Tích Phân Các Hàm Hữu Tỉ, Biểu Thức Có Chứa Căn - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán cao cấp Chương 6: Tích phân bất định Bài 2: Tích phân bất định - Tích phân các hàm hữu tỉ, biểu thức có chứa căn ADMICRO Lý thuyết 0 FAQ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 2: Tích phân bất định sau đây để tìm hiểu về tích phân các hàm hữu tỉ, tích phân biểu thức lượng giác, tích phân biểu thức có chứa căn.

ATNETWORK YOMEDIA

6. Tích phân các hàm hữu tỉ

6.1 Tích phân dạng

6.2 Phân tích một đa thức thành tích của những nhị thức và tam thức

7. Tích phân biểu thức lượng giác

7.1 Trường hợp tổng quát

7.2 Dạng đặc biệt

8. Tích phân biểu thức có chứa căn

Tóm tắt lý thuyết

6. Tích phân các hàm hữu tỉ

Nhắc lại:

\(\int {\frac{{dx}}{{x + a}}} = \ln \left| {x + a} \right| + C\)

\(\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + a} \right)}^k}}}} = \frac{{ - 1}}{{(k - 1){{(x + a)}^{k - 1}}}} + C\)

\(\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}} = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C\)

\(\int {\frac{{dx}}{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}} = \frac{1}{{{x_2} - {x_2}}}\int {\frac{{(x - {x_1}) - (x - {x_2})}}{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}} dx\)

\(= \frac{1}{{{x_2} - {x_2}}}\int {\left( {\frac{1}{{x - {x_2}}} - \frac{1}{{x - {x_1}}}} \right)} dx\)

\( = \frac{1}{{{x_2} - {x_2}}}\ln \left| {\frac{{x - {x_2}}}{{x - {x_1}}}} \right| + C\)

6.1 Tích phân dạng \(I = \int {\frac{{(Ax + B)dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \,(a \ne 0)\)

\(I = \frac{A}{{2a}}\int {\frac{{2ax + b}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx + \left( {B - \frac{{Ab}}{{2a}}} \right)\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}}\)

Tính: \({I_1} = \int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx\)

\({I_1} = \frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}}}} = \frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}}}}\)

\(= \frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}}}}\)

i) Nếu \(\Delta < 0:{I_1} = \frac{1}{a}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + {\alpha ^2}}}} = \frac{1}{{a\alpha }}arctg\frac{u}{\alpha } + C\)

với \({\alpha ^2} = \frac{{ - {\Delta ^2}}}{{4{a^2}}},u = x + \frac{b}{{2a}}\)

ii) Nếu \(\Delta = 0:{I_1} = \frac{1}{a}\int {\frac{{du}}{{{u^2}}}} = - \frac{1}{{au}} + C\)

iii) Nếu \(\Delta > 0:a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})\)

với \(x_1,x_2\) là nghiệm của \(ax^2 + bx + c = 0\)

6.2 Phân tích môt đa thức thành tích của những nhị thức và tam thức

(Đưa một phân thức về tổng của những phân thức đơn giản)

Ghi chú: Ta chỉ xét các đa thức có thể viết dưới dạng tích của những nhị thức bậc nhất và những tam thức bậc hai.

Ví dụ: Tính \(I = \int {\frac{{(3x - 5)dx}}{{(x - 3)(x + 2)(x - 1)}}}\)

Ta có: \(\frac{{(3x - 5)dx}}{{(x - 3)(x + 2)(x - 1)}} = \frac{A}{{x - 3}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x - 1}}\)

\(= \frac{{A(x + 2)(x - 1) + B(x - 3)(x - 1) + C(x - 3)(x + 2)}}{{(x - 3)(x + 2)(x - 1)}}\)

Cho \(x = 3 \Rightarrow 10A = 4 \Rightarrow A = \frac{2}{5}\)

\(x = - 2 \Rightarrow 15B = - 11 \Rightarrow B = - \frac{{11}}{{15}}\)

