Tài Liệu Giải Bài Tập Về ánh Xạ Tuyến Tính Docx - 123doc

là trường hợp đặc biệt của câu b.. Kiểm tra trực tiếp, ta thấy ngay rằng nếu f có dạng như ∗ thì f là ánh xạ tuyến tính... Giải tương tự câu a., chi tiết xin dành cho bạn đọc.. Tìm công

ĐẠI SỐ CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)

Bài 17 Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính

PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006

1 a Cho ánh xạ f : Rn→ R, chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại

các số a1, a2, , an∈ R để f(x1, x2, , xn) = a1x1+ a2x2+ + anxn

b Cho ánh xạ f : Rn → Rm Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại các số aij ∈ R để

f (x1, x2, , xn) = (a11x1+ a12x2+ + a1nxn, , am1x1+ am2x2+ + amnxn) (∗) Giải Ta chỉ giải câu b., câu a là trường hợp đặc biệt của câu b khi m = 1

Kiểm tra trực tiếp, ta thấy ngay rằng nếu f có dạng như (∗) thì f là ánh xạ tuyến tính Ngược lại, nếu f là ánh xạ tuyến tính, ta đặt:

f (ei) = (a1i, a2i, , ami) với i = 1, 2, , n, trong đó ei = (0, , 0, 1, 0, , 0) Khi đó ta có

f (x1, x2, , xn) = f (x1e1 + x2e2+ + xnen)

= x1f (e1) + x2f (e2) + + xnf (en)

= f (a11x1+ a12x2+ + a1nxn, , am1x1+ am2x2+ + amnxn)

2 Tìm công thức của ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 biết

a f (1, 1, 2) = (1, 0, 0), f (2, 1, 1) = (0, 1, 1), f (2, 2, 3) = (0, −1, 0)

b f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1), f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0), f (1, 3, 4) = (1, 0, 2)

Giải a Giả sử

(x1, x2, x3) = a1(1, 1, 2) + a2(2, 1, 1) + a3(2, 2, 3) (1) Khi đó

f (x1, x2, x3) = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 1) + a3(0, −1, 0) = (a1, a2− a3, a2) (2)

Do đó, để tính f (x1, x2, x3), ta cần tính a1, a2, a3 qua x1, x2, x3 Do công thức (1),

a1, a2, a3 là nghiệm của hệ:





1 2 2 x1

1 1 2 x2

2 1 3 x3



 −→





1 2 2 x1

0 −1 0 −x1+ x2

0 −3 −1 −2x1+ x3





−→





1 2 2 x1

0 −1 0 −x1+ x2

0 0 −1 x1− 3x2+ x3





a3 = −x1+ 3x2− x3

a2 = x1− x2

a1 = x1− 2a2− 2a3 = x1− 2(x1− x2) − 2(−x1+ 3x2− x3) = x1− 4x2+ 2x3

Thay vào (2), công thức của ánh xạ f là:

f (x1, x2, x3) = (x1− 4x2+ 2x3, 2x1− 4x2+ x3, x1 − x2)

b Giải tương tự câu a., chi tiết xin dành cho bạn đọc

3 Trong R3 cho 2 cơ sở:

u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (u)

v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (v)

và cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, f (ui) = vi

a Tìm công thức của f

b Tìm các ma trận

Af /(u) , Af /(u),(v) , Af /(v) , Af /(v),(u) , Af /

(ε3)

Giải a Giả sử

(x1, x2, x3) = a1u1+ a2u2+ a3u3 (1) Khi đó

f (x1, x2, x3) = f (a1u1+ a2u2+ a3u3)

= a1f (u1) + a2f (u2) + a3f (u3)

= a1(1, −1, 0) + a2(0, 1, −1) + a3(1, 0, 1)

= (a1+ a3, −a1+ a2, −a2+ a3) Vậy f (x1, x2, x3) = (a1+ a3, −a1+ a2, −a2+ a3) (2)

Ta cần tính a1, a2, a3 theo x1, x2, x3, do (1), a1, a2, a3 là nghiệm của hệ





1 0 1 x1

0 1 0 x2

0 1 1 x3



−→





1 0 1 x1

0 1 0 x2

0 0 1 −x2+ x3





do đó: a3 = −x2+ x3, a2 = x2, a1 = x1− a3 = x1+ x2 − x3 Thay vào (2) công thức của f là:

f (x1, x2, x3) = (x1, −x1+ x3, −2x2+ x3)

b • Ma trận Af /(u)

