Tài Liệu Cực Trị Hàm Nhiều Biến - 123doc

Tìm các điểm dừng trong miền D, tính giá trị của hàm số tại các điểm đó Bước 2.. Tìm các điểm tới hạn trên biên L của miền D, tính giá trị tại các điểm đó.. Nếu biên không trơn tính giá

Cực trị của hàm nhiều biến

Để tìm cực trị của hàm 2 biến z = f (x, y) trong miền D ta thực hiện các bước như sau

Bước 1 Giải hệ sau để tìm các điểm tới hạn:

(

fx0 = 0

fy0 = 0 → M0(x0, y0)

Bước 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và ∆

A = fx002, B = fxy00 , C = fy002, ∆ = B2− AC

Bước 3 Xét tại điểm M0

• Nếu ∆ < 0 và A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu

• Nếu ∆ < 0 và A < 0 thì (x0, y0) là cực đại

• Nếu ∆ = 0 thì chưa thể kết luận được và phải xét bằng phương pháp khác

• Nếu ∆ > 0 thì (x0, y0) không là cực trị

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm

f (x, y) = xy +50

x +

20 y

Tìm điểm dừng







fx0 = y −50

x2 = 0

fy0 = x − 20

y2 = 0 Giải hệ ta được điểm dừng là

M (5, 2) Tính các đạo hàm riêng cấp 2

A = fx002 = 100

x3 , B = fxy00 = 1, C = fy002 = 40

y3

∆ = B2− AC = 1 − 4000

x3y3

Tại M (5, 2) thì ∆ = −3, A = 4

5 suy ra M (5, 2) là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu

f (5, 2) = 30

Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số

f (x, y) = x3+ 3xy2− 30x − 18y

Tìm các điểm dừng của hàm số này

(

fx0 = 3x2+ 3y2− 30 = 0

fy0 = 6xy − 18 = 0 ⇒

(

x2+ y2= 10

xy = 3

Giải hệ ta được 4 điểm dừng:

M1(3, 1), M2(1, 3), M3(−3, −1), M4(−1, −3),

Ta có:

A = fx002 = 6x, B = fxy00 = 6y, C = fy002 = 6x

∆ = B2− AC = 36(y2− x2)

• Tại M1, ∆ = −288 < 0, A = 18 > 0 nên M1 là điểm cực tiểu f (M1) = −72

• Tại M2, ∆ = 288 > 0 nên M2 không là cực trị

• Tại M3, ∆ = −288 < 0, A = −18 < 0 nên M3 là điểm cực đại f (M3) = 72

• Tại M4, ∆ = 288 > 0 nên M4 không là cực trị

Bài toán tìm cực trị của hàm z = f (x, y) thỏa mãn ràng buộc ϕ(x, y) = 0 Ta giải theo trình tự sau:

Bước 1 Lập hàm Largrăng (λ là hằng số thỏa mãn hệ ở bước 2)

F (x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y)

Bước 2 Giải hệ phương trình:







Fx0(x, y, λ) = 0

Fy0(x, y, λ) = 0

ϕ(x, y) = 0

⇔







fx0(x, y) + λϕ0x(x, y) = 0

fy0(x, y) + λϕ0y(x, y) = 0 ϕ(x, y) = 0

→ M0= (x0, y0, λ0)

Bước 3 Tính d2F

d2F = ∂

2F

∂x2dx2+ 2∂

2F

∂x∂ydxdy +

∂2F

∂y2dy2

Bước 4 Xét dấu của d2F

• Nếu d2F (M0) > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện

• Nếu d2F (M0) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện

• Nếu d2F (M0) = 0 thì còn phải xét thêm

Điều lưu ý ở đây các vi phân dx, dy không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn hệ thức

dϕ(x0, y0) = ϕ0x(x0, y0)dx + ϕ0y(x0, y0)dy = 0

Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm

f (x, y) = x2+ y2− 2x − 2y

với điều kiện

x2+ y2− 2 = 0 Lập hàm Lagrănge

F (x, y, λ) = x2+ y2− 2x − 2y + λ(x2+ y2− 2)

Giải hệ







Fx0(x, y, λ) = 0

Fy0(x, y, λ) = 0

x2+ y2− 2 = 0

⇔







x − 1 + λx = 0

y − 1 + λy = 0

x2+ y2− 2 = 0

Ta được nghiệm

M1(1, 1, 0), M2(−1, −1, −2)

∂2F

∂x2 = 2 + 2λ, ∂

2F

∂x∂y = 0,

∂2F

∂y2 = 2 + 2λ Tính vi phân cấp hai của hàm F

d2F = ∂

2F

∂x2dx2+ 2∂

2F

∂x∂ydxdy +

∂2F

∂y2dy2 = (2 + 2λ)(dx2+ dy2)

• Tại M1(1, 1, 0) ta có d2F (M1) = 2(dx2+ dy2) > 0 Suy ra (1, 1) là điểm cực tiểu có điều kiện

• Tại M2(−1, −1, −2) ta có d2F (M2) = −2(dx2 + dy2) < 0 Suy ra (−1, −1) là điểm cực đại có điều kiện

