Tập Hợp, Ánh Xạ Và Các Tính Chất Tổng Quát Suy Rộng

Có thể bạn quan tâm

TẬP HỢP, ÁNH XẠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT SUY RỘNG.

I. Định nghĩa và mô tả.

1. Tập hợp

Trong phần này ta sẽ không quá chú trọng đến định nghĩa của “tập hợp” mà thay vào đó, ta sẽ quan tâm đến ý nghĩa, sự mô phỏng thực tế cũng như các tính chất của nó. Một tập hợp $X$ là một đối tượng chứa các phần tử $x$ là các đối tượng con thoả mãn một tính chất nào đó. $X$ có thể là một lớp học bao gồm các $x$ là những học sinh của lớp học đó, hay 1 VD Toán học về $X$ như $\mathbb{R}$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ . Từ đó ta có thể mô tả một cách trực quan và thiếu chặt chẽ cấu trúc và tính chất của các tập hợp số như $\mathbb{N}$ tập hợp tất cả các số tự nhiên $\left \{ 0,1,2,3,... \right\}$ , $\mathbb{Q}$ tập hợp tất cả các số thực có dạng $\frac{a}{b}$ với $b$ là một số thực khác $0$ ,…..

2. Ánh xạ.

Đây là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải Tích mà ứng dụng của nó liên quan đến hầu hết tất cả các ngành Toán học từ Đại số đến Hình học, Số học, … Thông qua khái niệm Ánh xạ và Tập hợp, người ta đã xây dựng lên một mô hình khoa học hiện đại với mối liên quan mật thiết giữa các đại lượng tự nhiên trong cả Toán học và Vật lí.

Cho 2 tập hợp $X$ và $Y$ , giả sử tồn tại một mối liên hệ $R$ nào đó giữa $x$ và $y$ được kí hiệu là $R(x,y)$ . $R$ khi đó được gọi là một quan hệ hàm số (ánh xạ) giữa $X$ và $Y$ nếu và chỉ nếu với mỗi $x \in X$ , tồn tại duy nhất $y \in Y$ sao cho $R(x,y)$ xác định. Đồ thị của một quan hệ $R$ giữa 2 tập $X,Y$ nào đó được gọi là đồ thị hàm số $R$ , được viết là $R=\left \{(x,y) \in X \times Y|y=R(x) \right \}$ . Hai tập hợp $X$ và $Y$ được xác định như trên lần lượt được gọi là “tập nguồn” và “tập đích” của hàm số $R$ .

VD: Cho một quan hệ hàm số $R$ từ tập $X$ lên $Y$ được xác định như sau: “Với mọi các giá trị khác nhau $x\in X$ , tồn tại duy nhất 1 giá trị $y_0 \in Y$ sao cho $R(x,y_0)$ xác định. Khi đó $R$ ở đây là 1 quan hệ ánh xạ đồng nhất (indentical mappings) từ tập $X$ lên tập $Y$ .

a. Tính chất song ánh, toàn ánh, đơn ánh của 1 ánh xạ.

Cho 1 hàm số $F: X \to Y$ . $F$ được gọi là một toàn ánh nếu ta có $F(X)=Y$ (hay $F(X)-Y=\phi$ , $F$ được gọi là một đơn ánh nếu $\forall x_1,x_2 \in X,F(x_1)=F(x_2) \leftrightarrow x_1=x_2$ , $F$ được gọi là song ánh nếu nó vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh.

b. Ánh xạ ngược.

Cho một ánh xạ $F:X \to Y$ . Với mỗi tập con ${Y_1} \subset Y$ , nếu tồn tại một tập con ${X_1} \subset X$ thoả mãn $F({X_1})={Y_1}$ (hay $(X_1,Y_1) \subset F$ , khi đó ta gọi $X_1$ là ánh xạ ngược của $Y_1$ qua ánh xạ $F$ , kí hiệu là $F^{-1}(Y_1)$ .

c. Hợp thành các ánh xạ.

Cho các ánh xạ $F:A \to B,G:B \to C$ (với A,B,C là các tập hợp cho trước), khi đó 1 ánh xạ $H: x \mapsto G(F(x))$ từ A lên C được gọi là một ánh xạ hợp thành giữa G và F (theo thứ tự), được kí hiệu là $G \circ F$ .

Tính chất:

$(G\circ F)^{-1}=F^{-1} \circ G^{-1}$

Ta có thể chứng minh được tính chất này bằng cách lấy hợp các tập hợp như sau:

$id_C=(G\circ F) \circ (G\circ F)^{-1}=(G\circ F) \circ F^{-1} \circ G^{-1}=G\circ (F \circ F^{-1}) \circ G^{-1}=G \circ G^{-1} = id_C$ . Mệnh đề đã cho được chứng minh.

Hợp của 2 đơn ánh là 1 đơn ánh, hợp của 2 toàn ánh là 1 toàn ánh, hợp của 2 song ánh là 1 song ánh. Những tính chất này không khó nhận thấy khi được suy ra từ định nghĩa, và dành cho bạn đọc tự chứng minh.

