Tâm đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác đầy đủ Nhất

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 và thường xuất hiện trong các bài thi vào lớp 10.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác, công thức tính, phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, ví dụ minh họa kèm theo một số câu hỏi có đáp án giải chi tiết và bài tập tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

• 1. Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác
• 2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
• 3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
• 4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
• 5. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác
• 6. Bài tập vận dụng đường tròn nội tiếp tam giác
• 7. Bài tập tự luyện tâm đường tròn nội tiếp tam giác

1. Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác

a. Đường tròn là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Trong đó: Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn; khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn. Gọi tâm đường tròn là O và bán kính là r. Ta được ký hiệu đường tròn là (O;r)

b. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó hay đường tròn nội tip tam giác còn có cách gọi khác là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Để xác định được không chỉ tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông mà còn tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nữa thì ta cần ghi nhớ lý thuyết.

Cách xác định hay vẽ được tâm đường tròn nội tiếp tam giác ta chỉ cần vẽ 2 đường phân giác trong của tam giác. Giao điểm giữa 2 đường phân giác chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác, hoặc có thể là hai đường phân giác.

- Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C

+ Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác

+ Bước 2 : Tính tỉ số \(k_{1} = \frac{AB}{AC}, k_{2} = \frac{BA}{BC}, k_{3}=\frac{CA}{CB}\)

+ Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F

+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE

+ Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE

- Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:

\(\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB}\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} \end{matrix}\right.\)

Cách 3

Để xác định đường tròn tâm I nội tiếp tam giác MNP, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta vẽ 3 đường phân giác trong của tam giác MNP lần lượt là MD,NE vàPF

Bước 2: Xác định giao điểm I của 3 đường phân giác trong tam giác MNP

Bước 3: Từ tâm O, lần lượt kẻ 3 đường vuông góc với 3 cạnh của MN, MP và NP của tam giác MNP. Giao điểm của 3 đường phân giác là tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

Bước 4: Tiến hành vẽ đường tròn tâm I với bán kính IF = IE = ID

Một số trường hợp đặc biệt trong xác định đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn nội tiếp tam giác vuông; Đường tròn nội tiếp tam giác cân; Đường tròn nội tiếp tam giác đều.

3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Tam giác ABC có độ dài lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC. AC, AB.

- Nửa chu vi tam giác

\(p = \dfrac {a+b+c} {2}\)

- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

\(r = \dfrac {2S}{a+b+c} =\sqrt{\dfrac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\)

4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

- Nhắc lại:

+ Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

+ Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \(A'C=\dfrac{3}{2}\), theo định lý Pytago ta có \(AC^2=AA'^2+A'C^2\Rightarrow AA'^2=3^2-\dfrac {3^2}{4}=\dfrac {9}{4} \Rightarrow AA'=\dfrac {3\sqrt {3}}{2}\)

Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên \(OA=\dfrac{2}3AA'\)

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R= OA = \dfrac{2}{3}AA' = \dfrac{2}{3}. \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt3\) (cm).

c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A', B', C' của các cạnh.

Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’.

Ta có: \(r = OA' =\dfrac{1}{3} AA' =\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (cm).

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).

Bài 3

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung \(\overparen{AB}, \overparen{BC}, \overparen{CD}\) sao cho: \(sđ\overparen{AB}=60^0, sđ\overparen{BC}=90^0, sđ\overparen{CD}=120^0\)

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

GIẢI

a) Xét đường tròn (O) ta có:

\(\displaystyle \widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\) (góc nội tiếp chắn \(\overparen{BCD})\)(1)

\(\displaystyle \widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\) ( góc nội tiếp chắn \(\overparen{ABC}\) ) (2)

Từ (1) và (2) có:

\(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\) (3)

\(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.

Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và \(sđ\overparen{BC}=sđ\overparen{AD}=90^0)\)

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.

\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

\(\displaystyle \widehat {CI{\rm{D}}} =\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}=\displaystyle {{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\)

Vậy \(AC \bot BD.\)

c) Vì \(sđ\overparen{AB}= 60^0\) nên \(\widehat {AOB} = {60^0}\) (góc ở tâm)

=> ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R.

Vì sđ \(\overparen{BC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {90^0}\) (góc ở tâm)

\(\Rightarrow BC = \sqrt{OB^2+OC^2}=R\sqrt2.\)

Kẻ \(OH \bot CD.\)

Tứ giác ABCD là hình thang cân \(\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ADC}=75^0.\)

Lại có \(\Delta BOC\) vuông cân tại O \(\Rightarrow \widehat{BCO}=45^0.\)

\(\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{BCD}-\widehat{BCO}=75^0-45^0=30^0.\)

Xét \(\Delta OCH\) vuông tại H ta có:

\(HC=OC.\cos \widehat{OCH}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.\)

Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

\(\Rightarrow CD=2.CH=R\sqrt3.\)

Bài 4

Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

GIẢI

Vẽ hình:

+) Hình a.

Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung \(\overparen{{A_1}{A_2}}, \overparen{{A_2}{A_3}},...,\overparen{{A_6}{A_1}}\) mà dây căng cung có độ dài bằng R. Nối \({A_1}\) với \({A_2}, {A_2}\) với \({A_3},…, {A_6}\) với A 1 ta được hình lục giác đều \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}\) nội tiếp đường tròn

Tính bán kính:

Gọi \({a_i}\) là cạnh của đa giác đều có i cạnh.

\({a_6}= R (vì O{A_1}{A_2}\) là tam giác đều)

+) Hình b.

Cách vẽ:

+ Vẽ đường kính \(A_1A_3\) của đường tròn tâm O.

+ Vẽ đường kính \(A_2A_4 ⊥A_1A_3\)

Tứ giác \(A_1A_2A_3A_4\) có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông.

Nối \(A_1\) với \(A_2;A_2\) với \(A_3;A_3\) với A_4;A4 với A1 ta được hình vuông \(A_1A_2A_3A_4\) nội tiếp đường tròn (O).

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.

Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông \(O{A_1}{A_2}\) có

\({a^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 2\)

+) Hình c:

Cách vẽ như câu a) hình a.

Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác \({A_1}{A_3}{A_5}\) như trên hình c.

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a.

\({A_1}H =A_1O+OH= R+\dfrac{R}{2} = \dfrac{3R}{2}\)