Tại Sao Dim F(V) = Dim V Thì F Là đơn Cấu? | Ghi Chép Dạy Học

Trang chủ » F Là Toàn Cấu » Tại Sao Dim F(V) = Dim V Thì F Là đơn Cấu? | Ghi Chép Dạy Học

Có thể bạn quan tâm

1) Đầu tiên bạn cần biết khái niệm hệ sinh. Tập A\subset V được gọi là hệ sinh của  không gian vector V nếu mọi vector của V đều là tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong A.

2) Nếu A là hệ sinh của V thì f(A) là hệ sinh của f(V).

Hệ con độc lập tối đại

3) Tiếp theo, ta nói về chiều. Trong giáo trình đại số tuyến tính, có mệnh đề 2.3.2 (như trong ảnh) nói rằng: Nếu A là hệ sinh của V, thì ta có thể tìm được một tập con B\subset A là cơ sở của V. Điều đó gián tiếp nói rằng: \dim V\leq \sharp A, tức chiều của V không vượt quá số phần tử của A.

4) Định lý về đồng cấu không gian vector: Cho f\colon V\to W là ánh xạ tuyến tính, khi đó ta có đẳng cấu V/\mathrm{Ker}(f) \cong \mathrm{Im}(f).

Đối với sinh viên năm 1, việc giải thích đẳng cấu này là không hề đơn giản, ở đây sinh viên năm 1 chỉ cần nắm được hệ quả của định lý này là: \dim V - \dim \mathrm{Ker}(f)  = \dim \mathrm{Im}(f) = \mathrm{rank} (f).

Đẳng thức chiều này rất có ích trong nhiều bài tập tính toán, mà sinh viên không cần phải hiểu ngay cách chứng minh. Các bạn yên tâm, ở đâu trên thế giới cũng không bắt ép sinh viên năm 1 phải hiểu ngay những lý luận phức tạp đó, vì đơn giản là nó khó!

5) Bây giờ ta giải thích câu hỏi ở tiêu đề. Tại sao f là đơn cấu?

Ký hiệu A là cơ sở của V, khi đó f(A) phải là tập sinh của f(V). Nhưng vì chiều của V và f(V) là như nhau, nên ta suy ra f(A) gồm các vector độc lập tuyến tính. Nếu không, chiều của f(V)  bé hơn hẳn số phần tử của f(A).

Khi f(A) gồm các vector độc lập tuyến tính, thì ta suy ra hạng của f là bằng số phần tử của f(A), và vì thế bằng \dim V. Nên chiều của \mathrm{Ker}(f) bằng 0, tức là \mathrm{Ker}(f) =\{\vec 0\},  hay f là đơn cấu.

Cập nhật: Thực ra toàn bộ lý luận ở trên là dài dòng. Ta biết là \mathrm{Im}(f) = f(V) và V/\mathrm{Ker}(f) \cong \mathrm{Im}(f) = f(V), nên suy ra \dim \mathrm{Ker}(f) = 0, hay  \mathrm{Ker}(f) =\{\vec 0\}.

Tuy nhiên, những lời dài dòng trên cũng không hoàn toàn vô ích, vì nêu ra mối quan hệ giữa các đại lượng, và tại sao giáo trình lại phải trình bày dài dòng như thế, và khó hiểu như thế.

Share this:

  • X
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » F Là Toàn Cấu