Khác với tính chất trên, nếu coi như một phép hợp thành 2 ánh xạ $G \circ F$ (xác định như VD bên trên) là toàn ánh, đơn ánh, song ánh thì cả $F,G$ có toàn ánh, đơn ánh, song ánh (theo thứ tự) hay không?

Câu trả lời là không. Ta có thể đi đến một mệnh đều sau đây:

Cho 2 ánh xạ $F,G$ , nếu $G \circ F$ là toàn ánh thì $G$ cũng vậy, nếu $G \circ F$ là đơn ánh thì $F$ cũng vậy.

Chứng minh:

Ta sẽ dùng phản chứng để làm sáng tỏ mệnh đề trên.

Cho các ánh xạ $F:A \to B$ và $G:B \to C$ .

Trường hợp 1: $G \circ F: A \to C$ là toàn ánh.

Giả sử $G$ không phải là một toàn ánh, thế thì $F(A) \subset B \to G(F(A)) \subset G(B) \subset C$ dẫn đến $G \circ F: A \to C$ không phải là toàn ánh, trái với giả thiết ban đầu.

Vậy $G$ phải là một toàn ánh.

Như trên ta đã làm sáng tỏ được $G$ là một toàn ánh khi $G \circ F$ là một toàn ánh. Câu hỏi là tại sao khi $G \circ F$ là toàn ánh mà ta không thể suy ra cả $F,G$ là các toàn ánh?

Câu trả lời hết sức đơn giản, ta có thể có một hình dung một mô phỏng trực quan như sau: Đối với ánh xạ $F$ , ảnh của tập $A$ qua $F$ là một tập con thực sự ${B_1}$ của $B$ , nhưng ảnh của ${B_1}$ và $B - {B_1}$ qua $G$ lại “lấp đầy” toàn bộ tập $C$ , điều này chứng tỏ nếu như $G$ là một không-đơn ánh nào đó, vẫn có thể xảy ra trường hợp $F$ không toàn ánh, $G$ toàn ánh mà vẫn có $G \circ F$ là toàn ánh.

Ta có một ví dụ sau đây:

Cho $F: (x \in \mathbb{R}) \mapsto (x^2 \in \mathbb{R})$ và $G: (y \in \mathbb{R}) \mapsto (1 \in \left \{1 \right \} )$ . Ta thấy rõ ràng $F$ không phải là một toàn ánh, nhưng $G \circ F$ lại luôn luôn là một toàn ánh.

Trường hợp 2: $G \circ F: A \to C$ là đơn ánh.

Giả sử $F:A \to B$ không phải là một đơn ánh, khi đó tồn tại các giá trị $x_1 \ne x_2$ thuộc $A$ và $F(x_1)=F(x_2)$ . Thế thì $G(F(x_1))=G(F(x_2))$ dẫn đến $G \circ F$ không phải là đơn ánh, trái với giả thiết ban đầu.

Vậy $F$ phải là một đơn ánh.

Cũng như ví dụ bên trên khi $G \circ F$ là toàn ánh, ta có một thắc mắc là tại sao khi $G \circ F$ là đơn ánh ta lại không thể suy ra cả $G,F$ là các đơn ánh?

Như bên trên, ta đã chứng minh được $F$ là một đơn ánh khi có $G \circ F$ là một đơn ánh. Đôi khi có những thắc mắc rất chính đánh, giống như ở trên, ta cũng có một lập luận khá tương tự như sau: Ảnh của tập hợp $A$ qua $F$ không “lấp đầy” toàn bộ tập $B$ , trong khi đó nếu chọn $G$ là một không-đơn ánh nào đó có 2 điểm riêng biệt ${y_1} \in F(A)$ và ${y_2} \in B - F(A)$ mà vẫn có $G(y_1)=G(y_2)$ thì ta hoàn toàn có thể bác bỏ được giả thiết $G$ cũng là một đơn ánh.

Tương tự như trên, ta cũng có một ví dụ sau đây:

Cho $F: (x \in \mathbb{R}_+) \mapsto (x \in \mathbb{R})$ và $G: (y \in \mathbb{R}) \mapsto (y^2 \in \mathbb{R})$ . Ta thấy rõ ràng $G$ không phải là một đơn ánh, nhưng ánh xạ hợp thành $G \circ F: (x \in \mathbb{R}_+) \mapsto (x^2 \in \mathbb{R})$ là một đơn ánh.

Bài tập.

1.Cho $F$ là một ánh xạ $A \to B$ , chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

a. $F$ là một đơn ánh.

b. Với mọi tập con $A,B \subset X$ , $F(A\cap B) = F(A) \cap F(B)$

c. Với mọi tập con $A, B \subset X$ thoả mãn $B \subset A$ , $F(A-B)=F(A)-F(B)$

d. $F^ {-1}(F(A))=A$

2. Cho $X,Y$ là 2 tập hợp và một đơn ánh $F:X \to Y$ , một đơn ánh $G: Y \to X$ . Chứng minh rằng tồn tại 2 tập con $A,B$ của $X$ thoả mãn $B=X-A$ , 2 tập con $A_1, B_1$ của $Y$ thoả mãn ${B_1} = Y - {A_1}$ sao cho $A_1=f(A)$ và $B=G(B_1)$ .