\(x = 1 \Rightarrow - 6C = - 2 \Rightarrow C = \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{{3x - 5}}{{(x - 3)(x + 2)(x - 1)}} = \frac{2}{{5(x - 3)}} - \frac{{11}}{{15(x + 2)}} + \frac{1}{{3(x - 1)}}\)

\(\Rightarrow I = \frac{2}{5}\ln \left| {x - 3} \right| - \frac{{11}}{{15}}\ln \left| {x + 2} \right| + \frac{1}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Ghi chú: Ta có thể tính A, B theo cách khác:

\(\frac{{3x - 5}}{{(x - 3)(x + 2)(x - 1)}} = \frac{{(A + B + C){x^2} + (A - 4B - C)x - 2A + 3B - 6C}}{{(x - 3)(x + 2)(x - 1)}}\)

Đồng nhất hai vế \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + B + C = 0\\ A - 4B - C = 3\\ - 2A + 3B - 6C = - 5 \end{array} \right. \)

Ghi chú: Nếu \({a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0\) có nhiều hơn n nghiệm thực \(\Rightarrow {a_n} = {a_{n - 1}} = .... = {a_0} = 0\)

Ví dụ: \(ax^2 + bx + c = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \ a=b=c=0\)

Ví dụ 1: \(\frac{{5x + 2}}{{({x^2} + 1){{(3x - 2)}^3}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} + \frac{E}{{3x - 2}} + \frac{F}{{{{(3x - 2)}^2}}} + \frac{G}{{{{(3x - 2)}^3}}}\)

Ví dụ 2: \(\frac{{6{x^2} - 7x + 2}}{{({x^2} - x + 1){{(x + 2)}^4}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{C}{{x + 2}} + \frac{D}{{{{(x + 2)}^2}}} + \frac{E}{{{{(x + 2)}^3}}} + \frac{F}{{{{(x + 2)}^4}}}\)

Ví dụ 3: \(\frac{1}{{{x^4} + 1}} = \frac{1}{{{{({x^2} + 1)}^2} - 2{x^2}}} = \frac{1}{{({x^2} - \sqrt 2 x + 1)({x^2} + \sqrt 2 x + 1)}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}\)

Ví dụ 4: Tính \(\int {\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}}\)

\(\frac{1}{{{x^3} + 1}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{A({x^2} - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)}}{{{x^3} + 1}}\)

Cho \(x = - 1 \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}\)

\(x = 0 \Rightarrow A + C = 1 \Rightarrow C = \frac{2}{3}\)

\(x = 1 \Rightarrow A + 2(B + C) = 1 \Rightarrow B + C = \frac{1}{3} \Rightarrow B = - \frac{1}{3}\)

\(\int {\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}} = \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} + \int {\frac{{\left( { - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}} \right)dx}}{{{x^2} - x + 1}}}\)

\(= \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{3.2}}\int {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}} dx + \left( {\frac{2}{3} - \frac{1}{6}} \right)\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - x + 1}}}\)

\(= \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{6}\ln ({x^2} - x + 1) + \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}}\)

\(= \frac{1}{3}\ln \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} + \frac{1}{2}\frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2(x - \frac{1}{2})}}{{\sqrt 3 }} + C\)

7. Tích phân biểu thức lượng giác

Bằng các phép đổi biến thích hợp, ta có thể đưa tích phân biểu thức lượng giác \(\int {R({\mathop{\rm sinx}\nolimits} ,\,cosx)dx}\), trong đó R là hàm hữu tỷ, về tích phân biểu thức hữu tỷ.

7.1 Trường hợp tổng quát

Ta dùng công thức đổi biến \(t = tg\frac{x}{2} \Rightarrow x = 2arctg\,t\)và công thức

\({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{{2t}}{{1 + t{}^2}},\,\,\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}},\,\,dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\)

Ví dụ: \(I = \int {\frac{{dx}}{{4\sin x + 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 5}}}\)

Đặt \(t = tg\frac{x}{2} \Rightarrow x = 2arctg\,t\) ta có:

\(I = \int {\frac{1}{{4\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + 3\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 5}}} \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}} = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 4t + 4}}}\)

\(= \int {\frac{{dt}}{{{{(t + 2)}^2}}}} = \frac{{ - 1}}{{t + 2}} + C = - \frac{1}{{tg\frac{x}{2} + 2}} + C\)

