Tài Liệu Chứng Minh Công Thức Vật Lý-vận Tốc-lực Căng Dây-con Lắc ...

PHầN I CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY CủA CON LắC ĐƠN PHƯƠNG PHáP: 1.. Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ: Do con lắc chuyển động trong trường trọng lực

PHầN I

CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY

CủA CON LắC ĐƠN

PHƯƠNG PHáP:

1 Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ:

Do con lắc chuyển động trong trường trọng lực nên cơ năng bảo toàn

Chọn mốc thế năng h=o tại vị trí cân bằng O áp dụng định luật

Bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí A và B ta có

WA=WB hay :

2

.

2

B

A B

m v

mgh = mgh +

(1)

Chú ý : con lắc đơn được thả không vận tốc ban đầu từ vị trí A

Nên vA=O

Trong đó hA = IO ư IH = ư l l co s ( αo)

( )

B

h = IO ư IB = ư l l co s α

Nên thay vào biểu thức (1) ta có:

2

.

[ ( )] [ ( )]

2

B

o

m v

mg l ư lco s α = mg l ư lco s α +

Tương đương : vB = 2 g l co s [ ( ) α ư co s ( αo) ] (2)

Từ đó ta có các trường hợp sau xảy ra :

a Tại vị trí cân bằng góc α = o0 cos(oo)=1 suy ra

[ ]

. 2 1 ( )

ma x o

v = g l ư co s α (3) ( Tại VTCB vận tốc đạt giá trị cực đại )

I

O

α

O

B

A

α α OA

H

B

2

Nếu góc

0 0

10 , o 10

α ≤ α ≤ ta sử dụng công thức gần đúng :

2

2

( ) 1 2.sin 1

2 2

co s α α

α = − ≈ −

Và

2

2 0 0

0

( ) 1 2.sin 1

2 2

co s α α

α = − ≈ − Thay tất cả vào (2) ta có :

2 2

0

.

B

v = g l   α − α  

(4)

Và công thức vận tốc cực đại lúc này là : thay vào (3) :

2 0 2 0

2 1 (1 2.sin ) 2 2.sin

2 2

ma x

v g l  α  g l  α 

=  − −  =  

   

2

0

. 2 .2. 0 .

4

ma x

v g l α g l

α

≈ =

(5) Do

2

2 0 0

sin

2 4

α α

≈

Tại vị trí biên α = α0 nên vB.min = o

2.Công thức t nh sức căng dây T tại vị trí bất kỳ :

xét tại vị trí biên A ta có các lực tác dụng lên vật m là sức căng

sợi dây T và trọng lực P Theo định luật II NIUTƠN ta có :

.

P T + = m a

(6)

Chiếu (6) lên phương sợi dây hướng vào điểm treo I chiều

dương như hình vẽ :

2

( ) v B

Pco s T m

l

α

ư + =

(7)

Thay (2) vào (7) : T = mg [ 3 ( ) co s α ư 2 ( co s α0) ](8)

Tại VTCB

0

o

α = cos(oo)=1 nên :

[ ]

3 2 ( 0)

ma x

T = mg ư co s α (9)

Tại vị trí hai biên α = α0 nên :

[ ]

min ( 0) ( )

T = mg co s α = mg co s α

(10)

Nếu góc

0 0

10 , o 10

α ≤ α ≤ ta sử dụng công thức gần đúng :

2

2

( ) 1 2.sin 1

2 2

co s α α

α = ư ≈ ư

Và

2

2 0 0

0

( ) 1 2.sin 1

2 2

co s α α

α = ư ≈ ư

Suy ra :

2

2 2

2

0

0

3(1 ) 2.(1 ) 1 3.

2 2 2

T mg α α mg α

α

   

≈  ư ư ư  =  ư + 

 

 

0

o

α = cos(oo)=1 nên : (11)

P X

P

α

O

B

A

α α OA

H

B

T

I

T

4

[ ]

2

0

3 2 ( 0) 3 2.(1 )

2

ma x

T mg co s mg α

α  

= − =  − − 

 

Hay :

2

1 0

ma x

T = mg   + α  

(12)

Tại vị trí hai biên α = α0 nên :

[ ]

2 2

0

min ( 0) ( ) (1 ) (1 )

2 2

T mg co s mg co s mg α mg α

α α

= = ≈ − = −

PHầN 2 (13)

Biến thiên chu kỳ của con lắc đơn theo

nhiệt độ, độ cao và vị trí trên trái đất

PHƯƠNG PHáP: Dựa vào công thức :

0(1 )

2 l 2 l t

T

g g

α

π π +

= =

Trong đó :

o

l : là chiều dàI dây treo con lắc ở t0 = 00c

l : là chiều dàI dây treo con lắc ở t c0

α : là hệ số nở dàI ở 00C

Bài toán 1: Xác định thời gian con lắc chạy sai trong mỗi chu

kỳ

TH1: Khi ở độ cao nhất định (cùng đô cao ) có g=const và nhiệt

độ khác nhau (t1 ≠ t2 )

