Thuật Toán Sắp Xếp Vun đống (Heap Sort) - DNMTechs

Sắp xếp vun đống (Heap Sort) là một kỹ thuật sắp xếp phân loại dựa trên một cấu trúc dữ liệu được gọi là đống nhị phân (binary heap), gọi đơn giản là đống. Nó tương tự như thuật toán Sắp xếp chọn (Selection Sort) nơi phần tử lớn nhất sẽ được xếp vào cuối danh sách. Lặp đi lặp lại các bước này cho các phần tử còn lại của danh sách.

Phân loại: Thuật toán sắp xếp Cấu trúc dữ liệu: Mảng Hiệu suất trường hợp xấu nhất: O(nlogn) Hiệu suất trường hợp tốt nhất: O (nlogn) (các khóa riêng biệt) hoặc O(n) (các khóa bằng nhau) Hiệu suất trung bình: O(nlogn) Trường hợp phức tạp nhất về không gian: O(1)

Khái niệm đống nhị phân (binary heap)

Mỗi mảng a[1..n] có thể xem như một cây nhị phân gần đầy (có trọng số là các giá trị của mảng), với gốc ở phần tử thứ nhất, con bên trái của đỉnh a[i] là a[2*i] con bên phải là a[2*i+1] (nếu mảng bắt đầu từ 1 còn nếu mảng bắt đầu từ 0 thì hai nhánh con là a[2*i+1] và a[2*i+2]) (nếu 2*i ≤ n hoặc 2*i+1 ≤ n, khi đó các phần tử có chỉ số lớn hơn (int) (n/2) không có con, do đó là lá).

• Một cây nhị phân, được gọi là đống cực đại nếu khóa của mọi nút không nhỏ hơn khóa các con của nó. Khi biểu diễn một mảng a[ ] bởi một cây nhi phân theo thứ tự tự nhiên điều đó nghĩa là a[i] ≥ a[2*i] và a[i] ≥ a[2*i+1] với mọi i =1..int(n/2). Ta cũng sẽ gọi mảng như vậy là đống. Như vậy trong đống a[1] (ứng với gốc của cây) là phần tử lớn nhất. Mảng bất kỳ chỉ có một phần tử luôn luôn là một đống.
• Một đống cực tiểu được định nghĩa theo các bất đẳng thức ngược lại: a[i] ≤ a[2*i] và a[i] ≤ a[2*i+1]. Phần tử đứng ở gốc cây cực tiểu là phần tử nhỏ nhất.

Kỹ thuật vun đống

Việc sắp xếp lại các phần tử của một mảng ban đầu sao cho nó trở thành đống được gọi là vun đống.

Vun đống tại đỉnh thứ i

Nếu hai cây con gốc 2*i và 2*i+1 đã là đống thì để cây con gốc i trở thành đống chỉ việc so sánh giá trị a[i] với giá trị lớn hơn trong hai giá trị a[2*i] và a[2*i+1], nếu a[i] nhỏ hơn thì đổi chỗ chúng cho nhau. Nếu đổi chỗ cho a[2*i], tiếp tục so sánh với con lớn hơn trong hai con của nó cho đên khi hoặc gặp đỉnh lá.

Vun một mảng thành đống

Để vun mảng a[1..n] thành đống ta vun từ dưới lên, bắt đầu từ phần tử a[j] với j = Int (n/2) ngược lên tới a[1].

Sắp xếp bằng vun đống

• Đổi chỗ (Swap): Sau khi mảng a[1..n] đã là đống, lấy phần tử a[1] trên đỉnh của đống ra khỏi đống đặt vào vị trí cuối cùng n, và chuyển phần tử thứ cuối cùng a[n] lên đỉnh đống thì phần tử a[n] đã được đứng đúng vị trí.
• Vun lại: Phần còn lại của mảng a[1..n-1] chỉ khác cấu trúc đống ở phần tử a[1]. Vun lại mảng này thành đống với n-1 phần tử.
• Lặp: Tiếp tục với mảng a[1..n-1]. Quá trình dừng lại khi đống chỉ còn lại một phần tử.

Ví dụ

Ví dụ 01: Cho mảng a=(2,3,5,6,4,1,7), Ở đây n = 7. Các phần tử từ a[4] đến a[7] là lá.

Tạo đống

• Vun cây gốc a[3] ta được mảng a=(2,3,7,6,4,1,5)
• Vun cây gốc a[2] ta được mảng a=(2,6,7,3,4,1,5)
• Vun cây gốc a[1] ta được mảng a=(7,6,5,3,4,1,2)

Bây giờ a=(7,6,5,3,4,1,2) đã là đống.

Sắp xếp vun đống

1. Đổi chỗ a[1] với a[7]: a=(2,6,5,3,4,1,7) và vun lại mảng a[1..6] ta được mảng a=(6,4,5,3,2,1,7)
2. Đổi chỗ a[1] với a[6]: a=(1,4,5,3,2,6,7) và vun lại mảng a[1..5] ta được mảng a=(5,4,1,3,2,6,7)
3. Đổi chỗ a[1] với a[5]: a=(1,4,2,3,5,6,7) và vun lại mảng a[1..4] ta được mảng a=(4,3,1,2,5,6,7)
4. Đổi chỗ a[1] với a[4]: a=(1,3,2,4,5,6,7) và vun lại mảng a[1..3] ta được mảng a=(3,2,1,4,5,6,7)
5. Đổi chỗ a[1] với a[3]: a=(2,1,3,4,5,6,7) và vun lại mảng a[1..2] ta được mảng a=(2,1,3,4,5,6,7)
6. Đổi chỗ a[1] với a[2]:a=(1,2,3,4,5,6,7) Mảng còn lại chỉ một phần tử.
7. Quá trình sắp xếp đã xong.

