Tâm Của Hyperbol. Định Nghĩa Thuộc Tính Xây Dựng Hyperbola

Về đàn ông Tâm của hyperbol. Định nghĩa thuộc tính xây dựng Hyperbola

Hyperbola và parabol

Chúng ta hãy chuyển sang phần thứ hai của bài viết. về dòng thứ hai, dành riêng cho hai đường cong thông thường khác - cường điệu hóa Và hình parabol. Nếu bạn đến trang này từ một công cụ tìm kiếm hoặc chưa có thời gian để điều hướng chủ đề, thì tôi khuyên bạn nên học phần đầu tiên của bài học, trong đó chúng ta không chỉ kiểm tra các điểm lý thuyết chính mà còn làm quen. với hình elip. Đối với những độc giả còn lại, tôi đề xuất bổ sung đáng kể kiến ​​thức ở trường của họ về parabol và hyperbol. Hyperbol và parabol - nó có đơn giản không? … Đừng chờ đợi =)

Hyperbola và phương trình chính tắc của nó

Cấu trúc chung của phần trình bày tài liệu sẽ giống như đoạn trước. Hãy bắt đầu với khái niệm chung về hyperbol và vấn đề về cấu tạo của nó.

Phương trình chính tắc của một hyperbol có dạng, trong đó là các số thực dương. Lưu ý rằng, không giống như hình elip, điều kiện không được áp đặt ở đây, đó là giá trị của "a" có thể nhỏ hơn giá trị của "be".

Tôi phải nói rằng, khá bất ngờ ... phương trình của cường điệu "trường học" thậm chí không giống với bản ghi kinh điển. Nhưng câu đố này sẽ còn phải chờ chúng ta, còn bây giờ chúng ta hãy vò đầu bứt tai và nhớ xem đường cong đang xét có đặc điểm gì? Hãy phổ biến nó trên màn hình trí tưởng tượng của chúng ta đồ thị hàm số ….

Một hyperbol có hai nhánh đối xứng.

Cường điệu có hai không có triệu chứng.

Tiến triển tốt! Bất kỳ sự cường điệu nào cũng có những đặc tính này, và bây giờ chúng ta sẽ nhìn với sự ngưỡng mộ thực sự ở đường viền cổ của đường này:

Ví dụ 4

Xây dựng một hyperbol cho bởi phương trình

Giải pháp: ở bước đầu tiên, ta đưa phương trình này về dạng chính tắc. Hãy nhớ thủ tục điển hình. Ở bên phải, bạn cần lấy “một”, vì vậy chúng tôi chia cả hai phần của phương trình ban đầu cho 20:

Ở đây, bạn có thể giảm cả hai phân số, nhưng tối ưu hơn là tạo mỗi phân số ba tầng:

Và chỉ sau đó để thực hiện giảm:

Chúng tôi chọn các ô vuông trong các mẫu số:

Tại sao thực hiện các phép biến hình theo cách này lại tốt hơn? Rốt cuộc, các phân số của phía bên trái có thể được giảm ngay lập tức và nhận được. Thực tế là trong ví dụ đang xem xét, chúng ta đã có một chút may mắn: số 20 chia hết cho cả 4 và 5. Trong trường hợp chung, một số như vậy không hoạt động. Ví dụ, hãy xem xét phương trình. Ở đây, với sự chia rẽ, mọi thứ buồn hơn và không có phân số ba tầng không cần nữa:

Vì vậy, chúng ta hãy sử dụng thành quả lao động của chúng ta - phương trình chính tắc:

Làm thế nào để xây dựng một cường điệu?

Có hai cách tiếp cận để xây dựng một hyperbol - hình học và đại số. Từ quan điểm thực tế, vẽ bằng la bàn ... tôi thậm chí có thể nói là không tưởng, vì vậy sẽ có lợi hơn nhiều nếu một lần nữa mang các phép tính đơn giản ra giải cứu.

