC

Nên AE = AF AB = AC⇒

Vậy nếu ∆ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối

xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC

a, Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A

b, Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?

c, Tứ giác BDEC là hình gì? VI sao?

d, Chứng minh rằng BC = BD + CE

Lời giải:

Điểm D đối xứng

điểm H qua trục

AB

Suy ra AB là

đường trung trực

của HD

⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực)

⇒ ΔABCADH cân tại A

Suy ra: AB là tia phân giác của (DAH)∠(DAH)

⇒ ∠(DAH)(DAB) = A1∠(DAH)

Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC

⇒ AC là đường trung trực của HE

⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ΔABCADE cân tại A⇒

Suy ra: AC là đường phân giác của (HAE) A2 = (EAC)⇒ ∠(DAH) ∠(DAH)

∠(DAH)(DAE) = (DAH) + (HAE) = 2( A1 + A2) = 2.90∠(DAH) ∠(DAH) ∠(DAH) ∠(DAH) o = 180o D, A, E⇒ thẳng hàng

Ta có: AD = AE (vì cùng bằng AH)

Suy ra điểm A là trung điểm của đoạn DE

Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB,

AC, CD, DB Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:

a Hình chữ nhật

b Hình thoi

c Hình vuông

Lời giải:

Xét tam giác

ABC:

Ta có: EB =

EA, FA = FC

(gt)

Nên EF // BC,

EF = 1/2 BC

Xét tam giác

BDC có

HB = HD, GD

= GC (gt)

Nên HG // BC, HG = 1/2 BC

Do đó EF //HG, EF = HG

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành

a) EFGH là hình chữ nhật EH EF AD BC⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

b) EFGH là hình thoi EH = EF AD = BC⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

c) EFGH là hình thoi AD BC và AD = BC⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

Câu 5: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau ở G Gọi

H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC

a, Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành

b, Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật

c, Nếú các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK

là hình gì?

Lời giải:

a, Ta có: GD = 1/2

GB (tính chất

đường trung tuyến

của tam giác)

GH = 1/2 GB (gt)

Suy ra: GD = GH

GE = 1/2 GC (tính

chất đường trung

tuyến của tam

giác)

Suy ra GE = GK

Tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

b, Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK

Mà DH = 2/3 BD; EK = 2/3 CE

Nên DH = EK BD = CE⇒

⇒ ΔABCABC cân tại A

Vậy ΔABCABC cân tại A thì tứ giác DAHK là hình chữ nhật

c, Nếu BD CE DH EK⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒ ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD Gọi E và F theo thứ tự là

trung điểm của AB và CD

a, Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?

b, Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật

c, Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông

Lời giải:

a, * Xét tứ giác

AEFD, ta có:

AB // CD (gt) hay

AE // FD

AE = 1/2 AB (gt)

FD = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AE = FD

Tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

AD = AE = 1/2 AB Vậy tứ giác AEFD là hình thoi

* Xét tứ giác AECF, ta có: AE // CF (gt)

AE = 1/2 AB (gt)

CF = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AE = CF

Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

b, Tứ giác AEFD là hình thoi

⇒ AF ED (EMF) = 90⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒ ∠(DAH) o

AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành)

Suy ra: CE ED (MEN) = 90⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒ ∠(DAH) o

Xét tứ giác EBFD, ta có: EB = FD (vì cùng bằng AE)

EB // FD (vì AB // CD)

Tứ giác EBFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đổi song song và bằng nhau) DE // BF⇒

Suy ra: BF AF (MFN) = 1v⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒

Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật

c, Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi ME = MF⇒

ME = 1/2 MF (tính chất hình thoi)

MF = 1/2 AF (tính chất hình thoi)

Suy ra: DE = AF

⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

⇒ ∠(DAH)A = 90o Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.⇒

Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật A = 90o⇒ ∠(DAH)

Hình thoi AEFD có A = 90o nên AEFD là hình vuông∠(DAH)

⇒ AF = DE ME = MF (tính chất hình vuông)⇒

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có 2 cạnh kề bằng nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB =

2AD.

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB,

CD

a, Tứ giác DEBF là hình gì? vì sao?

b, Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm

c, Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành

Lời giải:

a, Xét tứ giác

DEBF, ta có:

AB // CD (gt) hay

DF // EB

EB = 1/2 AB (gt)

DF = 1/2 CD (gt)

Suy ra: EB = DF

Tứ giác DEBF là

hình bình hành (vì

có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

b, Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)

Tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD.

Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn

c, Xét ΔABCEOM và ΔABCFON có: (MEO) = (NFO) (so le trong)∠(DAH) ∠(DAH)

OE = OF (tính chất hình bình hành)

Suy ra: ΔABCEOM = ΔABCFON (g.c.g) OM = ON⇒

Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Câu 8: Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M là một điểm nằm giữa A và B Vẽ về

một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D Gọi I là trung điểm của CD

a, Tính khoảng cách từ I đến AB

b, Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì I di chuyển trên đường thằng nào? Lời giải:

Kẻ CE ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

AB, IH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

AB, DF ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

AB

Suy ra: CE //

DF // IH

IC = ID (gt)

Nên IH là

đường trung

bình của

hình thang

DCEF IH⇒

= (DF + CE) / 2

Vì C là tâm hình vuông AMNP nên ∆CAM vuông cân tại C

CE AM CE là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒

⇒ CE = 12 AM

Vì D là tâm hình vuông BMLK nên ∆DBM vuông cân tại D

DF BM DF là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒

⇒ DF = 1/2 BM

Vậy CE + DF = 1/2 AM + 1/2 BM = 1/2 (AM + BM)= 1/2 AB = a/2

Suy ra: IH = (a/2) / 2 = a/4

b, Gọi Q là giao điểm của BL và AN

Ta có:

AN MP (tính chất hình vuông)⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

BL MK (tính chất hình vuông)⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

MP MK (tính chất hình vuông)⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

Suy ra:

BL AN ∆QAB vuông cân tại Q cố định.⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD ⇒

M thayđổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng a/4 nên I chuyển động trênđường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng a/4

Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ

Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ.

Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng a/4