Thuật Toán Tìm Ma Trận Bậc Thang | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Bước 1: Kiểm tra $a_{11} \ne 0$ ?

1.1 Nếu $a_{11} = 0$ và $a_{i1} \ne 0$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.

1.2 Nếu $a_{11} \ne 1$ và $a_{k1} = 1$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.

Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới $a_{11}$ bằng phép biến đổi:

$h_i \to h_i - { \dfrac{a_{i1}}{a_{11}}} h_1 , (i = 2, 3, ... m)$

Khi đó, ma trận sẽ có dạng:

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng b�c thang dòng

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng bậc thang dòng

Bước 3: Kiểm tra $b_{22} \ne 0$ ?

1.1 Nếu $b_{22} = 0$ và $b_{j2} \ne 0 (j > 2)$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng j.

1.2 Nếu $b_{22} \ne 1$ và $b_{k2} = 1$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ $b_{22}$ trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành

Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới $b_{22}$ bằng phép biến đổi:

$h_i \to h_i - { \dfrac{b_{i2}}{b_{22}}} h_2 , (i = 3, ... m)$

Ma trận đưa về dạng:

Chuẩn hóa cột 2

Tiếp tục quá trình trên cho phần tử $c_{33}$ , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ \end{array} \right )$

Bước 1: Phần tử $a_{11} = 0 , a_{i1} \ne 0 , (i = 2, 3, 4)$ . Tuy nhiên $a_{41} = 1$ nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )$

Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_2 \to h_2 - 4h_1, h_3 \to h_3 - 10h_1$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )$

Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy $a_{22} = -20$ là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.

Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ \end{array} \right )$

Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_3 \to h_3 + 13h_2, h_4 \to h_4 + 5h_2$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 14 \\ \end{array} \right )$

Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$

Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.

Nhận thấy các phần tử $a_{33} = 0, a_{43} = 0$ nên cột 3 đã được chuẩn hóa.

Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử $a_{34}$

Do $a_{34} = 0$ , và $a_{44} = 0$ nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy dòng 4 trừ dòng 3.

Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang

Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:

Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: $c_2 \to c_2 -7c_1$ , $c_3 \to c_3 - 3c_1$ , $c_4 \to c_4 - 17c_1$ , $c_5 \to c_5 - 9c_1$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bằng cách thực hiện phép biến đổi: $c_3 \to c_3 -4c_2$ , $c_4 \to c_4 - 10c_2$ , $c_5 \to c_5 - 3c_2$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

61 bình luận về “Thuật toán tìm ma trận bậc thang”

trong sách giáo khoa ko có đổi chỗ hang,cột đâu thầy

ThíchThích
Được đăng bởi vi chiên thắng | 17/10/2010, 23:08 Reply to this comment
- Đổi chỗ 2 dòng cho nhau là 1 trong 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng) mà em. Có một số giáo trình chỉ trình bày phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cũng như chỉ trình bày ma trận bậc thang dòng (chứ không trình bày pbdsc trên cột, hoặc ma trận bậc thang cột) là không đầy đủ (có thể vì sợ nhiều quá SV sẽ rối và sai khi dùng pbdsc trên cột để tìm ma trận nghịch đảo hoặc giải hệ pt).
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 18/10/2010, 21:00 Reply to this comment
Giải pt gauss chỉ có thể đưa ma trận về ma trận bậc thang bằng những biến đổi trên hàng thì hơi khó thầy ơi!

ThíchThích
Được đăng bởi Trâm | 10/10/2010, 08:17 Reply to this comment
NEU MINH CHU Y MOT CHUT THI KHONG CO GI KHO LAM DAU .

ThíchThích
Được đăng bởi vu thu | 22/01/2010, 09:35 Reply to this comment
cái bước biến đổi sao chuyển 2 dòng lại ko đổi dấu ma trận vậy.Kỳ cục qúa đi mất

ThíchThích
Được đăng bởi angelmatnau | 02/01/2010, 20:57 Reply to this comment
- Em nên xem kỹ lại phần lý thuyết, phép biến đổi sơ cấp đổi chỗ hai dòng cho nhau chỉ làm đổi dấu định thức của ma trận, chứ không phải làm đổi dấu ma trận.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 02/01/2010, 21:42 Reply to this comment
um! cai nay kho qua di! huhuhu

ThíchThích
Được đăng bởi Ken | 28/11/2009, 21:30 Reply to this comment
khó hiểu wa

ThíchThích
Được đăng bởi thuhuyen | 24/11/2009, 20:41 Reply to this comment
đồng ý, khi giải hệ pt bằng pp Gauss ta chỉ cần đưa về dạng bậc thang, nhưng khi dùng pp Jordan gauss phải đưa về dạng Hermit (bậc thang thu gọn),và các phép biến đổi sơ cấp đều phải dùng cho hàng, không được dùng cho cột vì thứ tự và giá trị các phần tử trong cột có liên quan đến biến (ẩn số), làm như vậy sẽ dẫn đến thay đổi bản chất của ma trận đang giải

ThíchThích
Được đăng bởi nguyen khoi | 18/11/2009, 18:58 Reply to this comment
Các phép biến đổi sơ cấp ở cột cũng chỉ áp dụng được khi đưa ma trận về dạng ma trận bậc thang với khi tính định thức. Chứ khi giải phương trình (dùng ma trận hệ số mở rộng thì không được dùng đúng không thầy?

ThíchThích
Được đăng bởi ngoc ha | 05/11/2009, 09:20 Reply to this comment
vd ta có ma trận vuông sau

7 3 4 5 3 1 4 5 6 7 8 9 4 6 5 2

Khi đưa ma trận sau về dạng bậc thang nếu như em không muốn đổi các dòng với nhau, thì em có thể đưa d3-> 7d3-6d1 vẫn đúng đúng không thầy? Ta vẫn có thể áp dụng như vậy đối với ma trận hệ số mở rộng khi giải phương trình? Còn khi tính định thức thì không được nhân 7 vào dòng 3 vì khi đó giá trị định thức đã tăng 3 lần đúng không thầy?

ThíchThích
Được đăng bởi ngoc ha | 05/11/2009, 09:18 Reply to this comment
- Khi đó, giá trị của định thức tăng lên 7 lần lận em à
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 05/11/2009, 13:44 Reply to this comment
thay cho em hoi cach giai bai toan tim hang cua ma tran bang phuong phap lap ma tran bac thang de nhat va nhanh nhat.em cam on thay

ThíchThích
Được đăng bởi hoang tuong vi | 03/11/2009, 08:28 Reply to this comment
email thay la j day. em dag học ma trận mà mù tjt qua thay ak

ThíchThích
Được đăng bởi Hawk | 03/11/2009, 06:23 Reply to this comment
thầy ơi hình như chỉ có khi dùng ma trận để giải hệ phương trình mới không được dùng các phép biến đổi trên cột thôi đúng không thầy? Còn khi tính định thức hay đưa ma trận về dạng ma trận bậc thang (để tìm hạng,…) thì vẫn được dùng các phép biến đổi trên cột? Em cảm ơn thầy

ThíchThích
Được đăng bởi ngoc ha | 02/11/2009, 17:37 Reply to this comment
- Đúng vậy em à, khi giải hpt và khi tìm ma trận nghịch đảo thì ta chỉ dùng pbdsc trên dòng
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 02/11/2009, 21:36 Reply to this comment