Bạn nên tuân thủ thuật toán sau, đầu tiên là bản vẽ hoàn thiện, sau đó là các nhận xét:

1) Trước hết, chúng tôi nhận thấy không có triệu chứng. Nếu hyperbol được cho bởi phương trình chính tắc, thì các dấu không triệu chứng của nó là thẳng . Trong trường hợp của chúng ta: . Mục này là bắt buộc!Đây là một đặc điểm cơ bản của hình vẽ, và sẽ là một sai lầm nghiêm trọng nếu các nhánh của hyperbol "chui ra" ngoài vùng không có triệu chứng của chúng.

2) Bây giờ chúng tôi tìm thấy hai đỉnh của một hyperbol, nằm trên trục x tại các điểm . Nó được suy ra theo nguyên tố: nếu, thì phương trình chính tắc chuyển thành, khi đó nó theo sau điều đó. Hyperbola được coi là có đỉnh

3) Chúng tôi đang tìm kiếm các điểm bổ sung. Thông thường 2-3 là đủ. Ở vị trí chuẩn, hyperbol đối xứng về gốc tọa độ và cả hai trục tọa độ, vì vậy nó đủ để thực hiện các phép tính cho phần tư tọa độ thứ nhất. Kỹ thuật hoàn toàn giống như đối với xây dựng hình elip. Từ phương trình chính tắc trên bản nháp, chúng tôi biểu thị: Phương trình được chia thành hai hàm: - xác định các cung trên của hyperbola (những gì chúng ta cần); - xác định các cung dưới của hyperbol.

Nó gợi ý tìm điểm với abscissas:

4) Vẽ các dấu hiệu trên bản vẽ , đỉnh , các điểm bổ sung và đối xứng trong các phần tọa độ khác. Chúng tôi cẩn thận kết nối các điểm tương ứng tại mỗi nhánh của hyperbol:

Một khó khăn kỹ thuật có thể phát sinh với một sự bất hợp lý hệ số độ dốc, nhưng đây là một vấn đề hoàn toàn có thể vượt qua được.

Tiết diệnđã gọi trục thực cường điệu, chiều dài của nó - khoảng cách giữa các đỉnh; con số đã gọi bánaxis thực sự cường điệu hóa; con số – trục tưởng tượng.

Trong ví dụ của chúng tôi: , và hiển nhiên, nếu hyperbol đã cho được xoay quanh tâm đối xứng và / hoặc di chuyển, thì các giá trị này sẽ không thay đổi.

Định nghĩa hyperbol. Foci và độ lệch tâm

Nói một cách cường điệu, giống như trong hình elip, có hai điểm kỳ lạ, được gọi là thủ thuật. Tôi không nói điều đó, nhưng để đề phòng, đột nhiên có người hiểu nhầm: tâm đối xứng và tiêu điểm, tất nhiên, không thuộc về các đường cong.

Khái niệm chung của định nghĩa cũng tương tự:

Cường điệu là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng, giá trị tuyệt đối sự khác biệt về khoảng cách đến mỗi điểm từ hai điểm đã cho là một giá trị không đổi, về mặt số bằng khoảng cách giữa các đỉnh của hyperbol này:. Trong trường hợp này, khoảng cách giữa các tiêu điểm vượt quá độ dài của trục thực:.

Nếu hyperbol được cho bởi phương trình chính tắc, thì khoảng cách từ tâm đối xứng đến mỗi tiêu điểmđược tính theo công thức:. Và theo đó, tiêu điểm có tọa độ .

Đối với hyperbola được nghiên cứu:

Hãy đi qua định nghĩa. Biểu thị bằng khoảng cách từ tiêu điểm đến một điểm tùy ý của hyperbol:

Đầu tiên, hãy di chuyển dấu chấm màu xanh lam dọc theo nhánh bên phải của hyperbola - dù chúng ta ở đâu, mô-đun(giá trị tuyệt đối) sự khác biệt giữa độ dài của các đoạn sẽ giống nhau:

Nếu điểm được "ném" sang nhánh bên trái và di chuyển đến đó, thì giá trị này sẽ không thay đổi.

