Tích Phân Bất định Của Các Hàm Hữu Tỷ - Math Of CaolacVC

Trang chủ » Hàm Hữu Tỉ Xác định Khi Nào » Tích Phân Bất định Của Các Hàm Hữu Tỷ - Math Of CaolacVC

Có thể bạn quan tâm

  • Home
  • Contact
  • Edit
Math of CaolacVC Math of CaolacVC

tìm kiếm

HomeĐại họcTÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ June 22, 2017

Khi học phép tính tích phân ở THPT chúng ta thường chỉ giải quyết các bài toán cụ thể từ dễ đến khó, từ đó lâu dần có kinh nghiệm và độ nhạy bén để xử lý các tích phân tùy vào khả năng mỗi người. Không biết các bạn như thế nào chứ đối với bản thân Caolac thì việc biết được nguồn gốc cũng như cách thức tổng quát thì cảm thấy rất tuyệt, cho dù có thể việc tính toán phức tạp, nhưng mình biết là sẽ giải quyết được vấn đề. Giống như việc cho một định thức cấp $n$, thì Caolac biết là chắc chắn sẽ tính được thông qua khai triển Laplace cho dù cách này có thể khá phức tạp so với nhiều cách khác

Bài viết này Caolac và các bạn cùng nhau đi tìm hiểu về "Tích phân bất định của một số lớp hàm đặc biệt" mà cụ thể ở đây là lớp các hàm hữu tỷ, tức là biểu thức dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỷ. Nếu nắm được ý tưởng trong bài viết này thì khi gặp tích phân bất định của hàm hữu tỷ ta sẽ không còn lo ngại, vấn đề còn lại chỉ là thời gian và tốc độ tính toán

Trong bài viết này thì từ "tích phân" sẽ hiểu là "tích phân bất định"

Tích phân bất định của hàm hữu tỷ có dạng:

$$\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$$

trong đó $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức có bậc hữu hạn

Ý tưởng của việc tính tích phân bất định của lớp hàm hữu tỷ này là phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng của những phân thức hữu tỷ mà ở đó việc tính tích phân bất định của chúng là đơn giản hơn nhiều. Ok, chúng ta hãy cùng nhau xâm nhập vấn đề nào, Let's go!

Ở đây ta chỉ xét trường hợp $\deg(P) < \deg(Q)$ ($\deg(P)$ là bậc của đa thức $P(x)$). Bởi lẽ một lý do đơn giản là nếu $\deg(P) \ge \deg(Q)$ thì bằng phép chia đa thức ta có thể viết lại dưới dạng:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$$

trong đó $H(x)$ là thương của phép chia, $R(x)$ là phần dư và tất nhiên là $\deg(R) < \deg(Q)$

Cơ sở quan trọng của việc hình thành phương pháp tính tích phân của lớp hàm hữu tỷ này là định lý:

Mọi đa thức với hệ số thực luôn có thể phân tích thành nhân tử của các đơn thức và đa thức bậc hai

Theo định lý trên thì $Q(x)$ có thể phân tích được thành nhân tử của các đơn thức và đa thức bậc hai, do đó $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ có thể phân tích được thành tổng của các phân thức dạng:

$$\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{A_n}{(ax+b)^n}$$ và $$\frac{B_1x+C_1}{px^2+qx+r}+\frac{B_2x+C_2}{(px^2+qx+r)^2}+\cdots+\frac{B_mx+C_m}{(px^2+qx+r)^m}$$

trong đó đa thức $px^2+qx+r$ là bất khả quy (nếu không thì lại phân tích được thành nhóm ở trên rồi)

Các hệ số $A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_m,C_1,\ldots,C_m$ được xác định bằng phương pháp đồng nhất hệ số (đồng nhất thức)

Cuối cùng ta sẽ tính tích phân bất định cho từng phân thức và thu được kết quả. Tuy nhiên việc tính tính phân bất định của các phân thức hữu tỷ sau khi đã phân tích cũng gặp một số rắc rối nhất định và chúng sẽ được giải quyết ở phần bên dưới. Bây giờ chúng ta thử làm một ví dụ để có thể hình dung được những gì đã nói ở trên. Viết theo kiểu tổng quát thì có vẻ khoai đấy nhưng khi ví dụ cụ thể thì mọi chuyện sẽ trong sáng ngay thôi!