Ta có:

f (u1) = v1 = a1u1+ a2u2+ a3u3 (1)

f (u2) = v2 = b1u1+ b2u2+ b3u3 (2)

f (u3) = v3 = c1u1+ c2u2+ c3u3 (3) Khi đó

Af /(u) =





a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3





các ai, bi, ci lần lượt là nghiệm của các phương trình véctơ (1), (2), (3) Mỗi phương trình (1), (2), (3) tương đương với một hệ phương trình tuyến tính có cùng ma trận các hệ số (chỉ khác nhau cột tự do), do đó, ta có thể giải cùng lúc

3 hệ đó như sau:





0 1 0 −1 1 0

0 1 1 0 −1 1



−→





0 1 0 −1 1 0

0 0 1 1 −2 1





– Hệ 1: a3 = 1, a2 = −1, a1 = 1 − a3 = 0

– Hệ 2: b3 = −2, b2 = 1, b1 = −b3 = 2

– Hệ 3: c3 = 1, c2 = 0, c1 = 1 − c3 = 0

Vậy ma trận

Af /(u) =





−1 1 0

1 −2 1





• Ma trận Af /(u),(v)

Ta có

f (u1) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3

f (u2) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3

f (u3) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 Vậy ma trận

Af /(u),(v) =





1 0 0

0 1 0

0 0 1





• Ma trận Af /(v)

Áp dụng câu a., ta sẽ tính được f (v1), f (v2), f (v3), sau đó làm như các phần trước Cụ thể:

f (v1) = (1, −1, 2) = a1v1+ a2v2+ a3v3

f (v2) = (0, −1, −3) = b1v1+ b2v2+ b3v3

f (v3) = (1, 0, 1) = c1v1+ c2v2+ c3v3

ai, bi, ci là nghiệm của 3 hệ sau:





−1 1 0 −1 −1 0

0 −1 1 2 −3 1



 −→





0 1 1 0 −1 1

0 −1 1 2 −3 1





−→





1 0 1 1 0 1

0 1 1 0 −1 1

0 0 2 2 −4 2





– Hệ 1: a3 = 1, a2 = −a3 = −1, a1 = 1 − a3 = 0

– Hệ 2: b3 = −2, b2 = −1 − b3 = 1, b1 = −b3 = 2

– Hệ 3: c3 = 1, c2 = 1 − c3 = 0, c1 = 1 − c3 = 0

Vậy

Af /(v) =





−1 1 0

1 −2 1





• Ma trận Af /(v),(u) làm tương tự.

• Ma trận Af /

(ε3)

theo câu a., công thức của f là

f (x1, x2, x3) = (x1, −x1+ x3, −2x2 + x3)

do đó ta có ngay:

Af /

(ε3) =





−1 0 1

0 −2 1





4 Cho ánh xạ tuyến tính

θ : Rn[x] −→ Rn[x]

p(x) 7−→ p0(x) Tìm ma trận của θ trong cơ sở:

a uo= 1, u1 = x, u2 = x2, , un= xn

b vo = 1, v1 = x − a, v2 = (x−a)2! 2, , vn= (x−a)n! n

Giải a Ta có

θ(uo) = 0 = 0uo+ 0u1+ + 0un θ(u1) = 1 = 1uo+ 0u1+ + 0un θ(u2) = 2x = 0uo+ 2u1+ + 0un θ(uk) = kxk−1= 0uo+ 0u1+ + kuk−1+ + 0un θ(un) = nxn−1 = 0uo+ 0u1 + + nun−1+ 0un Vậy

Af /(u) =





























0 1 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 0 0

. . . .

. . k .

. . . .

