Thứ năm - 04/02/2016 00:51 Định nghĩa tích có hướng. Công thức tích có hướng của hai vector trong không gian. Tính chất của tích có hướng. Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích hình bình hành. Ứng dụng tích có hướng tính thể tích của khối chóp và khối hộp. Quan hệ của tích có hướng và sự đồng phẳng của các vector. Hình 1. Tích có hướng Định nghĩa tích có hướng của hai vector. Tích có hướng của hai vector $\vec u$ và $\vec v$ trong không gian, ký hiệu là $\left[ {\vec u,\vec v} \right]$ hoặc $\vec u \wedge \vec v,$ là vector $\vec w$ thoả $3$ điều kiện
$\vec w$ có phương vuông góc với cả $\vec u$ và $\vec v$.
$\left| {\vec w} \right| = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \sin \alpha ,$ với $\alpha$ là góc hợp bởi $\vec u$ và $\vec v$.
bộ ba vector $\left( {\vec u,\vec v,\vec w} \right)$ tạo thành một bộ ba thuận. - xem Hình 1.
Tính chất 1. $$\vec u\parallel \vec v \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \vec 0.$$ Công thức toạ độ của tích có hướng. Toạ động của vector tích có hướng của hai vector $\vec u = \left( {{u_1};{u_2};{u_3}} \right)$ và $\vec v = \left( {{v_1};{v_2};{v_3}} \right)$ là $$\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2}}&{{u_3}}\\ {{v_2}}&{{v_3}} \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}}&{{u_3}}\\ {{v_1}}&{{v_3}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}}&{{u_2}}\\ {{v_1}}&{{v_2}} \end{array}} \right|} \right),$$ trong đó định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right| = ad - bc.$Ví dụ 1. Tích có hướng của hai vector $\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)$ và $\vec b = \left( {1;2;4} \right)$ là $$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3\\ 2&4 \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 10; - 5;5} \right).$$ Ví dụ 2. Dùng tích có hướng để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm $A\left( {1;3;1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( {0;0;1} \right).$Giải. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 3;0} \right).$ Suy ra $$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3; - 1;1} \right) \ne \overrightarrow 0 .$$ Theo tính chất 1 thì hai vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ không cùng phương. Nghĩa là $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Tích hỗn tạp của 3 vector. Tích hỗn tạp của 3 vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ là tích vô hướng của một vector bất kì với vector tích có hướng của hai vector còn lại: $\left[ {\vec u,\vec v} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec v,\vec u} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec w,\vec v} \right] \cdot \vec u$,... Có tất cả $A_3^2$ bộ như vậy. Tính chất 2. Ba vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ đồng phẳng khi tích hỗn tạp của chúng bằng $0$. Ví dụ 3. Dùng tích hỗn tạp đễ kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vector sau $\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)$, $\vec b = \left( {1;2;4} \right)$ và $\vec c = \left( {1;-2;0} \right)$.Giaỉ. Ta có $\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3\\ 2&4 \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 10; - 5;5} \right).$ Suy ra $\left[ {\vec a,\vec b} \right] \cdot \vec c = - 10 \cdot 1 + \left( { - 5} \right)\left( { - 2} \right) + 5 \cdot 0 = 0.$ Theo tính chất 2 thì ba vector $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng. Hình 2. Hình bình hành.Ứng dụng tính diện tích hình bình hành của tích có hướng. Diện tích hình bình hành $ABCD$ được tính theo công thức $${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$$Hình 3. Khối hộp Ứng dụng tính thể tích khối hộp và khối chóp của tích có hướng.Thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ được tính bởi công thức $${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] \cdot \overrightarrow {AA'} } \right|$$Từ đây suy ra thể tích khối chóp $A'.ABD$ là $${V_{A'.ABD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] \cdot \overrightarrow {AA'} } \right|$$Hình 4. Ví dụ 3Ví dụ 4.Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A\left( {1;2;1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { 5 ;2; - 3} \right),D\left( {4;5; - 6} \right).$a. Tính thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$. b. Tính thể tích tứ diện $ABCD$. c. Tính diện tích của tam giác $ABC$. d. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.Giải. a. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;3} \right),\;\;\overrightarrow {AC} = \left( { 4;0; - 4} \right),\;\;\overrightarrow {AD} = \left( {3;3; - 7} \right).$ Suy ra $$\begin{array}{c} \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&3\\ 0&4 \end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 4&{ - 4} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}\\ { - 4}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 12; 16; - 12} \right).\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} = - 12 \cdot 3 + 3 \cdot 16 + \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 12} \right) = 96 \ne 0. \end{array}$$Vì $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} \ne 0$ nên theo tính chất 2 ta suy ra các vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ không đồng phẳng. Nghĩa là bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, và do đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện. b. Diện tích của tam giác $ABC$ là $${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 12} \right)}^2} + {{16}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} = \sqrt {34} .$$ c. Thể tích của tứ diện $ABCD$ là $${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{96}}{6} = 16.$$ d. Thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ là $$V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = 96.$$Bài tập (nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá
Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh
Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Mã an toàn
Những tin mới hơn
Vector chỉ phương của đường thẳng (05/02/2016)
Phương trình đường thẳng trong không gian (05/02/2016)
Hai đường thẳng cắt nhau (05/02/2016)
Hai đường thẳng song song (05/02/2016)
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (05/02/2016)
Góc giữa hai mặt phẳng (04/02/2016)
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (04/02/2016)
Phương trình mặt phẳng (04/02/2016)
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (04/02/2016)
Ba điểm thẳng hàng - Bốn điểm đồng phẳng (04/02/2016)
Bài viết cùng chuyên mục
Hệ toạ độ Decart vuông góc (03/02/2016)
Chương trình
Đại số tổ hợp & Xác suất
Hình học giải tích không gian
Bất đẳng thức
Lượng giác
Tích phân
Hàm mũ & logarit
Khảo sát hàm số
Hình học không gian
Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
Phép biến hình trong mặt phẳng
Hình học giải tích phẳng
Số phức
Toán chuyên đề
Đại số
Thư viện trực tuyến
Đề thi - Đáp án đại học
Sách giáo khoa toán
Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016
Kiến thức mới
06 02.2016
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...
25 08.2016
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...
06 02.2016
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....
05 02.2016
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...
05 02.2016
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...
Thư viện trực tuyến
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
10 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 12
Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 11
Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 6
Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.