Ví dụ 1. Tính tích phân bất định sau $$\int\frac{x^4}{x^3+1}dx$$

$P(x)=x^4, \, Q(x)=x^3+1$ có $\deg(P)=4>\deg(Q)=3$

Thực hiện phép chia đa thức ta được: $$\frac{x^4}{x^3+1}=x-\frac{x}{x^3+1}$$

Bây giờ ta chỉ cần phân tích chú $\dfrac{x}{x^3+1}$ nữa là xong

$$\frac{x}{x^3+1}=\frac{x}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+D}{x^2-x+1}$$

Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số. Quy đồng mẫu chung cho ta: $$x=A(x^2-x+1)+(Bx+D)(x+1)=(A+B)x^2+(-A+B+D)x+(A+D)$$

Đồng nhất hai vế cho ta: $$\begin{cases}A+B &=&0 \\-A+B+D &=&1\\A+D &=&0\end{cases}$$

Hay $A=-\dfrac{1}{3},B=\dfrac{1}{3},D=\dfrac{1}{3}$

Như vậy $$\frac{x^4}{x^3+1}=x+\frac{1}{3(x+1)}-\frac{x+1}{3(x^2-x+1)}$$

Khi đó việc tính tính phân bất định của đề bài sẽ chia nhỏ ra thành việc tính tổng của ba tích phân bất định: $$\int\frac{x^4}{x^3+1}dx=\int xdx+\int \frac{1}{3(x+1)}dx-\int\frac{x+1}{x^2-x+1}dx$$

Dĩ nhiên là 3 tích phân bất định sau khi phân tích sẽ dễ dàng tính được, còn cụ thể là bao nhiêu thì các bạn tự tính nha, bài viết này chủ yếu nêu ý tưởng để giải quyết dạng lớp tích phân bất định các hàm hữu tỷ này

Từ những phân tích như trên thì việc tính tích phân bất định của lớp hàm hữu tỷ chỉ còn trở ngại ở các tích phân bất định dạng: $$\int \frac{dx}{(ax+b)^n}\quad \text{và} \quad \int \frac{Ax+B}{(px^2+qx+r)^n}dx$$

Với tích phân đầu tiên thì quá đơn giản. Nếu trường hợp $n=1$ thì tích phân sẽ thành $$\int \frac{dx}{ax+b}$$

Tích phân này thì không cần phải bàn cãi gì nữa rồi

Nếu $n\ne 1$ khi đó: $$\int \frac{dx}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a}\int\frac{d(ax+b)}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a}\int (ax+b)^{-n}d(ax+b)$$

Tới đây thì cũng không có gì phải bàn cãi nữa

Giờ ta đi giải quyết nốt cái tích phân dạng thứ hai, đây cũng là dạng khó khăn nhất của lớp hàm này

$$\begin{aligned}\int\frac{Ax+B}{(px^2+qx+r)^n}dx&=\int\frac{\frac{A}{2p}(2px+q)+B-\frac{qA}{2p}}{(px^2+qx+r)^n}dx\\&=\frac{A}{2p}\int\frac{d(px^2+qx+r)}{(px^2+qx+r)^n}+\frac{2pB-qA}{2p}\int\frac{dx}{(px^2+qx+r)^n}\end{aligned}$$

Tới đây ta thấy tích phân chỉ còn khó khăn ở dạng: $$\int \frac{dx}{(px^2+qx+r)^n}$$

Vì đa thức dưới mẫu $px^2+qx+r$ của chúng ta là bất khả quy nên ta có thể viết dưới dạng: $$px^2+qx+r=p[(x+\alpha)^2+\beta^2]$$

Bằng phép đổi biến $t=x+\alpha$ ta đưa tích phân về dạng: $$I_n=\int \frac{dt}{(t^2+\beta^2)^n}$$