Dấu hiệu của môđun là cần thiết vì sự khác biệt về độ dài có thể dương hoặc âm. Nhân tiện, đối với bất kỳ điểm nào trên nhánh bên phải (vì đoạn ngắn hơn đoạn). Đối với bất kỳ điểm nào của nhánh bên trái, tình huống hoàn toàn ngược lại và .

Hơn nữa, xét về tính chất hiển nhiên của modulus, không quan trọng việc trừ đi cái gì.

Hãy đảm bảo rằng trong ví dụ của chúng ta, mô đun của sự khác biệt này thực sự bằng khoảng cách giữa các đỉnh. Nhẩm đặt một điểm trên đỉnh bên phải của hyperbol. Sau đó:, cái đã được kiểm tra.

Nghề nghiệp 10 . Các đường cong của bậc thứ hai.

10.1. Hình elip. Phương trình chính tắc. Nửa trục, độ lệch tâm, đồ thị.

10.2. Hyperbol. Phương trình chính tắc. Dấu bán nghi, độ lệch tâm, dấu không triệu chứng, đồ thị.

10.3. Hình parabol. Phương trình chính tắc. Tham số parabol, đồ thị.

Các đường cong của bậc thứ hai trong mặt phẳng được gọi là đường, đặc điểm kỹ thuật ngầm của nó có dạng:

ở đâu - số thực đã cho, - tọa độ của các điểm đường cong. Các đường quan trọng nhất trong số các đường cong bậc hai là elip, hyperbol, parabol.

10.1. Hình elip. Phương trình chính tắc. Nửa trục, độ lệch tâm, đồ thị.

Định nghĩa hình elip.Hình elip là một đường cong phẳng có tổng khoảng cách từ hai điểm cố định máy bay đến bất kỳ điểm nào (những, cái đó.). điểm được gọi là foci của hình elip.

Phương trình hình nón của một hình elip:. (2)

(hoặc trục ) đi qua foci , và nguồn gốc là một điểm - nằm ở trung tâm của phân khúc (Hình 1). Elip (2) đối xứng với các trục tọa độ và gốc tọa độ (tâm của elip). Dài hạn ,đã gọi bán trục của hình elip.

Nếu hình elip được cho bởi phương trình (2), thì foci của elip được tìm thấy như sau.

1) Đầu tiên, chúng tôi xác định vị trí của các tiêu điểm: các tiêu điểm nằm trên trục tọa độ mà trên đó các bán trục chính nằm trên đó.

2) Sau đó, độ dài tiêu cự được tính (khoảng cách từ điểm đến gốc).

Tại tiêu điểm nằm trên trục ;;.

Tại tiêu điểm nằm trên trục ;;.

độ lệch tâm ellipse được gọi là giá trị: (tại );(tại ).

Hình elip luôn có . Độ lệch tâm là một đặc điểm của lực nén của hình elip.

Nếu di chuyển hình elip (2) sao cho tâm của elip ở điểm ,, thì phương trình của hình elip thu được có dạng

.

10.2. Hyperbol. Phương trình chính tắc. Dấu bán nghi, độ lệch tâm, dấu không triệu chứng, đồ thị.

Định nghĩa hyperbol.Một hyperbol là một đường cong phẳng, trong đó giá trị tuyệt đối của sự khác biệt về khoảng cách từ hai điểm cố định máy bay đến bất kỳ điểm nào đường cong này là một hằng số độc lập với điểm (những, cái đó.). điểm được gọi là tiêu điểm của hyperbola.

Phương trình hình nón của một hyperbol:hoặc . (3)

Một phương trình như vậy đạt được nếu trục tọa độ (hoặc trục ) đi qua foci , và nguồn gốc là một điểm - nằm ở trung tâm của phân khúc . Các hypebol (3) đối xứng với các trục tọa độ và gốc tọa độ. Dài hạn ,đã gọi bán cực đại của hyperbola.

