Tam Giác Cân

Tam giác cân

I – Lý thuyết :

    1 . Tam giác cân :

- Định nghĩa : Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân \[\Delta ABC;AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\]cân tại đỉnh A. BC là cạnh đáy , AB và AC là cạnh bên.

- Tính chất :

\[\Delta ABC;AB=AC;M\in BC;MB=MC\]

\[\Rightarrow B=C;{{A}_{1}}={{A}_{2}};AM\bot BC\]

Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì chính là đường phân giác, đường cao.

- Cách chưng minh một tam giác là tam giác cân (Dấu hiệu nhận biết tam giác cân ).

+ Cách 1 :

   \[\Delta ABC;AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\,\]cân

+ Cách 2 :

   \[\Delta ABC\,;\,\widehat{B}=\widehat{C}\Rightarrow AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\]cân

Chứng minh

Kẻ AH\[\bot \] BC

Xét ∆ABH và ∆ACH có :

B=C ( giả thiết )

AH là cạnh chung

\[{{H}_{1}}={{H}_{2}}=90{}^\circ \]

\[\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\,(g.c.g)\]

\[\Rightarrow \,AB=AC\](hai cạnh tương ứng )

\[\Rightarrow \,\Delta ABC\]cân.

Chứng minh

BE, CE lần lượt là các đường cao ( các đường trung tuyến , đường phân giác )thì BD = CE

Trường hợp BD và CE lần lượt là các đường trung tuyến

Xét ∆ABD và ∆ACE có :

AB = AC ( vì ∆ABC cân )

AE = AD = \[\frac{1}{2}AB\](tính chất đường trung tuyến )

A chung

\[\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\,(c.g.c)\]

\[\Rightarrow BD=CE\] ( hai cạnh tương ứng )

    2 . Tam giac vuông cân :

- Định nghĩa :

  \[\Delta ABC;AB=AC;A=90{}^\circ \Rightarrow B=C=45{}^\circ \]

- Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân :

+ Theo định nghĩa

+ Theo tính chất

   3 . Tam giác đều :

- Định nghĩa :

  \[\Delta ABC;AB=AC=BC\Rightarrow \Delta ACB\]đều

- Tính chất :

      \[\Delta ABC;AB=AC=BC\Rightarrow A=B=C=60{}^\circ \]

- Dấu hiệu nhận biết tam giác đều :

+ Chứng minh ba cạnh bằng nhau : \[\Delta ABC;AB=AC=BC\]

+ Theo tính chất : A = B = C

+ Chứng minh tam giác cân có một góc bằng 60°

Trường hợp 1 : \[\Delta ABC;AB=AC;A=60{}^\circ \]

Trường hợp 2 : \[\Delta ABC;AB=AC;B=60{}^\circ \]

\[\Rightarrow B=C=60{}^\circ \Rightarrow A=180{}^\circ -120{}^\circ =60{}^\circ \]

II – Bài tập :

      1 . Bài toán ví dụ :

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân tại A,\[\widehat{BAC}=40{}^\circ \], đường cao AH. Các điểm E,F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH,AC sao cho \[\widehat{EBA}=\widehat{FBC}=30{}^\circ \]. Chứng minh rằng : AE = AF.

                                                        Giải

Trên nửa mặt phẳng bờ AB, chứa C, lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều.

Trong tam giác ABC, theo đề bài ta có :

\[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{(180{}^\circ -40{}^\circ )}{2}=70{}^\circ \]

\[\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{ABC}-\widehat{FBC}=70{}^\circ -30{}^\circ =40{}^\circ \]

Vậy \[\widehat{ABF}=\widehat{BAF}\Rightarrow \Delta ABF\] cân tại F \[\Rightarrow FA=FB\]

Dựng điểm K, KA = KB. Vậy KF là đường trung trực của AB => KF là đường phân giác của \[\widehat{AKB}\,\]( vì \[\Delta ABK\,\]đều ) \[\Rightarrow \widehat{FKB}=30{}^\circ \Rightarrow \widehat{FKB}=\widehat{EBA}\]   (1) ( theo giả thiết )

\[\Delta ABC\]cân tại A,\[\widehat{BAC}=40{}^\circ \], AH là đường cao \[\Rightarrow \widehat{BAE}=\frac{40{}^\circ }{2}=20{}^\circ \].

Mặt khác \[\widehat{KAF}=\widehat{KAB}-\widehat{FAB}=60{}^\circ -40{}^\circ =20{}^\circ \]

Vậy \[\widehat{KAF}=\widehat{BAE}\,\,(2)\]. Chú ý rằng \[\Delta ABK\]đều nên \[\,AB=AK\,\,\,(3)\]

Từ (1),(2) và (3) => \[\Delta KAF=\Delta BAE\] => AF = AE (đcmp).

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H ∈ BC).

                   a, HB = HC;

                   b, AH là tia phân giác của góc BAC.

                                                              Giải

a, Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta ACH\], có :

           AH chung

  

\[\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\,(c.g.c)\]

      \[\Rightarrow HB=HC\]( hai cạnh tương ứng )

  b, Ta có :\[\Delta ABH=\Delta ACH\,\]

          \[\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}\]( Hai góc tương ứng )

    2 . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Cho tam giác ABC có \[\widehat{A}=90{}^\circ \], AB = AC , điểm D thuộc cạnh  AB. Đường thẳng qua B và vuông góc với CD cắt đường thẳng CA ở K. Chứng rằng AK = AD.

Bài 2: Cho  tam  giác  ABC cố \[\widehat{B}=\widehat{C}\]. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tia phân giác của góc C cắt AB ở  E. So sánh  độ dài của các đoạn thẳng BD và CE.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ \[BD\bot AC,CE\bot AB\,\]\[(D\in AC,E\in AB)\]. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

          a, BD =CE;

          b, \[\Delta OEB=\Delta ODC\];

          c, AO là tia phân giác của góc BAC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = AC và \[\widehat{A}=90{}^\circ \]. Qua đỉnh A kẻ đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn thẳng BC. Kẻ BD và CE vuông góc với xy.

          a, \[\Delta ABD=\Delta ACE\],

          b, DE = BD + CE.

Bài 5: Cho tam giác ABC có \[\widehat{B}=50{}^\circ \]. Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E.

          a, Chúng minh tam giác AEB là tam giác cân;

          b, Tính BAE.

Bài 6: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ). Gọi Am là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác đó. Chúng minh Am // BC.

Bài 7: Cho tam giac ABC vuông cân ở A. Trên đáy BC lấy hai điểm M,N sao cho BM = CN = AB.

          a, Chứng minh AMN là tam giác đều;

          b, Tính MAN.

Bài 8: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh:

          a, DE // BC;

          b, BE = CD;

          c, \[\Delta BED=\Delta CDE\].

Bài viết gợi ý:

1. Hai góc đối đỉnh

2. Đại lượng tỉ lệ nghịch

3. Chuyên đề đại lượng tỉ lệ thuận

4. Cộng trừ đa thức một biến

5. Đa thức một biến

6. Hàm Số

7. Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng