Tài Liệu Cực Trị Hàm Nhiều Biến - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

tài liệu cực trị hàm nhiều biến

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (149.98 KB, 6 trang )

Cực trị của hàm nhiều biến1 Cực trị không điều kiệnĐể tìm cực trị của hàm 2 biến z = f(x, y) trong miền D ta thực hiện các bước nhưsauBước 1. Giải hệ sau để tìm các điểm tới hạn:fx= 0fy= 0→ M0(x0, y0)Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và ∆A = fx2, B = fxy, C = fy2, ∆ = B2− ACBước 3. Xét tại điểm M0• Nếu ∆ < 0 và A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu• Nếu ∆ < 0 và A < 0 thì (x0, y0) là cực đại• Nếu ∆ = 0 thì chưa thể kết luận được và phải xét bằng phương pháp khác.• Nếu ∆ > 0 thì (x0, y0) không là cực trị.Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàmf(x, y) = xy +50x+20yTìm điểm dừngfx= y −50x2= 0fy= x −20y2= 0Giải hệ ta được điểm dừng làM(5, 2)Tính các đạo hàm riêng cấp 2A = fx2=100x3, B = fxy= 1, C = fy2=40y3∆ = B2− AC = 1 −4000x3y3Tại M(5, 2) thì ∆ = −3, A =45suy ra M(5, 2) là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểuf(5, 2) = 301Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm sốf(x, y) = x3+ 3xy2− 30x − 18yTìm các điểm dừng của hàm số nàyfx= 3x2+ 3y2− 30 = 0fy= 6xy − 18 = 0⇒x2+ y2= 10xy = 3Giải hệ ta được 4 điểm dừng:M1(3, 1), M2(1, 3), M3(−3, −1), M4(−1, −3),Ta có:A = fx2= 6x, B = fxy= 6y, C = fy2= 6x∆ = B2− AC = 36(y2− x2)• Tại M1, ∆ = −288 < 0, A = 18 > 0 nên M1là điểm cực tiểu f(M1) = −72• Tại M2, ∆ = 288 > 0 nên M2không là cực trị.• Tại M3, ∆ = −288 < 0, A = −18 < 0 nên M3là điểm cực đại f(M3) = 72• Tại M4, ∆ = 288 > 0 nên M4không là cực trị.2 Cực trị có điều kiệnBài toán tìm cực trị của hàm z = f(x, y) thỏa mãn ràng buộc ϕ(x, y) = 0. Ta giải theotrình tự sau:Bước 1 Lập hàm Largrăng (λ là hằng số thỏa mãn hệ ở bước 2)F (x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y)Bước 2 Giải hệ phương trình:Fx(x, y, λ) = 0Fy(x, y, λ) = 0ϕ(x, y) = 0⇔fx(x, y) + λϕx(x, y) = 0fy(x, y) + λϕy(x, y) = 0ϕ(x, y) = 0→ M0= (x0, y0, λ0)Bước 3 Tính d2Fd2F =∂2F∂x2dx2+ 2∂2F∂x∂ydxdy +∂2F∂y2dy2Bước 4 Xét dấu của d2F• Nếu d2F (M0) > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện.• Nếu d2F (M0) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện.• Nếu d2F (M0) = 0 thì còn phải xét thêm.Điều lưu ý ở đây các vi phân dx, dy không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn hệ thứcdϕ(x0, y0) = ϕx(x0, y0)dx + ϕy(x0, y0)dy = 02Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàmf(x, y) = x2+ y2− 2x − 2yvới điều kiệnx2+ y2− 2 = 0Lập hàm LagrăngeF (x, y, λ) = x2+ y2− 2x − 2y + λ(x2+ y2− 2)Giải hệFx(x, y, λ) = 0Fy(x, y, λ) = 0x2+ y2− 2 = 0⇔x − 1 + λx = 0y − 1 + λy = 0x2+ y2− 2 = 0Ta được nghiệmM1(1, 1, 0), M2(−1, −1, −2)∂2F∂x2= 2 + 2λ,∂2F∂x∂y= 0,∂2F∂y2= 2 + 2λTính vi phân cấp hai của hàm Fd2F =∂2F∂x2dx2+ 2∂2F∂x∂ydxdy +∂2F∂y2dy2= (2 + 2λ)(dx2+ dy2)• Tại M1(1, 1, 0) ta có d2F (M1) = 2(dx2+ dy2) > 0 Suy ra (1, 1) là điểm cực tiểu cóđiều kiện• Tại M2(−1, −1, −2) ta có d2F (M2) = −2(dx2+ dy2) < 0 Suy ra (−1, −1) là điểmcực đại có điều kiệnVí dụ 4 Tìm cực trị của hàmf(x, y) = x2+ 4xy + y2Với điều kiệnx + y = 2Lập hàm LagrăngeF (x, y, λ) = x2+ 4xy + y2+ λ(x + y − 2)Giải