Tiêu điểm của hyperbola được tìm thấy như sau.

Tại cường điệu tiêu điểm nằm trên trục :(Hình 2.a).

Tại cường điệu tiêu điểm nằm trên trục :(Hình 2.b)

Đây - tiêu cự (khoảng cách từ tiêu điểm đến gốc). Nó được tính theo công thức: .

độ lệch tâm hyperbola được gọi là giá trị:

(vì );(vì ).

Cường điệu luôn có .

Triệu chứng của hyperbolas(3) là hai đường thẳng: . Cả hai nhánh của hyperbola đều tiếp cận vô thời hạn các nhánh không có triệu chứng như .

Việc xây dựng một đồ thị của một hyperbol nên được thực hiện như sau: đầu tiên, dọc theo các bánaxit chúng ta xây dựng một hình chữ nhật phụ với các cạnh song song với các trục tọa độ; sau đó chúng ta vẽ các đường thẳng qua các đỉnh đối diện của hình chữ nhật này, đây là các đường không có nếp gấp của hyperbol; cuối cùng, chúng tôi mô tả các nhánh của hyperbol, chúng chạm vào điểm giữa của các cạnh tương ứng của hình chữ nhật phụ và tiếp cận với sự tăng trưởng thành không có triệu chứng (Hình 2).

Nếu các hypebol (3) được di chuyển để tâm của chúng nằm trên điểm và các bán trục sẽ vẫn song song với các trục ,, thì phương trình của các hypebol kết quả có thể được viết dưới dạng

,.

10.3. Hình parabol. Phương trình chính tắc. Tham số parabol, đồ thị.

Định nghĩa của một parabol.Parabol là một đường cong mặt phẳng, trong đó bất kỳ điểm nào đường cong này là khoảng cách từ đến một điểm cố định mặt phẳng (được gọi là trọng tâm của parabol) bằng khoảng cách từ đến một đường cố định trên mặt phẳng(được gọi là ma trận trực tiếp của parabol) .

Phương trình parabol hình nón:, (4)

ở đâu là một hằng số được gọi là tham số các đường parabol.

Chấm parabol (4) được gọi là đỉnh của parabol. Trục là trục đối xứng. Trọng tâm của parabol (4) là tại điểm , phương trình ma trận trực tiếp . Biểu đồ hình parabol (4) với các giá trị Và được hiển thị trong hình. 3.a và 3.b tương ứng.

Phương trình cũng xác định một parabol trong mặt phẳng , so với parabol (4), có trục ,đổi chỗ.

Nếu parabol (4) được di chuyển để đỉnh của nó chạm vào điểm , và trục đối xứng sẽ vẫn song song với trục , thì phương trình của parabol thu được có dạng

.

Hãy chuyển sang các ví dụ.

ví dụ 1. Đường cong bậc hai được cho bởi phương trình . Đặt tên cho đường cong này. Tìm tiêu điểm và độ lệch tâm của nó. Vẽ một đường cong và tiêu điểm của nó trong một mặt phẳng .

Giải pháp. Đường cong này là một hình elip có tâm tại điểm và trục trục . Điều này có thể dễ dàng xác minh bằng cách thay thế . Phép biến đổi này có nghĩa là chuyển từ một hệ tọa độ Descartes đã cho sang hệ tọa độ Descartes mới , trục của ai song song với các trục ,. Phép biến đổi tọa độ này được gọi là phép dời hình. một cách chính xác . Trong hệ tọa độ mới phương trình của đường cong được chuyển đổi thành phương trình chính tắc của hình elip , đồ thị của nó được hiển thị trong Hình. 4.

Hãy cùng tìm thủ thuật. , vì vậy các thủ thuật hình elip nằm trên trục .. Trong hệ tọa độ :. Tại vì , trong hệ tọa độ cũ tiêu điểm có tọa độ.