Đối với tích phân này trong trường hợp $n=1$ thì sẽ thành: $$\int \frac{dt}{t^2+\beta^2}=\frac{1}{\beta}\arctan \frac{t}{\beta}+C$$

Nếu trong trường hợp $n>1$ thì ta sẽ lấy tích phân từng phần với: $$\begin{cases}u&=&\dfrac{1}{(t^2+\beta^2)^n}\\dv&=& dt\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}du&=& \dfrac{-2nt}{(t^2+\beta^2)^{n+1}}dt\\v&=& t\end{cases}$$

và do đó

$$\begin{aligned}I_n&=\dfrac{t}{\big( t^2+\beta ^2\big)^n}+2n\int \dfrac{t^2 dt}{\big( t^2+\beta ^2\big)^{n+1}}\\&=\dfrac{t}{\big( t^2+\beta ^2\big)^n}+2n \left[ \int \dfrac{t^2+\beta ^2}{\big( t^2 + \beta ^2\big)^{n+1}}dt - \int \dfrac{\beta ^2}{\big( t^2+ \beta ^2\big)^{n+1}}dt\right]\\&=\dfrac{t}{\big( t^2 +\beta ^2\big)^n}+2nI_n-2n\beta ^2 I_{n+1}\end{aligned}$$

Vậy ta có hệ thức truy hồi: $$I_n=\dfrac{t}{\big( t^2 +\beta ^2\big)^n}+2nI_n-2n\beta ^2 I_{n+1}$$

Từ đó ta có thể tính $I_2$ thông qua $I_1$, $I_3$ thông qua $I_2$, $\ldots$

Như vậy tới đây ta đã giải quyết hết tất cả các trường hợp của lớp tích phân bất định của các hàm hữu tỷ. Mọi thứ bây giờ đối với tích phân các hàm hữu tỷ giống như công thức nghiệm của tam thức bậc hai. Tuyệt vời!

Tags: 1000 Bài toán hay Đại học
  • Newer
  • Older
admin

admin

You may like these posts

Post a Comment

0 Comments

Vui lòng đăng nhập google để bình luậnĐể gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$Ví dụ: $[biểu thức toán]$