hệFx(x, y, λ) = 0Fy(x, y, λ) = 0x + y − 2 = 0⇔2x + 4y + λ = 02y + 4x + λ = 0x + y − 2 = 0Ta được nghiệmM(1, 1, −6)∂2F∂x2= 2,∂2F∂x∂y= 4,∂2F∂y2= 2Tính vi phân cấp hai của hàm Fd2F =∂2F∂x2dx2+ 2∂2F∂x∂ydxdy +∂2F∂y2dy2= 2dx2+ 8dxdy + 2dy23Tại điểm M (1, 1, −6) vi phân cấp 2 của hàm Fd2F (M ) = 2dx2+ 8dxdy + 2dy2Đến đây ta chưa thể xác định được dấu của d2F (M ). Tuy nhiên ta chú ý rằng từ điều kiệnx + y − 2 = 0 ⇒ d(x + y − 2) = 0 ⇐⇒ dx + dy = 0 ⇐⇒ dx = −dyKhi đód2F (M ) = 2dx2− 8dx2+ 2dx2= −4dx2< 0Vậy điểm (1, 1) là điểm cực đại có điều kiện. f(1, 1) = 63 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong một miềnđóng bị chặnTìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục z = f(x, y) trên miền đóngvà bị chặn D với biên LBước 1. Tìm các điểm dừng trong miền D, tính giá trị của hàm số tại các điểm đóBước 2. Tìm các điểm tới hạn trên biên L của miền D, tính giá trị tại các điểm đó.Bước 3. Nếu biên không trơn tính giá trị cuả hàm số tại điểm giao cuả các phần biên.Bước 4. So sánh các giá trị ở trên ta suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtf(x, y) = x2− y2trong miềnD = {x2+ y2≤ 4}• Tìm điểm dừng trong miền D. Giải hệ:fx= 0fy= 0⇐⇒2x = 02y = 0Điểm dừng M1(0, 0) và f(M1) = 0• Tìm các điểm dừng có điều kiện x2+ y2= 4F (x, y, λ) = x2− y2+ λ(x2+ y2− 4)Giải hệFx(x, y, λ) = 0Fy(x, y, λ) = 0x2+ y2− 4 = 0⇔2x + 2λx = 0−2y + 2λy = 0x2+ y2− 4 = 0được các nghiệmN1(0, 2, 1), N2(0, −2, 1), N3(2, 0, −1), N4(−2, 0, −1)Do đó ta được 4 điểm dừng có điều kiệnM2(0, 2), M3(0, −2), M4(2, 0), M5(−2, 0)Vàf(M2) = f(M2) = −4, f(M4) = f(M5) = 44• Giá trị lớn nhất trên D là 4 đạt tại M4, M5Giá trị nhỏ nhất trên D là -4 đạt tại M2, M3Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củaf(x, y) = x2+ y2− 2x − ytrong miềnD = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}• Giải hệ:fx= 0fy= 0⇐⇒2x − 2 = 02y − 1 = 0Điểm dừng là (1,12) ⇒ f(1,12) = −54• Tìm điểm tới hạn trên biên+ Khi y = 0, 0 < x < 2, ta có f(x, 0) = x2− 2x, điểm dừng (1, 0), f(1, 0) = −1+ Khi x = 0, 0 < y < 2, ta có f (0, y) = y2− y, điểm dừng (0,12), f(0,12) =−14+ Khi x + y = 2 ⇔ y = 2 − x, 0 < x < 2, ta có f(x, 2 − x) = 2x2− 5x + 2, điểmdừng là (54,34), f(54,34) =−98• Giao của các phần biên (0, 0); (0, 2); (2, 0). Khi đóf(0, 0) = 0; f(0, 2) = 2; f(2, 0) = 0• Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 đạt tại (0, 2)Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −54đạt tại (1,12)4 Bài tập4.1 Tìm cực trị của hàm số1. z = 4x − x3− xy22. z = x2+ y2− 6x + 8y3. z = x4− 4x2− 4y2+ y4+ 8xy4. z = x3+ y3− 3xy5. z = 2x4+ y4− 4x2− 4y6. z = xy +50x+20y, (x > 0, y > 0)7. z = x2+ xy + y2− 4 ln x − 10 ln y8. z = x + y − xey9. z = e2x(x + y2+ 2y)10. z = xy −13(x3+ y3)54.2 Tìm cực trị có điều kiện1. z = x2+ 12xy + 2y2nếu 4x2+ y2= 252. z =xa+ybnếu x2+ y2= 13. z = x2+ y2nếuxa+yb= 14. z = xy nếux28+y22= 14.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất1. z = x2− xy + y2trên miền D = {|x| + |y| ≤ 1}2. z = 2(x2+ y2) + (x − 1)2+ (y − 1)2trên miền OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)3. z = x2+ y2− 6x + 8y trên miền D = {x2+ y2≤ 1}4. z = x2− y2trên miền D = {x2+ y2≤ 2}5. z = x2+ y2− 2x − y trên miền D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}6