Ví dụ 2. Cho biết tên của đường cong bậc hai và cho biết đồ thị của nó.

Giải pháp. Chúng tôi chọn các ô vuông đầy đủ theo các thuật ngữ có chứa các biến Và .

Bây giờ, phương trình đường cong có thể được viết lại thành:

Do đó, đường cong đã cho là một hình elip có tâm tại điểm và trục trục . Thông tin thu được cho phép chúng ta vẽ đồ thị của nó.

Ví dụ 3. Đặt tên và vẽ biểu đồ đường .

Giải pháp. . Đây là phương trình chính tắc của một hình elip có tâm tại một điểm và trục trục .

Trong chừng mực, , chúng tôi kết luận: phương trình đã cho xác định trên mặt phẳng nửa dưới của hình elip (Hình 5).

Ví dụ 4. Cho biết tên của đường cong bậc hai . Tìm cô ấy thủ đoạn, tính cách lập dị. Cho đồ thị của đường cong này.

- phương trình chính tắc của một hyperbol với bánaxit .

Độ dài tiêu cự.

Dấu trừ đứng trước thuật ngữ có , vì vậy các thủ thuật hyperbolas nằm trên trục :. Các nhánh của hyperbol nằm ở trên và dưới trục .

là độ lệch tâm của hyperbol.

Các triệu chứng của một hyperbola:.

Việc xây dựng đồ thị của hyperbol này được thực hiện theo quy trình trên: ta dựng một hình chữ nhật phụ, vẽ các đường không gấp khúc của hyperbol, vẽ các nhánh của hyperbol (xem hình 2.b).

Ví dụ 5. Tìm dạng của đường cong được cho bởi phương trình và vẽ nó.

- hyperbola tập trung tại một điểm và nửa trục.

Tại vì , chúng tôi kết luận: phương trình đã cho xác định phần của hyperbol nằm bên phải đường . Tốt hơn là vẽ một hyperbol trong một hệ tọa độ bổ trợ thu được từ hệ tọa độ sự thay đổi , và sau đó với một đường dày, chọn phần mong muốn của hyperbola

Ví dụ 6. Tìm loại đường cong và vẽ đồ thị của nó.

Giải pháp. Chọn hình vuông đầy đủ theo các điều khoản có biến :

Hãy viết lại phương trình của đường cong.

Đây là phương trình của một parabol có đỉnh tại điểm . Bằng một phép biến đổi dịch chuyển, phương trình parabol được rút gọn về dạng chính tắc , từ đó có thể xem đó là tham số của parabol. Tiêu điểm parabol trong hệ thống có tọa độ ,, và trong hệ thống (theo sự chuyển dịch). Đồ thị parabol được hiển thị trong hình. 7.

Bài tập về nhà.

1. Vẽ các hình elip cho trước bởi các phương trình: Tìm các bán tiêu, tiêu cự, độ lệch tâm của chúng và chỉ ra trên đồ thị hình elip vị trí của các tiêu điểm của chúng.

2. Vẽ các hypebol cho bởi phương trình: Tìm bán trục, tiêu cự, độ lệch tâm của chúng và chỉ ra trên đồ thị của các hypebol vị trí của các tiêu điểm của chúng. Viết phương trình các nghiệm của các hypebol đã cho.

3. Vẽ các parabol đã cho bởi phương trình: . Tìm tham số, tiêu cự của chúng và cho biết vị trí của tiêu điểm trên đồ thị parabol.

4. Phương trình xác định một phần của đường cong của bậc 2. Tìm phương trình chính tắc của đường cong này, viết ra tên của nó, xây dựng đồ thị và tô đậm trên đó phần đường cong tương ứng với phương trình ban đầu.