7.2 Dạng đặc biệt

• Nếu \(R(- sinx,cosx) = - R(sin x, cosx)\) thì đạt \(t = cosx\)
• Nếu \(R(sinx, - cosx) = -R(sinx,cosx)\) thì đặt \(t = sinx\)
• Nếu \(R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx)\) thì đặt \(t= tgx\), hay \( t = cotgx\)

Ví dụ 1: Tính \(I = \int {({{\sin }^2}} x{\cos ^3}x + 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} )dx\)

\(= \int {({{\sin }^2}} x{\cos ^3}x + 2){\mathop{\rm cosxdx}\nolimits}\)

Đặt \(t = sinx \Rightarrow dt = cosxdx\)

\({\sin ^2}x{\cos ^2}x + 2 = {t^2}(1 - {t^2}) + 2 = - {t^4} + {t^2} + 2\)

\(I = \int {( - {t^4} + {t^2} + 2)dt = - \frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} + 2t + C\)

\(= \frac{{ - {{\sin }^5}x}}{5} + \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} + 2\sin x + C\)

Ví dụ 2: \(I = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x + \sin 2x - 3{{\cos }^2}x}}}\)

Đặt \(t = tgx \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\)ta có:

\(I = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x(t{g^2}x + 2tgx - 3)}} = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2t - 3}}} }\)

\(= \int {\frac{{dt}}{{(t - 1)(t + 3)}} = \frac{1}{4}} \int {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 3}}} \right)} dt\)

\(= \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 3}}} \right| + C = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{tg\,x - 1}}{{tg\,x + 3}}} \right| + C\)

7.3 Dạng \(\int {{{\sin }^m}} x{\cos ^n}xdx\)

• Nếu m ( hoặc n) là số nguyên lẻ thì đổi biến \( t = cosx\) (hoặc \(t = sinx\)).
• Nếu m và n là số nguyên dương chẵn thì ta dùng công thức hạ bậc.
• Nếu m và n nguyên chẵn và có một số âm thì đổi biến \(t = tgx\) (hoặc \(t = cotgx\))

Ví dụ: Tính (dành cho độc giả)

\(K = \int {{{\sin }^2}} x{\cos ^4}xdx\)

\(L = \int {{{\sin }^3}} x{\cos ^2}xdx\)

\(M = \int {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}} dx\)

\(N = \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^4}x}}} dx\)

8. Tích phân biểu thức có chứa căn

Với các phép đổi biến thích hợp, ta có thể đưa tích phân của biểu thức có căn số về tích phân của biến hữu tỷ.

8.1 Các tích phân có thể đưa về tích phân hàm lượng giác

• Dạng \(\int {R\left[ {x,\sqrt {{A^2} - {x^2}} } \right]} dx\) đặt \(x = A\sin t,\,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)
• Dạng \(\int {R\left[ {x,\sqrt {{A^2}+{x^2}} } \right]} dx\) đặt \(x = Atg\,t,\,t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
• Dạng \(\int {R\left[ {x,\sqrt { {x^2}-{A^2}} } \right]} dx\) đặt \(x = \frac{A}{{\cos \,t}},\,t \in \left( {0,\pi } \right)\backslash \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\)

8.2 Dạng \(\int {R\left[ {x,\sqrt[n]{{{{\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)}^m}}},\sqrt[s]{{{{\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)}^r}}}} \right]} dx\)

Đặt \({t^k} = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với k là bội số chung nhỏ nhất của n và s.

Khi đó \(x = \frac{{ - d{t^k} + b}}{{c{t^k} - a}} \Rightarrow dx = k{t^{k - 1}}\frac{{ad - bc}}{{{{(c{t^k} - a)}^2}}}\)thay vào biểu thức tích phân ta có tích phân của hàm hữu tỷ.