0 0 0 0 n

0 0 0 0 0





























b Lời giải tương tự câu a., chi tiết xin dành cho bạn đọc

5 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3

f (x1, x2, x3, x4) = (x1− x2+ x3, 2x1+ x4, 2x2− x3+ x4) Tìm cơ sở, số chiều của Ker f, Im f

Giải • (x1, x2, x3, x4) ∈ Ker f ⇔ f (x1, x2, x3, x4) = 0, ⇔ (x1, x2, x3, x4) là nghiệm của hệ







x1− x2+ x3 = 0 2x1+ x4 = 0 2x2+ x3+ x4 = 0

(1)

Do đó, Ker f chính là không gian con các nghiệm của hệ (1) và hệ nghiệm cơ bản của

hệ (1) chính là một cơ sở của Ker f Để giải hệ (1), ta biến đổi ma trận hệ số mở rộng:





1 −1 1 0 0

2 0 0 1 0

0 2 1 1 0



 −→





1 −1 1 0 0

0 2 −2 1 0





−→





1 −1 1 0 0

0 2 −2 1 0





Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số là x4 Ta có

x3 = 0

x2 = 12(2x3− x4) = −12x4

x1 = x2− x3 = x2 = −12x4 Vậy nghiệm tổng quát của hệ là:











x1 = −a

x2 = −a

x3 = 0

x4 = 2a

hệ nghiệm cơ bản α1 = (−1, −1, 0, 2), do đó, dim Ker f = 1, cơ sở của Ker f là

α1 = (−1, −1, 0, 2)

• Để tìm cơ sở của Im f , ta tìm ảnh của cơ sở chính tắc của R4 Ta có:

f (e1) = (1, 2, 0), f (e2) = (−1, 0, 2),

f (e3) = (1, 0, −1), f (e4) = (0, 1, 1)

Im f = hf (e1), f (e2), f (e3), f (e4)i

Hệ con ĐLTT tối đại của f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) là một cơ sở của Im f Ta có









−1 0 2

1 0 −1









1 2 3 4

−→









0 −2 −1









1 2 3 4

−→









0 −2 −1









1 2 3 4

−→









1 2 0

0 1 1

0 0 1

0 0 0









1 2 3 4 Vậy cơ sở của Im f là f (e1), f (e4), f (e3) và dim f = 3

6 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa các ma trận sau:

(a)





1 0 1

0 0 0

1 0 1





(b)





5 −1 1

1 −2 2





(c)





1 2 1

2 4 2

1 2 1





(d)









1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1









(e)









0 −1 1 3

0 0 0 −2









Giải b) Tìm đa thức đặc trưng:

PA(λ) =

5 − λ −1 1

−1 2 − λ −2

1 −2 2 − λ

= (5 − λ)(2 − λ)2+ 2 + 2 − (2 − λ) − 4(5 − λ) − (2 − λ)

= −λ3+ 9λ2− 18λ

PA(λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 3, λ = 6

Vậy A có 3 giá trị riêng là λ = 0, λ = 3, λ = 6

• Vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 0 là các vectơ nghiệm khác không của hệ:





5 −1 1

1 −2 2

0 0 0



 −→





5 −1 1

1 −2 2

0 0 0



−→





0 −11 11

0 0 0





Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số là x3 Ta có: x3 = a, x2 = a, x1 = 0 Nghiệm của hệ là tất cả các vectơ dạng (0, a, a), a ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 0 là các vectơ có dạng (0, a, a), a 6= 0, dim V0 = 1

Cơ sở của V0 là α1 = (0, 1, 1)

• Vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 3 là các vectơ nghiệm khác không của hệ:





2 −1 1

−1 −1 −2

1 −2 −1

0 0 0



 −→





1 −2 −1

−1 −1 −2

2 −1 1

0 0 0



−→





1 −2 −1

0 −3 −3

0 0 0





−→





1 −2 −1

0 −3 −3

0 0 0





Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số là x3

Ta có: x3 = b, x2 = −b, x1 = 2x2+ x3 = −b.