Ví dụ 4 Tìm cực trị của hàm

f (x, y) = x2+ 4xy + y2

Với điều kiện

x + y = 2 Lập hàm Lagrănge

F (x, y, λ) = x2+ 4xy + y2+ λ(x + y − 2) Giải hệ







Fx0(x, y, λ) = 0

Fy0(x, y, λ) = 0

x + y − 2 = 0

⇔







2x + 4y + λ = 0 2y + 4x + λ = 0

x + y − 2 = 0

Ta được nghiệm

M (1, 1, −6)

∂2F

∂x2 = 2, ∂

2F

∂x∂y = 4,

∂2F

∂y2 = 2 Tính vi phân cấp hai của hàm F

d2F = ∂

2F

∂x2dx2+ 2 ∂

2F

∂x∂ydxdy +

∂2F

∂y2dy2 = 2dx2+ 8dxdy + 2dy2

Tại điểm M (1, 1, −6) vi phân cấp 2 của hàm F

d2F (M ) = 2dx2+ 8dxdy + 2dy2 Đến đây ta chưa thể xác định được dấu của d2F (M ) Tuy nhiên ta chú ý rằng từ điều kiện

x + y − 2 = 0 ⇒ d(x + y − 2) = 0 ⇐⇒ dx + dy = 0 ⇐⇒ dx = −dy

Khi đó

d2F (M ) = 2dx2− 8dx2+ 2dx2= −4dx2 < 0 Vậy điểm (1, 1) là điểm cực đại có điều kiện f (1, 1) = 6

đóng bị chặn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục z = f (x, y) trên miền đóng

và bị chặn D với biên L

Bước 1 Tìm các điểm dừng trong miền D, tính giá trị của hàm số tại các điểm đó Bước 2 Tìm các điểm tới hạn trên biên L của miền D, tính giá trị tại các điểm đó Bước 3 Nếu biên không trơn tính giá trị cuả hàm số tại điểm giao cuả các phần biên Bước 4 So sánh các giá trị ở trên ta suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

f (x, y) = x2− y2 trong miền

D = {x2+ y2 ≤ 4}

• Tìm điểm dừng trong miền D Giải hệ:

(

fx0 = 0

fy0 = 0 ⇐⇒

( 2x = 0 2y = 0

Điểm dừng M1(0, 0) và f (M1) = 0

• Tìm các điểm dừng có điều kiện x2+ y2 = 4

F (x, y, λ) = x2− y2+ λ(x2+ y2− 4) Giải hệ







Fx0(x, y, λ) = 0

Fy0(x, y, λ) = 0

x2+ y2− 4 = 0

⇔







2x + 2λx = 0

−2y + 2λy = 0

x2+ y2− 4 = 0 được các nghiệm

N1(0, 2, 1), N2(0, −2, 1), N3(2, 0, −1), N4(−2, 0, −1)

Do đó ta được 4 điểm dừng có điều kiện

M2(0, 2), M3(0, −2), M4(2, 0), M5(−2, 0) Và

f (M2) = f (M2) = −4, f (M4) = f (M5) = 4

• Giá trị lớn nhất trên D là 4 đạt tại M4, M5

Giá trị nhỏ nhất trên D là -4 đạt tại M2, M3

Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

f (x, y) = x2+ y2− 2x − y

trong miền

D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}

• Giải hệ:

(

fx0 = 0

fy0 = 0 ⇐⇒

( 2x − 2 = 0 2y − 1 = 0

Điểm dừng là (1,1

2) ⇒ f (1,

1

2) = −

5 4

• Tìm điểm tới hạn trên biên

+ Khi y = 0, 0 < x < 2, ta có f (x, 0) = x2− 2x, điểm dừng (1, 0), f (1, 0) = −1

+ Khi x = 0, 0 < y < 2, ta có f (0, y) = y2− y, điểm dừng (0,1

2), f (0,

1

2) =

−1 4 + Khi x + y = 2 ⇔ y = 2 − x, 0 < x < 2, ta có f (x, 2 − x) = 2x2− 5x + 2, điểm dừng là (5

4,

3

4), f (

5

4,

3

4) =

−9 8

• Giao của các phần biên (0, 0); (0, 2); (2, 0) Khi đó

f (0, 0) = 0; f (0, 2) = 2; f (2, 0) = 0

• Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 đạt tại (0, 2)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −5

4 đạt tại (1,

1

2)

1 z = 4x − x3− xy2

2 z = x2+ y2− 6x + 8y

3 z = x4− 4x2− 4y2+ y4+ 8xy

4 z = x3+ y3− 3xy

5 z = 2x4+ y4− 4x2− 4y

6 z = xy + 50

x +

20

y , (x > 0, y > 0)

7 z = x2+ xy + y2− 4 ln x − 10 ln y

8 z = x + y − xey

9 z = e2x(x + y2+ 2y)

10 z = xy −1

3(x

3+ y3)

4.2 Tìm cực trị có điều kiện

1 z = x2+ 12xy + 2y2 nếu 4x2+ y2 = 25

2 z = x

a+

y

b nếu x

2+ y2 = 1

3 z = x2+ y2 nếu x

a +

y

b = 1

4 z = xy nếu x

2

8 +

y2

2 = 1

1 z = x2− xy + y2 trên miền D = {|x| + |y| ≤ 1}

2 z = 2(x2+ y2) + (x − 1)2+ (y − 1)2 trên miền OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)

3 z = x2+ y2− 6x + 8y trên miền D = {x2+ y2 ≤ 1}

4 z = x2− y2 trên miền D = {x2+ y2 ≤ 2}

5 z = x2+ y2− 2x − y trên miền D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}