Ví dụ 1: \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{x - 1}} - \sqrt[6]{{x - 1}}}}}\)

k = 6, đặt \({t^6} = x - 1 \Rightarrow dx = 6{t^5}dt\). Suy ra

\(I = \int {\frac{{6{t^5}dt}}{{{t^2} - t}}} = \int {\frac{{6{t^4}dt}}{{t - 1}}} = 6\int {\left( {{t^3} + {t^2} + t + 1 + \frac{1}{{t - 1}}} \right)} dt\)

\(= 6\int {\left[ {\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{{t^2}}}{2} + t + \ln \left| {t - 1} \right|} \right]} + C\)

\(= \frac{{3{{(x - 1)}^{2/3}}}}{2} + 2{(x - 1)^{1/2}} + 3{(x - 1)^{1/3}} + 6\sqrt[6]{{x - 1}} + 6\ln \left| {\sqrt[6]{{x - 1}} - 1} \right| + C\)

Ví dụ 2: \(I = \int {\frac{1}{x}} \sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} dx\)

Đặt \(t = \sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \Rightarrow x = \frac{{ - {t^2} + 1}}{{{t^2} + 1}};\,dx = \frac{{ - 4t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}dt\)

\(I = \int {\frac{{{t^2} + 1}}{{ - {t^2} + 1}}} t\frac{{ - 4t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}dt = 4\int {\frac{t}{{({t^2} - 1)({t^2} + 1)}}} dt\)

\(= 2\int {\left[ {\frac{1}{{{t^2} + 1}} + \frac{1}{{{t^2} - 1}}} \right]} = 2arctg\,t\, + \,\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| + C\)

\(= 2arctg\,t\,\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} + \ln \left| {\frac{{\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} - 1}}{{\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} + 1}}} \right| + C\)

8.3 Dạng \(\int {R\left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)} dx\)

với \(a \ne 0,\Delta = {b^2} - 4ac \ne 0\)

i. Đưa tích phân đang xét về các dạng \(\int {R\left[ {x,\sqrt {{A^2} + {x^2}} } \right]} dx,\,\,\int {R\left[ {x,\sqrt {{x^2} - {A^2}} } \right]} dx\ \)bằng phép biến đổi \(u = x + \frac{b}{{2a}}\). Khi đó các tích phân này có thể đưa về tích phân hàm lượng giác.

Ví dụ: \(\int {\frac{{dx}}{{{{(x + 2)}^2}\sqrt {{x^2} + 4x + 13} }}}\)

Đặt \(x + 2 = 3tgt,t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow dx = 3\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\)

Vì \(t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên sin t và tgt cùng dấu \(\sin t = \frac{{tgt}}{{\sqrt {1 + t{g^2}t} }}\)

\(I = \int {\frac{{3dt}}{{{{\cos }^2}t}}} \frac{1}{{9t{g^2}t\sqrt {9t{g^2}t + 9} }} = \frac{1}{9}\int {\frac{{\cos t\,dt}}{{{{\sin }^2}t}}} = \frac{{ - 1}}{{9\sin t}} + C\)

\(= \frac{{ - \sqrt {{{\left( {\frac{{x + 2}}{3}} \right)}^2} + 1} }}{{9\left( {\frac{{x + 2}}{3}} \right)}} + C = - \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 13} }}{{9(x + 2)}} + C\)

Nhận xét:

• Đối với tích phân dạng \(\int {\frac{{dx}}{{{{(x - \alpha )}^n}\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}}\) ta có thể đổi biến theo công thức \(t = \frac{1}{{x - \alpha }}\)
• Đối với tích phân dạng \(\int {\frac{{du}}{{u\sqrt {{u^2} + A} }}}\) ta có thể đổi biến theo công thức \(t = \sqrt {{u^2} + A} \Rightarrow {t^2} - A = {u^2} \Rightarrow udu = tdt\)

\(\Rightarrow I = \int {\frac{{udu}}{{{u^2}\sqrt {{u^2} + A} }}} = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} - A}}}\)

ii. Phương pháp đổi biến theo Euler

• Nếu a > 0 : đổi biến \(t \pm \sqrt a x = \sqrt {a{x^2} + bx + c}\)
• Nếu c > 0 : đổi biến \(xt \pm \sqrt c = \sqrt {a{x^2} + bx + c} \)
• Nếu \(a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2}),{x_1} \ne {x_2}\)ta đổi biến theo công thức