LỚP 10 LỚP 11 LỚP 12 LATEX ĐẠI HỌC CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12 CHƯƠNG 1: Khảo sát Hàm Số Bài 1: Tính đơn điệu Bài 2: Cực trị hàm số Bài 3: GTLN - GTNN Bài 4: Đường tiệm cận Bài 5: Khảo sát & Vẽ đồ thị Bài 6: Bài toán thực tiễn --- MỞ RỘNG --- Dáng đồ thị hay gặp Đơn điệu hàm hợp (VDC) Bài tập đơn điệu 8+ Đơn điệu hàm bậc 3 chứa m Tìm m để hàm đơn điệu Công thức giải nhanh bậc 3 Phương pháp cô lập m Dùng đơn điệu CM BĐT Cực trị hàm số (Bản cũ) Cực trị hàm trùng phương Cực trị hàm trị tuyệt đối Tìm Min Max bằng Casio Min Max chứa trị tuyệt đối Tịnh tiến đồ thị Phương pháp ghép trục (8+) CHƯƠNG 2: Toạ độ Không gian Bài 1: Véctơ trong KG Bài 2: Hệ trục & Toạ độ --- MỞ RỘNG --- Toạ độ chân đường cao Tâm tỉ cự CHƯƠNG 3: Mẫu số liệu Bài 1: Khoảng tứ phân vị Bài 2: Phương sai & Độ lệch CHƯƠNG 4: Nguyên Hàm - Tích Phân Bài 1: Nguyên hàm Bài 2: Tích phân Bài 3: Ứng dụng hình học --- MỞ RỘNG --- Nguyên hàm (Lý thuyết) Bài tập NH Hữu tỷ Phương pháp Đổi biến số Phương pháp Từng phần Một số nguyên hàm đặc thù Tích phân hàm ẩn Phương pháp che nguyên hàm Tích phân hàm hữu tỷ (NC) CHƯƠNG 5: PP Toạ độ Oxyz Bài 1: Phương trình mặt phẳng Bài 2: Phương trình đường thẳng Bài 3: Công thức tính góc Bài 4: Phương trình mặt cầu --- MỞ RỘNG --- Bài tập PT Mặt phẳng Khoảng cách điểm đến MP PT Đường thẳng (Lý thuyết) Giao điểm ĐT và MP Các dạng BT viết PTĐT Giao tuyến 2 mặt phẳng Đường vuông góc chung CHƯƠNG 6: Xác suất Bài 1: Xác suất có điều kiện Bài 2: Công thức XS toàn phần Bài 3: Công thức Bayes CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 CHƯƠNG 1: Lượng giác Bài 1: Giá trị lượng giác Bài 2: Công thức lượng giác Bài 3: Hàm số lượng giác Bài 4: PTLG Cơ bản --- MỞ RỘNG --- Tóm tắt công thức LG Min Max Hàm lượng giác PT bậc 2 với hàm LG PT đưa về cơ bản Bài tập PTLG Chu kỳ hàm lượng giác CHƯƠNG 2: Dãy số - Cấp số Bài 1: Dãy số Bài 2: Cấp số cộng Bài 3: Cấp số nhân CHƯƠNG 3: Mẫu số liệu Bài 1: Các số đo xu thế trung tâm CHƯƠNG 4: QH Song song KG Bài 1: Đường thẳng & Mặt phẳng Bài 2: Hai đường thẳng song song Bài 3: ĐT & MP song song Bài 4: Hai mặt phẳng song song Bài 5: Phép chiếu song song --- MỞ RỘNG --- Cách vẽ hình KG (Đang cập nhật) Xác định giao tuyến Xác định thiết diện (Đang cập nhật) Giao điểm ĐT và MP Ba điểm thẳng hàng (Đang cập nhật) Định lí Menelaus (Có lời giải) CHƯƠNG 5: Giới hạn - Liên tục Bài 1: Giới hạn dãy số Bài 2: Giới hạn hàm số Bài 3: Hàm số liên tục --- MỞ RỘNG --- Bài toán CM tồn tại nghiệm CHƯƠNG 6: Mũ & Logarit Bài 1: Luỹ thừa với số mũ thực Bài 2: Logarit Bài 3: Hàm số mũ & Logarit Bài 4.1: Phương trình mũ Bài 4.2: Phương trình Logarit Bài 4.3: Bất PT Mũ, Logarit --- MỞ RỘNG --- Tóm tắt công thức Tìm TXĐ hàm số mũ Tính tổng đặc thù Tìm số chữ số Lũy thừa Logarit (Cũ) Hàm số mũ, log (Cũ) Bất phương trình mũ (Cũ) CHƯƠNG 7: QH Vuông góc KG Bài 1: Hai ĐT vuông góc Bài 2: ĐT vuông góc MP Bài 3: Phép chiếu vuông góc Bài 4: Hai MP vuông góc Bài 5: Khoảng cách Bài 6: Thể tích --- MỞ RỘNG --- CM Đường vuông góc Mặt Góc giữa ĐT và MP Xác định góc giữa 2 MP Khoảng cách từ Điểm đến MP CHƯƠNG 8: Quy tắc xác suất Bài 1: Biến cố hợp, giao, độc lập Bài 2: Công thức cộng XS Bài 3: Công thức nhân XS CHƯƠNG 9: Đạo hàm Bài 1: Định nghĩa đạo hàm Bài 2: Các quy tắc đạo hàm Bài 3: Đạo hàm cấp hai --- MỞ RỘNG --- Phương trình tiếp tuyến CHUYÊN ĐỀ: Phép biến hình Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép quay - Đối xứng tâm Phép vị tự Phép đồng dạng CHUYÊN ĐỀ: Lý thuyết đồ thị (Nội dung