Thuật Toán Tìm Ma Trận Bậc Thang | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Bước 1: Kiểm tra $a_{11} \ne 0$ ?

1.1 Nếu $a_{11} = 0$ và $a_{i1} \ne 0$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.

1.2 Nếu $a_{11} \ne 1$ và $a_{k1} = 1$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.

Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới $a_{11}$ bằng phép biến đổi:

$h_i \to h_i - { \dfrac{a_{i1}}{a_{11}}} h_1 , (i = 2, 3, ... m)$

Khi đó, ma trận sẽ có dạng:

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng b�c thang dòng

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng bậc thang dòng

Bước 3: Kiểm tra $b_{22} \ne 0$ ?

1.1 Nếu $b_{22} = 0$ và $b_{j2} \ne 0 (j > 2)$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng j.

1.2 Nếu $b_{22} \ne 1$ và $b_{k2} = 1$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ $b_{22}$ trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành

Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới $b_{22}$ bằng phép biến đổi:

$h_i \to h_i - { \dfrac{b_{i2}}{b_{22}}} h_2 , (i = 3, ... m)$

Ma trận đưa về dạng:

Chuẩn hóa cột 2

Tiếp tục quá trình trên cho phần tử $c_{33}$ , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ \end{array} \right )$

Bước 1: Phần tử $a_{11} = 0 , a_{i1} \ne 0 , (i = 2, 3, 4)$ . Tuy nhiên $a_{41} = 1$ nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )$

Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_2 \to h_2 - 4h_1, h_3 \to h_3 - 10h_1$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )$

Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy $a_{22} = -20$ là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.

Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ \end{array} \right )$

Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_3 \to h_3 + 13h_2, h_4 \to h_4 + 5h_2$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 14 \\ \end{array} \right )$

Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$

Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.

Nhận thấy các phần tử $a_{33} = 0, a_{43} = 0$ nên cột 3 đã được chuẩn hóa.

Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử $a_{34}$

Do $a_{34} = 0$ , và $a_{44} = 0$ nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy dòng 4 trừ dòng 3.

Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang

Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:

Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: $c_2 \to c_2 -7c_1$ , $c_3 \to c_3 - 3c_1$ , $c_4 \to c_4 - 17c_1$ , $c_5 \to c_5 - 9c_1$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bằng cách thực hiện phép biến đổi: $c_3 \to c_3 -4c_2$ , $c_4 \to c_4 - 10c_2$ , $c_5 \to c_5 - 3c_2$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

61 bình luận về “Thuật toán tìm ma trận bậc thang”

Tim ma trận sao cho binh phương ma trân vuông bậc hai bằng ma trân đơn vị Cấp 2 ai bày với tks nhiu

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyên minh hiếu | 02/11/2015, 18:45 Reply to this comment
các thầy cô và các bạn cho em hỏi cách khử toàn theo phương pháp dạng hình thang và cách tính bao nhiêu tuyến tính…..Em xin cảm ơn

ThíchThích
Được đăng bởi dang van Vu | 26/03/2015, 01:47 Reply to this comment
neu b22 khac 1 va bk2 cung khac 1 thi lam sao a

ThíchThích
Được đăng bởi le huu dan | 19/03/2015, 17:25 Reply to this comment
- Em tìm mối liên hệ giữa các dòng ở cột 2 để cộng, trừ nhằm làm xuất hiện số 1. Ví dụ: b22= 2, bk2 = 7 thì biến đổi bk2 = bk2 – 3*b22. Khi đó bk2 xuất hiện số 1. xong em đổi chỗ 2 dòng cho nhau
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 19/03/2015, 21:33 Reply to this comment
hạng của ma trận đơn giản là số hàng khác 0 của ma trận bậc thang thui, hj

ThíchThích
Được đăng bởi Ky Duyen | 14/03/2012, 00:29 Reply to this comment
Cho mình hỏi tìm hạng của ma trận thì tìm làm sao? Mình thật loạn lên vì cái phần này

ThíchThích
Được đăng bởi The Death | 25/02/2012, 22:58 Reply to this comment
em thấy nên cho nhiều ví dụ hơn ( không cần nhiều lắm, 2 là đủ rồi) >’-‘<

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyễn Thái Quân | 07/12/2011, 15:13 Reply to this comment
đúng ak. cũng hay.

ThíchThích
Được đăng bởi ngân | 14/11/2011, 20:10 Reply to this comment
Những bài này cũng làm cho em hiểu nhiều về dạng toán bậc thang. Em cảm ơn tác giả đã đăng bài này

ThíchThích
Được đăng bởi dothibehien | 07/11/2011, 17:21 Reply to this comment
- Tại sao đổi chỗ hàng không đổi dấu?
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi Đại Trượng Phu | 10/11/2011, 17:35 Reply to this comment
  - Ở đây là phép biến đổi sơ cấp trên ma trận chứ không phải là phép biến đổi sơ cấp trên định thức của ma trận vuông.
    
    ThíchThích
    Được đăng bởi 2Bo02B | 10/11/2011, 19:17 Reply to this comment
- ma trận bậc thang chính tắc là gì?
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi thắng tú | 01/12/2011, 15:33 Reply to this comment