Một hyperbol là quỹ tích của các điểm trong một mặt phẳng, môđun của sự khác biệt về khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm đã cho F_1 và F_2 là một giá trị không đổi (2a), nhỏ hơn khoảng cách (2c) giữa các điểm đã cho này (Hình 3,40, a). Định nghĩa hình học này thể hiện thuộc tính tiêu điểm của một hyperbola.

Thuộc tính tiêu điểm của hyperbola

Các điểm F_1 và F_2 được gọi là tiêu điểm của hyperbol, khoảng cách 2c = F_1F_2 giữa chúng là tiêu cự, trung điểm O của đoạn F_1F_2 là tâm của hyperbol, số 2a là độ dài trục thực của hyperbol (tương ứng, a là bán trục thực của hyperbol). Các đoạn F_1M và F_2M nối một điểm M tùy ý của hyperbol với các tiêu điểm của nó được gọi là bán kính tiêu điểm của điểm M. Đoạn thẳng nối hai điểm của hyperbol được gọi là đoạn thẳng của hyperbol.

Mối quan hệ e = \ frac (c) (a), trong đó c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), được gọi là độ lệch tâm hyperbolic. Từ định nghĩa (2a1 .

Định nghĩa hình học của hyperbol, thể hiện thuộc tính tiêu điểm của nó, tương đương với định nghĩa phân tích của nó - đường được cho bởi phương trình chính tắc của hyperbol:

\ frac (x ^ 2) (a ^ 2) - \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1.

Thật vậy, hãy giới thiệu một hệ tọa độ hình chữ nhật (Hình 3.40, b). Ta lấy tâm O của hyperbol làm gốc của hệ tọa độ; đường thẳng đi qua foci (trục tiêu điểm), ta sẽ lấy là trục abscissa (chiều dương trên nó từ điểm F_1 đến điểm F_2); một đường thẳng vuông góc với trục abscissa và đi qua tâm của hyperbol được lấy làm trục tọa độ (phương trên trục tọa độ được chọn sao cho hệ tọa độ vuông góc Oxy).

Hãy viết phương trình của hyperbol bằng cách sử dụng định nghĩa hình học biểu thị tính chất tiêu điểm. Trong hệ tọa độ đã chọn, chúng tôi xác định tọa độ của các trọng điểm F_1 (-c, 0) và F_2 (c, 0). Với một điểm M (x, y) tùy ý thuộc một hyperbol, ta có:

\ left || \ overrightarrow (F_1M) | - | \ overrightarrow (F_2M) | \ right | = 2a.

Viết phương trình này dưới dạng tọa độ, chúng ta nhận được:

\ sqrt ((x + c) ^ 2 + y ^ 2) - \ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = \ pm2a.

Thực hiện các phép biến đổi tương tự như các phép biến đổi được sử dụng trong phương trình hình elip (tức là loại bỏ tính vô tỷ), chúng ta đi đến phương trình chính tắc của hyperbol:

\ frac (x ^ 2) (a ^ 2) - \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1 \,

trong đó b = \ sqrt (c ^ 2-a ^ 2), tức là hệ thống tọa độ đã chọn là chính tắc.

Bằng cách lập luận ngược lại, có thể chỉ ra rằng tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (3.50) và chỉ chúng thuộc quỹ tích của điểm, được gọi là hyperbol. Do đó, định nghĩa giải tích của một hyperbol tương đương với định nghĩa hình học của nó.

Thuộc tính thư mục của một hyperbola

Ma trận của một hyperbol được gọi là hai đường thẳng đi song song với trục y của hệ tọa độ chính tắc với cùng một khoảng cách a ^ 2 \! \! \ not (\ phantom (|)) \, c từ nó (Hình 3.41, a). Với a = 0, khi hyperbol suy biến thành một cặp đường thẳng cắt nhau, các ma trận trùng với nhau.