Ví dụ 02: Sắp xếp mảng { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 } từ nhỏ đến lớn sử dụng phương pháp vun đống

Tạo đống

Đống	Phần tử mới được thêm vào	Đổi chỗ phần tử
null	6
6	5
6, 5	3
6, 5, 3	1
6, 5, 3, 1	8
6, 5, 3, 1, 8	5, 8
6, 8, 3, 1, 5	6, 8
8, 6, 3, 1, 5	7
8, 6, 3, 1, 5, 7	3, 7
8, 6, 7, 1, 5, 3	2
8, 6, 7, 1, 5, 3, 2	4
8, 6, 7, 1, 5, 3, 2, 4	1, 4
8, 6, 7, 4, 5, 3, 2, 1

Sắp xếp (vun đống)

Heap	Phần tử hoán đổi	Xóa phần tử	mảng sắp xếp	chi tiết
8 , 6, 7, 4, 5, 3, 2, 1	8, 1	hoán đổi 8 và 1 để xóa 8 từ đống
1, 6, 7, 4, 5, 3, 2, 8	số 8	xóa 8 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
1 , 6, 7 , 4, 5, 3, 2	1, 7	số 8	hoán đổi 1 và 7 vì chúng không theo thứ tự trong đống
7, 6, 1 , 4, 5, 3 , 2	1, 3	số 8	hoán đổi 1 và 3 vì chúng không theo thứ tự trong đống
7 , 6, 3, 4, 5, 1, 2	7, 2	số 8	hoán đổi 7 và 2 để xóa 7 từ đống
2, 6, 3, 4, 5, 1, 7	7	số 8	xóa 7 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
2 , 6 , 3, 4, 5, 1	2, 6	7, 8	hoán đổi 2 và 6 vì chúng không theo thứ tự trong đống
6, 2 , 3, 4, 5 , 1	2, 5	7, 8	hoán đổi 2 và 5 vì chúng không theo thứ tự trong đống
6 , 5, 3, 4, 2, 1	6, 1	7, 8	hoán đổi 6 và 1 để xóa 6 từ đống
1, 5, 3, 4, 2, 6	6	7, 8	xóa 6 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
1 , 5 , 3, 4, 2	1, 5	6, 7, 8	hoán đổi 1 và 5 vì chúng không theo thứ tự trong đống
5, 1 , 3, 4 , 2	1, 4	6, 7, 8	hoán đổi 1 và 4 vì chúng không theo thứ tự trong đống
5 , 4, 3, 1, 2	5, 2	6, 7, 8	hoán đổi 5 và 2 để xóa 5 từ đống
2, 4, 3, 1, 5	5	6, 7, 8	xóa 5 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
2 , 4 , 3, 1	2, 4	5, 6, 7, 8	hoán đổi 2 và 4 vì chúng không theo thứ tự trong đống
4 , 2, 3, 1	4, 1	5, 6, 7, 8	hoán đổi 4 và 1 để xóa 4 từ đống
1, 2, 3, 4	4	5, 6, 7, 8	xóa 4 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
1 , 2, 3	1, 3	4, 5, 6, 7, 8	hoán đổi 1 và 3 vì chúng không theo thứ tự trong đống
3 , 2, 1	3, 1	4, 5, 6, 7, 8	hoán đổi 3 và 1 để xóa 3 từ đống
1, 2, 3	3	4, 5, 6, 7, 8	xóa 3 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
1 , 2	1, 2	3, 4, 5, 6, 7, 8	hoán đổi 1 và 2 vì chúng không theo thứ tự trong đống
2 , 1	2, 1	3, 4, 5, 6, 7, 8	hoán đổi 2 và 1 để xóa 2 từ đống
1, 2	2	3, 4, 5, 6, 7, 8	xóa 2 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
1	1	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xóa 1 từ heap và thêm vào mảng đã sắp xếp
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hoàn thành

Sắp xếp vun đống trong lập trình C++

Sắp xếp một mảng arr[] = { 12, 11, 13, 5, 6, 7 } theo thứ tự tăng dần sử dụng phương pháp vun đống bằng ngôn ngữ lập trình C++. Nhấp đôi vào code để copy và chạy thử xem kết quả.

#include <iostream> using namespace std; // Vun dong mot cay con co nut root la i // n la kich thuoc cua dong void heapify(int arr[], int n, int i) { int largest = i; // khoi tao largest nhu la root int l = 2 * i + 1; // left = 2*i + 1 int r = 2 * i + 2; // right = 2*i + 2 // Neu nut con trai lon hon so voi root if (l < n && arr[l] > arr[largest]) largest = l; // Neu nut con phai lon hon so voi root if (r < n && arr[r] > arr[largest]) largest = r; // Neu root khong phai la lon nhat if (largest != i) { swap(arr[i], arr[largest]); // De quy lai ham heapify heapify(arr, n, largest); } } // Ham vun dong void heapSort(int arr[], int n) { // Tao mot dong (Sap xep lai mang) for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) heapify(arr, n, i); // Trích xuất từng một phần tử một từ heap for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { // Di chuyen root ve cuoi cung swap(arr[0], arr[i]); // goi ham heapify heapify(arr, i, 0); } } void printArray(int arr[], int n) { for (int i = 0; i<n; ++i) cout << arr[i] << " "; cout << "\n"; } int main() { int arr[] = { 12, 11, 13, 5, 6, 7 }; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); heapSort(arr, n); cout << "Sorted array is \n"; printArray(arr, n); cin.get(); getchar(); return 0; }