Con lắc chạy đúng ở nhiệt độ t1 ta có chu kỳ T1

0 1

1

(1 )

2 l t

T

g

α

π +

=

Và chu ký T2

0 2

2

(1 )

2 l t

T

g

α

π +

=

Suy ra :

1 1

2 2

1

1

T t

T t

α

α

+

=

+ (14)

Hay :

áp dụng công thúc gần đúng : với 0 < ε ≤ 1thì :

1 1 2

2

1

1

1 2 2

ε ε ε

ε

+

≈ + ư

+ (15)

thay (15) vào (14) ta có

1 1 2

2

( )

1

2

T t t

T

α ư

≈ +

Hay

1 1 2

2

( )

1

2

T t t

T

α ư

ư ≈ ⇔ 1 2 1 2

2

( )

2

T T t t

T

α

ư ư

≈

(16)

NHậN XéT:

+)Nếu t1>t2 suy ra T1>T2 chu kỳ giảm đồng hồ chạy nhanh

+)Nếu t1<t2 suy ra T1<T2 chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm

+)Độ biến thiên tương đối trong mỗi chu kỳ là:

Từ (16) suy ra

1 2 1 2

2 2

( )

2

T T t t

T

T T

α

ư ư

∆

= =

(17)

Kết luận : Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy sai một khoảng

1 2

2

( )

86400 86400.

2

t t

T

T

α

θ = ∆ = ư

(18)

6

TH2: khác độ cao ( khi g# const nhiệt độ và chiều dài =

const)

+)ở mặt đất đồng hồ chạy đúng :

2

0

0

.

2 2

.

l l R

T

g G M

π π

= =

(19)

Trong đó g0 là gia tốc rơi tự do ở gần mặt đất M, R là khối

lượng và bán kính trái đất l là chiều dài dây treo con lắc

a) ở độ cao h chu kỳ của con lắc

2

.( )

2 2

.

h

h

l l R h

T

g G M

π π +

= =

(20)

Gia tốc trọng trường ở mặt đất 0 2

.

G M

g

R

=

(21)

Gia tốc trọng trường ở độ cao h : 2

.

( )

h

G M

g

R h

=

+ (22)

ở đây ta coi trái đất hình cầu, bán kính R, khối lượng M vật

đứng cách mặt đất một khoảng h t nh từ mặt đất Từ (19), (20),

(21), (22)

Suy ra :

0

0

1

h

h

T g R

T = g = R h <

+ suy ra T0<Th

Chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm

Độ biến thiên tương đối trong mỗi chu kỳ :

0

1

h

h h

T T

T h

T T R h

ư

∆

= = <

+

Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy chậm một khoảng :

O

R

h

86400 86400.

h

T h

T R h

θ = ∆ =

+ (23)

b) ở độ sau h’(so với mặt đất) chu kỳ của quả lắc :

2

'

'

.( ')

2 2

'

h

h

l l R h

T

g G M

π π ư

= =

(24) Trong đó gh’ là gia tố

trọng trường ở độ sâu h’ 2

'

'

( ')

h

G M

g

R h

=

ư (25) M’ là khối

lượng của phần trái đất giới hạn bởi mặt cầu có bán kính (R-h’)

Gia tốc trọng trường ở mặt đất : 0 2

.

G M

g

R

=

(26)

Từ(25) và (26) suy ra

3

2

2

'

3

0

4

( ')

' 3

.( )

4

' '

.

3

h

R h

g R M R

g R h M R h

R

π ρ

π ρ

ư

 

=   =

ư ư

 

(ở đây vì trái đất hình cầu nên khối lượng được t nh như trên)

Hay

'

0

'

h

g R h

g R

ư

=

(27) lấy (19) chia ch0 (24) vế theo

vế và để ý đến (27) ta có :

2

0 '

' 0

' ' ' '

.( ) 1 1 1

' 2.

h

h

T g G M R R h h h

T g G M R h R R R

ư

= = = = ư ≈ ư <

ư

8

( Do áp dụng công thức gần đúng : ( )

1

2

1 1 1

2

ε

ε ε

± = ± ≈ ±

Suy ra T1<T2 Chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm Độ biến thiên

tương đối trong mỗi chu kỳ :

0 '

' '

'

2

h

h h

T T

T h

T T R

ư

∆

= =

Vậy mỗi ngày đêm

đồng hồ chạy sai một khoảng :

'

'

86400 86400.

2

h

T h

T R

θ = ∆ =

Chú ý : các công thức gần đúng sử dụng trong bài :

với 0 < ε ≤ 1thì 1 1 2

2

1

1

1 2 2

ε ε ε

ε

+

≈ + ư

+

hoặc : ( )

1

2

1 1 1

2

ε

ε ε

± = ± ≈ ±

hoặc: ( 1 ± ε ) n ≈ ± 1 n ε

hoặc :

1

1

2

1

ε

ε ≈

±

∓

hoặc :

1 '

1

2 2

1 '

ε ε ε

ε

+

≈ + ư

ư

hoặc :

'

1 1 ' 1

2 2

ε ε

ε ε

+ + ≈ + +