Ví dụ 1: \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{({x^2} + 2x + 5)}^3}} }}}\)

Đặt \(u = x + 1 \Rightarrow du = dx,\,I = \int {\frac{{du}}{{\sqrt {{{({u^2} + 4)}^3}} }}}\)

Đặt \(u = 2tgt,\,t \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow du = 2\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\)

\({\left( {{u^2} + 4} \right)^{3/2}} = 8{\left( {t{g^2}t + 1} \right)^{3/2}} = \frac{8}{{{{\cos }^3}t}}\)

\(I = \int {\frac{{2dt}}{{{{\cos }^2}t\frac{8}{{{{\cos }^3}t}}}}} = \frac{1}{4}\int {\cos t\,dt = } \frac{1}{4}\sin t + C\)

\(= \frac{1}{4}\sin \left( {arctg\frac{u}{2}} \right) + C = \frac{1}{4}\sin \left( {arctg\frac{{x + 1}}{2}} \right) + C\)

Ví dụ 2: \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 5} }}}\)

Đặt \(t - x = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \Rightarrow t = x + \sqrt {{x^2} + 2x + 5}\)

\(\Rightarrow dt = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 5} + x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 5} }}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 5} }} = \frac{{dt}}{{t + 1}}\)

\(I = \int {\frac{{dt}}{{t + 1}}} = \ln \left| {t + 1} \right| + C = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 2x + 5} + 1} \right| + C\)

Ví dụ 3: \(I = \int {\frac{{3x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 3} }}} dx\)

Đặt \(t = x + 2 \Rightarrow dt = dx\)

\(I = \int {\frac{{\left( {3t - 5} \right)dt}}{{\sqrt {{t^2} - 1} }}} = 3\int {\frac{{tdt}}{{\sqrt {{t^2} - 1} }}} - 5\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} - 1} }}}\)

\(= 3\sqrt {{t^2} - 1} - 5\ln \left| {t + \sqrt {{t^2} - 1} } \right| + C\)

\(= 3\sqrt {{{(x + 2)}^2} - 1} + 5\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{{(x + 2)}^2} - 1} } \right| + C\)

NONE

Bài học cùng chương

Bài 1: Tích phân bất định - Nguyên hàm, Tích phân bất định ADSENSE TRACNGHIEM Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC

Môn học

Triết học

Lịch Sử Đảng

Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Kinh Tế Vi Mô

Kinh Tế Vĩ Mô

Toán Cao Cấp

LT Xác suất & Thống kê

Đại Số Tuyến Tính

Tâm Lý Học Đại Cương

Tin Học Đại Cương

Kế Toán Đại Cương

Pháp Luật Đại Cương

Marketing Căn Bản

Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Xã Hội Học Đại Cương

Logic Học

Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Cơ Sở Văn Hóa VN

Trắc nghiệm

Trắc nghiệm Triết học

Trắc nghiệm Lịch Sử Đảng

Trắc nghiệm Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Trắc nghiệm Kinh Tế Vi Mô

Trắc nghiệm Kinh Tế Vĩ Mô

Bài tập Toán Cao Cấp

Bài tập LT Xác suất & Thống kê

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Trắc nghiệm Tâm Lý Học Đại Cương

Trắc nghiệm Tin Học Đại Cương

Trắc nghiệm Kế Toán Đại Cương

Trắc nghiệm Pháp Luật Đại Cương

Trắc nghiệm Marketing Căn Bản

Trắc nghiệm Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Trắc nghiệm Xã Hội Học Đại Cương

Trắc nghiệm Logic Học

Trắc nghiệm Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Trắc nghiệm Cơ Sở Văn Hóa VN

Tài liệu - Giáo trình

Lý luận chính trị

Khoa học tự nhiên

Khoa học xã hội

Kinh tế - Tài chính

Kỹ thuật - Công nghệ

Cộng nghệ thông tin

Tiếng Anh - Ngoại ngữ

Luận văn - Báo cáo

Kiến trúc - Xây dựng

Kỹ năng mềm

Y tế - Sức khoẻ

Biểu mẫu - Văn bản

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>