đang cập nhật) CHUYÊN ĐỀ: Vẽ kĩ thuật (Nội dung đang cập nhật) CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10 CHƯƠNG 1: Mệnh đề - Tập hợp Bài 1: Mệnh đề Bài 2: Tập hợp & Phép toán --- MỞ RỘNG --- Giao hợp chứa tham số m CHƯƠNG 2: BPT Bậc nhất 2 ẩn Bài 1: BPT Bậc nhất 2 ẩn Bài 2: Hệ BPT Bậc nhất 2 ẩn CHƯƠNG 3: Hệ thức lượng Bài 1: GTLG góc 0 đến 180 Bài 2: Hệ thức lượng tam giác --- MỞ RỘNG --- Công thức hệ thức lượng CM Đẳng thức trong tam giác CHƯƠNG 4: Véctơ Bài 1: Véctơ & các khái niệm Bài 2: Tích véctơ và một số Bài 3: Véctơ trong Oxy Bài 4: Tích vô hướng --- MỞ RỘNG --- CM Đẳng thức véctơ Xác định điểm thoả ĐK Phân tích theo 2 véctơ CM Ba điểm thẳng hàng Tìm D để là HBH Tìm trực tâm, chân đường cao Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm chân đường phân giác CHƯƠNG 5: Số đặc trưng (Đơn) Bài 1: Số gần đúng & Sai số Bài 2: Số đo xu thế trung tâm Bài 3: Số đo độ phân tán CHƯƠNG 6: Hàm số - Đồ thị Bài 1: Hàm số Bài 2: Hàm số bậc hai Bài 3: Dấu tam thức bậc 2 Bài 4: PT quy về bậc hai --- MỞ RỘNG --- Tìm tập xác định hàm số Tìm m để BPT vô nghiệm Bài tập xác định Parabol PT chứa ẩn ở mẫu PT chứa trị tuyệt đối CHƯƠNG 7: PP Toạ độ Oxy Bài 1: Phương trình đường thẳng Bài 2: Đường thẳng trong Oxy Bài 3: Phương trình đường tròn Bài 4: Ba đường Conic --- MỞ RỘNG --- Bài tập Viết PT đường thẳng Bài tập Viết PT đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn Elip (Lý thuyết) Tìm các thông số Elip Các bài toán toạ độ (HK1) CHƯƠNG 8: Đại số tổ hợp Bài 1: Quy tắc đếm Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp Bài 3: Nhị thức Newton --- MỞ RỘNG --- Phương trình P-A-C CHƯƠNG 9: Xác suất cổ điển Bài 1: Biến cố & Định nghĩa XS Bài 2: Tính xác suất cổ điển HƯỚNG DẪN LATEX TRA CỨU & NHẬP MÔN FULL KÍ TỰ LaTeX (TRA CỨU) LaTeX là gì? Font chữ trong LaTeX Một số lệnh thường dùng Tự định nghĩa lệnh (Newcommand) SOẠN THẢO CƠ BẢN Các môi trường Toán cơ bản Tạo Mục Lục Môi trường Liệt kê (List) Đánh số Định lý, Định nghĩa... Chèn Watermark (Bản quyền) GÕ CÔNG THỨC TOÁN Cách gõ công thức Toán Khoảng cách trong công thức Căn chỉnh vị trí công thức Phân số & Liên phân số Chỉ số trên & Chỉ số dưới Dấu ngoặc (Cơ bản) Dấu ngoặc (Nâng cao) Ma trận & Định thức Viết ký hiệu phần nghìn Ký hiệu Cung AB (Hình học) VẼ HÌNH & BẢNG BIẾN THIÊN Vẽ hình bằng gói TikZ Vẽ bảng biến thiên TOÁN CAO CẤP GIẢI TÍCH Đề GK1 Giải tích 1 - ĐHBK Hà Nội Vô cùng bé (Infinitesimal) Dãy số (Bài tập có lời giải) Nguyên lý Bolzano Weierstrass Khai triển Taylor Maclaurin Chuỗi số Chuỗi số dương Chuỗi số có dấu bất kỳ Chuỗi luỹ thừa Chuỗi hàm Sự hội tụ đều của chuỗi hàm Tích phân bất định hàm hữu tỷ Tích phân bội hai (Đổi thứ tự) Đổi biến số tích phân bội hai Đổi biến sang toạ độ cực GIẢI TÍCH SỐ Công thức hình thang Công thức Simpson Phương pháp chuỗi nguyên Phương pháp xấp xỉ Picard PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Mở đầu về PTVP PTVP Tách biến PTVP Thuần nhất PT đưa về dạng thuần nhất PTVP Tuyến tính cấp 1 (P1) PTVP Tuyến tính cấp 1 (P2) PTVP Đẳng cấp PTVP Toàn phần PT ĐẠO HÀM RIÊNG PT ĐHR Tuyến tính cấp 1 Phương trình Parabolic Phương trình Hyperbolic ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận & Các phép toán Phép nhân hai ma trận Định thức & Tính chất Bài tập Không gian Vector ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG Bài tập ĐSĐC (Có lời giải) ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN Tài liệu Độ đo (Sưu tầm) LÝ THUYẾT TOÁN TỬ Bài tập Lý thuyết toán tử TOPO (Đang cập nhật)