Một hyperbol có độ lệch tâm e = 1 có thể được định nghĩa là quỹ tích của các điểm trong mặt phẳng, với mỗi tỷ số của khoảng cách đến một điểm F (tiêu điểm) nhất định với khoảng cách đến một đường thẳng d (ma trận) cho trước là không đi qua một điểm đã cho là hằng số và bằng độ lệch tâm e ( thuộc tính thư mục của một hyperbola). Ở đây F và d là một trong những trọng tâm của hyperbol và là một trong những ma trận trực tiếp của nó, nằm trên cùng một phía của trục y của hệ tọa độ chính tắc.

Thật vậy, ví dụ, đối với tiêu điểm F_2 và ma trận trực tiếp d_2 (Hình 3.41, a), điều kiện \ frac (r_2) (\ rho_2) = e có thể được viết dưới dạng tọa độ:

\ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = e \ left (x- \ frac (a ^ 2) (c) \ right)

Loại bỏ sự bất hợp lý và thay thế e = \ frac (c) (a), ~ c ^ 2-a ^ 2 = b ^ 2, chúng ta đi đến phương trình chính tắc của hyperbol (3,50). Suy luận tương tự có thể được thực hiện cho tiêu điểm F_1 và ma trận trực tiếp d_1:

\ frac (r_1) (\ rho_1) = e \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ sqrt ((x + c) ^ 2 + y ^ 2) = e \ left (x + \ frac (a ^ 2) (c) \ right ).

Phương trình Hyperbol trong tọa độ cực

Phương trình nhánh phải của hyperbol trong hệ tọa độ cực F_2r \ varphi (Hình 3.41, b) có dạng

r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi), trong đó p = \ frac (p ^ 2) (a) - thông số tiêu cự hyperbola.

Thật vậy, hãy chọn đúng tiêu điểm F_2 của hyperbol làm cực của hệ tọa độ cực và tia có gốc tại điểm F_2, thuộc đường F_1F_2, nhưng không chứa điểm F_1 (Hình 3.41, b) như trục cực. Khi đó đối với một điểm M tùy ý (r, \ varphi) thuộc nhánh phải của hyperbol, theo định nghĩa hình học (thuộc tính tiêu điểm) của hyperbol, ta có F_1M-r = 2a. Chúng tôi biểu thị khoảng cách giữa các điểm M (r, \ varphi) và F_1 (2c, \ pi) (xem điểm 2 của chú thích 2.8):

F_1M = \ sqrt ((2c) ^ 2 + r ^ 2-2 \ cdot (2c) ^ 2 \ cdot r \ cdot \ cos (\ varphi- \ pi)) = \ sqrt (r ^ 2 + 4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2).

Do đó, ở dạng tọa độ, phương trình của hyperbol có dạng

\ sqrt (r ^ 2 + 4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2) -r = 2a.

Chúng tôi cô lập căn bậc hai, bình phương cả hai vế của phương trình, chia cho 4 và đưa ra các số hạng như:

r ^ 2 + 4cr \ cdot \ cos \ varphi + 4c ^ 2 = 4a ^ 2 + 4ar + r ^ 2 \ quad \ Leftrightarrow \ quad a \ left (1- \ frac (c) (a) \ cos \ varphi \ đúng) r = c ^ 2-a ^ 2.

Chúng tôi biểu thị bán kính cực r và thực hiện thay thế e = \ frac (c) (a), ~ b ^ 2 = c ^ 2-a ^ 2, ~ p = \ frac (b ^ 2) (a):

r = \ frac (c ^ 2-a ^ 2) (a (1-e \ cos \ varphi)) \ quad \ Leftrightarrow \ quad r = \ frac (b ^ 2) (a (1-e \ cos \ varphi )) \ quad \ Leftrightarrow \ quad r = \ frac (p) (1-e \ cos \ varphi),

Q.E.D. Lưu ý rằng trong tọa độ cực, phương trình hyperbol và elip trùng nhau, nhưng mô tả các đường khác nhau, vì chúng khác nhau về độ lệch tâm (e> 1 đối với hyperbol, 0 \ leqslant e \ sqrt (2) thì góc \ gamma là tù, nhưng với 1