Nghiệm của hệ là tất cả các vectơ dạng (−b, −b, b), b ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 3 là các vectơ có dạng (−b, −b, b), b 6= 0, dim V3 = 1

Cơ sở của V3 là α2 = (−1, −1, 1)

• Vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 6 là các vectơ nghiệm khác không của hệ:





−1 −4 −2

1 −2 −4

0 0 0



 −→





0 −3 −3

0 −3 −3

0 0 0



−→





0 −3 −3

0 0 0





Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số là x3

Ta có: x3 = c, x2 = −c, x1 = −x2+ x3 = 2c

Nghiệm của hệ là tất cả các vectơ dạng (2c, −c, c), c ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 6 là các vectơ có dạng (2c, −c, c), c 6= 0, dim V6 = 1

Cơ sở của V0 là α3 = (2, −1, 1)

Chéo hóa Tổng hợp 3 trường hợp trên ta thấy ma trận A có 3 vectơ riêng độc lập tuyến tính Do đó A chéo hóa được Ma trận T cần tìm là:

T =





0 −1 2

1 −1 −1





và

T−1AT =





0 0 0

0 3 0

0 0 6





là ma trận chéo

d) Tìm đa thức đặc trưng

PA(λ) =

= λ2(1 − λ)2

PA(λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1

Vậy ma trận A có 2 giá trị riêng là λ = 0, λ = 1

• Vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 0 là các vectơ nghiệm khác không của hệ:









1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

0 0 0 0









−→









1∗ 0 0 0

0 0 0 1∗

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0









Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số là x2, x3

Ta có: x2 = a, x3 = b, x4 = 0, x1 = 0

Nghiệm của hệ là tất cả các vectơ dạng (0, a, b, 0), a, b ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 0 là các vectơ có dạng (0, a, b, 0), a2+ b2 6= 0, dim V0 = 2

Cơ sở của V0 là α1 = (0, 1, 0, 0), α2 = (0, 0, 1, 0)

• Vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 1 là các vectơ nghiệm khác không của hệ:









0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 0









−→









0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 0









Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số là x4

Ta có: x4 = c, x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0

Nghiệm của hệ là tất cả các vectơ dạng (0, 0, 0, c), c ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 1 là các vectơ có dạng (0, 0, 0, c), c 6= 0, dim V1 = 1

Cơ sở của V1 là α3 = (0, 0, 0, 1)

Chéo hóa Tổng hợp 3 trường hợp trên ta thấy ma trận A chỉ có 3 vectơ riêng độc lập tuyến tính trong khi A là ma trận cấp 4 nên A không chéo hóa được

7 Trong R3 cho cơ sở:

u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2)

và cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi:

f (u1) = (0, 5, 3)

f (u2) = (2, 4, 3)

f (u3) = (0, 3, 2)

Tìm một cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo

Giải Đầu tiên ta tìm ma trận của f trong cơ sở nào đó của R3 Vì èề đã cho f (u1), f (u2),

f (u3) nên dễ nhất là tìm ma trận của f trong cơ sở (u) Bạn đọc có thể dễ dàng tìm được:

Af /(u) =





0 1 1

1 0 1

1 1 0





Bước tiếp theo, ta tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A = Af /(u) Từ đó sẽ tìm được giá trị riêng và vectơ riêng của f

Các giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận A =





0 1 1

1 0 1

1 1 0



, ta đã tìm trong phần lý thuyết Kết quả tóm tắt như sau:

• A có hai giá trị riêng là λ = −1 và λ = 2

• Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = −1 là các vectơ (−a − b, a, b), a2 + b2 6= 0 Trường hợp này A có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1)

• Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 2 là các vectơ (c, c, 0), c 6= 0 Trường hợp này

A có một vectơ riêng độc lập tuyến tính là α3 = (1, 1, 1)

Từ đó suy ra:

• f có hai giá trị riêng là λ = −1 và λ = 2

• Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = −1 là các vectơ dạng (−a − b)u1+ au2+ bu3 = (−2a, a + 2b, b), a2+ b2 6= 0

Trường hợp này f có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính là:

β1 = −1.u1+ 1.u2+ 0.u3 = (−2, 1, 0)

β2 = −1.u1+ 0.u2+ 1.u3 = (0, 2, 1)

• Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 2 là các vectơ dạng c.u1 + c.u2 + c.u3 = (c, 6c, 4c), c 6= 0

Trường hợp này f có một vectơ riêng độc lập tuyến tính là:

β3 = 1.u1+ 1.1.u2+ 1.u3 = (1, 6, 4)

Kết luận Vì f là phép biến đổi tuyến tính của R3 (dim R3 = 3) và f có 3 vectơ riêng độc lập tuyến tính là β1, β2, β3 nên β1, β2, β3 (β) chính là cơ sở của R3 cần tìm và ta có:

Af /(β) =





−1 0 0

0 −1 0





8 Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : V → V thỏa mãn ϕ2 = ϕ Chứng minh:

(a) Im ϕ + Ker ϕ = V

(b) Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0}

Giải a) Tất nhiên Im ϕ + Ker ϕ ⊂ V , ta cần chứng minh: V ⊂ Im ϕ + Ker ϕ

Với mọi α ∈ V , ta có: α = ϕ(α) + (α − ϕ(α))

Tất nhiên ϕ(α) ∈ Im ϕ, và ϕ(α − ϕ(α)) = ϕ(α) − ϕ2(α) = ϕ(α) − ϕ(α) = 0 Do đó,

α − ϕ(α) ∈ Ker ϕ ⇒ α ∈ Im ϕ + Ker ϕ, và Im ϕ + Ker ϕ = V

b) Giả sử β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ Khi đó tồn tại α ∈ V để ϕ(α) = β Theo giả thiết ϕ2 = ϕ nên

ta có: β = ϕ(α) = ϕ2(α) = ϕ(ϕ(α)) = ϕ(β) = 0 (vì β ∈ Ker ϕ)

Vậy β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ thì β = 0 Do đó, Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0}

9 Cho f : V → V là ánh xạ tuyến tính, L là không gian vectơ con của V Chứng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L

(b) dim L ≤ dim f−1(L) ≤ dim L + dim Ker f

Giải Để giải bài tập 9 và bài tập 10, ta cần nhớ kết quả sau (đã chứng minh trong phần

lý thuyết):

Nếu ϕ : V → U là ánh xạ tuyến tính thì ta có:

dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V a) Xét ánh xạ ¯f : L → V , ¯f = f |L, tức là ¯f (α) = f (α) với mọi α ∈ L

Ta có Im ¯f = ¯f (L) = f (L), Ker ¯f = L ∩ Ker f

Áp dụng kết quả trên với ϕ = ¯f , ta có:

dim Im ¯f + dim Ker ¯f = dim L

Do đó, dim f (L) = dim Im ¯f ≤ dim L

và dim f (L) = dim L − dim Ker ¯f ≥ dim L − dim Ker f

b) Đặt L0 = f−1(L) Khi đó f (L0) = L

Áp dụng a) với không gian vectơ con L0, ta có:

dim L0− dim Ker f ≤ dim f (L0) ≤ dim L0 tức là

dim f−1(L) − dim Ker f ≤ dim L ≤ dim f−1(L)

Do đó:

dim L ≤ dim f−1(L) ≤ dim L + dim Ker f

10 Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh xạ tuyến tính Chứng minh:

(a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ}

(b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ)

(c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W

Giải a) Áp dụng câu a) bài 9 cho ánh xạ tuyến tính ψ : W → U với L = Im ϕ = ϕ(V ) ⊂ W ,

ta có:

dim ϕ(V ) ≥ dim ψ(ϕ(V )) = dim(ψϕ)(V ) = dim Im(ψϕ) Vậy ta có: rank(ψϕ) ≤ rank ϕ (1)

Mặt khác, ta có: ϕ(V ) ⊂ W nên ψ(ϕ(V )) ⊂ ψ(W ), do đó dim ψϕ(V ) ≤ dim ψ(W ), tức là: rank ψϕ ≤ rank ψ (2)

Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh

b) Xét ánh xạ ¯ψ : Im ϕ → U , ¯ψ = ψ|Im ϕ, tức là ¯ψ(α) = ψ(α) với mọi α ∈ Im ϕ

Khi đó, Ker ¯ψ = Ker ψ ∩ Im ϕ và Im ¯ψ = ¯ψ(Im ϕ) = ψ(Im ϕ) = (ψϕ)(V ) = Im ψϕ, tức là: dim Im(ψϕ) + dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) = dim Im ϕ

Do vậy, rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ)

c) Ta có: dim Ker ψ + dim Im ψ = dim W nên dim Ker ψ = dim W − rank ψ

Bởi vậy, theo câu b)

rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ)

≥ rank ϕ − dim Ker ψ = rank ϕ − (dim W − rank ψ) = rank ϕ + rank ψ − dim W

1

1 Đánh máy: LÂM HỮU PHƯỚC, TRẦN ĐỨC THUẬN Ngày: 09/03/2006