Tổng lượt truy cập

Tags

  • 1000
  • Lớp 12
  • Lớp 11
  • Lớp 10
  • Đại học
  • LaTeX
  • Giải tích
  • Mũ-Logarit
  • Blogspot
  • Oxyz
  • bt
  • Bài toán hay
  • Lớp 9
  • etc
  • HK1 LỚP 10
  • Nguyên Hàm - Tích Phân
  • Phương trình vi phân
  • Skills Giải Toán
  • Tình Yêu Toán
  • office
  • Oxyz VDC
  • Số phức
  • Bài tập
  • Giải tích số
  • Software
  • Đại Số Tuyến Tính
  • 10.000
  • 5000
  • HHKG
  • Lượng Giác
  • Phiếu BTTN
  • Phương trình đạo hàm riêng
  • Tích Phân Bội
  • BTTN
  • Casio
  • Công Thức Tính Nhanh
  • Hỏi - Đáp
  • Nuôi Dạy Con
  • Rèn Luyện Tư Duy
  • Số Phức VDC
  • Toán Tiếng Anh
  • Đề Thi THPT
  • Đề thi
  • Động Lực Trong Cuộc Sống
  • Ứng dụng đạo hàm VDC
  • 11 GK1
  • Chuyên Đề
  • Code Cũ
  • Giữa HK2 lớp 10
  • HK1 LỚP 11
  • HK2 Lớp 11
  • Hoá Hữu Cơ
  • Ký Hiệu Hoá Học
  • Kỷ Niệm
  • Luận Văn
  • My Style
  • Mũ-Loga VDC
  • Nón Trụ Cầu
  • Sự Thật
  • Thần chú Toán
  • Trick
  • Tích Phân VDC
  • VB.NET
  • XS CÓ ĐK
  • Xác suất - thống kê
  • Xác suất có điều kiện
  • Ôn vào 10
  • Đơn Điệu VCD
  • Đại số đại cương
FULL KÍ TỰ LATEX

FULL KÍ TỰ LATEX

November 04, 2018 WATERMARK TRONG LATEX

WATERMARK TRONG LATEX

November 02, 2018 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

December 17, 2018 CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

May 02, 2020 DẤU NGOẶC TRONG LATEX

DẤU NGOẶC TRONG LATEX

June 23, 2017

CaolacVC

Khi làm bất cứ việc gì, đừng bao giờ mâu thuẫn nội tại

05/10/2022: Đạt 500.000 lượt truy cập

11/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 2000 lượt truy cập

30/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 3400 lượt truy cập

5/1/2026: Đạt 2.238.000 lượt truy cập

Menu Footer Widget

  • Home
  • About
  • Contact Us
Created By | Distributed By Blogger Themes

Từ khóa » Hàm Hữu Tỉ Xác định Khi Nào