Tích Phân Từng Phần | Tăng Giáp

Có thể bạn quan tâm

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN > Bài 2. Tích phân > Tích phân từng phần

Thảo luận trong 'Bài 2. Tích phân' bắt đầu bởi Doremon, 19/12/14.

Doremon Moderator Thành viên BQT
Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam
I. Phương pháp Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có : $\int\limits_a^b {udv = \left. {\left[ {uv} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} } $ Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
- Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log$_a$x.
- Ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc.
II. Bài tập vận dụng Bài tập 1: Tính các tích phân sau : a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} $ b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}.\cos xdx}$ c) ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx}$ Giảia) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x \to du = dx\\ dv = {e^x}dx \to v = {e^x} \end{array} \right.\quad $ ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. {x.{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - \left( {e - 1} \right) = 1$ b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} \to du = 2xdx\\ dv = \cos xdx \to v = \sin x \end{array} \right.\quad $ Vậy: $\int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \,\,\,\,\left( 1 \right)$ Ta đi tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \quad$ Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x \to du = dx\\ dv = \sin xdx \to v = - \cos x \end{array} \right.\quad $ Vậy: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$ Thế vào (1) ta được: ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \frac{{{\pi ^2} - 8}}{4}$ c) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = - \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\ dv = dx \to v = x \end{array} \right.\quad $ Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e - \left. x \right|_0^e = 1$ Bài tập 2: Tính các tích phân sau a) ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx}$ b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx}$ c) ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} $ Giảia) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\ dv = \sin xdx \to v = - \cos x \end{array} \right.\quad $ Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = \left. { - {e^x}.\cos x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx = {e^\pi } + 1 + J\quad \left( 1 \right)} $ Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\ dv = \cos xdx \to v = \sin x \end{array} \right.\quad $ Vậy: $J = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = - I$ Thế vào (1) ta được: $2{I_1} = {e^\pi } + 1 \to {I_1} = \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$ b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x \to du = dx\\dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \to v = \tan x\end{array} \right.\quad$ Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \left. {x.\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx = } \frac{\pi }{4} + \left. {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ c) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = - \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\dv = dx \to v = x\end{array} \right.\quad $ Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} = \left. {x.\cos \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} + \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = - \left( {{e^\pi } + 1} \right) + J$ Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \sin \left( {\ln x} \right) \to du = \frac{1}{x}\cos \left( {\ln x} \right)dx\\ dv = dx \to v = x \end{array} \right.\quad $ Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = \left. {x.\sin \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} - \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} = 0 - {I_3}$ Thế vào (1) ta được: $2{I_3} = - \left( {{e^\pi } + 1} \right)\quad \Rightarrow \quad {I_3} = - \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$ III. Bạn đọc tự làm : a) ${I_1} = \int\limits_0^{\ln 2} {x.{e^{ - x}}dx}$ b) ${I_2} = \int\limits_1^e {{{\left( {1 - \ln x} \right)}^2}dx}$ c) ${I_3} = \int\limits_e^2 {\left( {\frac{1}{{{{\ln }^2}x}} - \frac{1}{{\ln x}}} \right)dx}$ d) ${I_4} = \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx}$ e) ${I_5} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\sin x.\ln \left( {\tan x} \right)dx} $ f) ${I_6} = \int\limits_1^e {{{\cos }^2}\left( {\ln x} \right)dx} $ g) ${I^ * }_7 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{x^2}\cos 2x}$ h) ${I^ * }_7 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}{e^x}dx} $
Bài viết mới nhất
- Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ06/12/2018
- Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 206/12/2018
- Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 106/12/2018
- Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể06/12/2018
- Sử dụng phương pháp đường chéo tính nguyên hàm và tích phân16/12/2017
Chỉnh sửa cuối: 19/12/14 Doremon, 19/12/14 #1
Oanh Văn Thắng Mới đăng kí
Tham gia ngày: 16/2/16 Bài viết: 20 Đã được thích: 2 Điểm thành tích: 3
Tốt quá, em học yếu phần này và thấy nó khá dài dòng và khó khăn trong việc ghi nhớ, nhưng xem hết phần này thì em thấy tự tin hơn hẳn, cám ơn admin
Oanh Văn Thắng, 7/3/16 #2 Tăng Giáp thích bài này.
Đỗ Huy Mới đăng kí
Tham gia ngày: 16/2/16 Bài viết: 17 Đã được thích: 3 Điểm thành tích: 3
Oanh Văn Thắng nói: ↑
Tốt quá, em học yếu phần này và thấy nó khá dài dòng và khó khăn trong việc ghi nhớ, nhưng xem hết phần này thì em thấy tự tin hơn hẳn, cám ơn adminClick to expand...
Chuẩn không cần chỉnh
Đỗ Huy, 14/4/16 #3 Tăng Giáp thích bài này.
AnhNguyen Mới đăng kí Thành viên BQT
Tham gia ngày: 12/4/16 Bài viết: 23 Đã được thích: 13 Điểm thành tích: 3 Giới tính: Nam
Mọi ý kiến đóng góp hay thắc mắc các bạn cứ đăng lên nhé. Cảm ơn các bạn đã quan tâm. Thân ái!
AnhNguyen, 14/4/16 #4 Tăng Giáp thích bài này.
Tống Thanh Hà Mới đăng kí
Tham gia ngày: 16/2/16 Bài viết: 17 Đã được thích: 1 Điểm thành tích: 3
thay huong dan giup em voi a :
Tống Thanh Hà, 14/4/16 #5
AnhNguyen Mới đăng kí Thành viên BQT
Tham gia ngày: 12/4/16 Bài viết: 23 Đã được thích: 13 Điểm thành tích: 3 Giới tính: Nam
Em tách làm hai tích phân nhé. Cái đầu làm đổi biến, đặt t= căn. Cái sau từng phần (Thứ tự ưu tiên đặt u là: Nhất log, nhì đa ) E làm trước, nếu k được thầy gửi bài giải. Chúc em học vui !
AnhNguyen, 14/4/16 #6
AnhNguyen Mới đăng kí Thành viên BQT
Tham gia ngày: 12/4/16 Bài viết: 23 Đã được thích: 13 Điểm thành tích: 3 Giới tính: Nam
Đây là các bước hướng dẫn, e cố gắng học để có kết quả tốt nhé! Có vấn đề gì thắc mắc e cứ đăng lên để mọi người giải quyết giúp e.
AnhNguyen, 14/4/16 #7
Tống Thanh Hà Mới đăng kí
Tham gia ngày: 16/2/16 Bài viết: 17 Đã được thích: 1 Điểm thành tích: 3
Dạ thầy thầy ơi thầy nói (Thứ tự ưu tiên đặt u là: Nhất log, nhì đa) là sao ạ ?
Tống Thanh Hà, 14/4/16 #8
AnhNguyen Mới đăng kí Thành viên BQT
Tham gia ngày: 12/4/16 Bài viết: 23 Đã được thích: 13 Điểm thành tích: 3 Giới tính: Nam
Đối với những bài tích phân từng phần phổ biến, đơn giản. (Các dạng đã nêu trong SGK) thì thứ tự ưu tiên đặt u là: Thứ 1: hàm logarit, thứ 2: Hàm đa thức, thứ 3, 4 mới tới hàm lượng giác và hàm mũ. Phần còn lại là dv. Nên có câu: "Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ"
AnhNguyen, 14/4/16 #9
Võ Gia Huy Mới đăng kí
Tham gia ngày: 3/8/17 Bài viết: 17 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2},dv = \cos xdx$. Khẳng định nào sau đây đúng? A. $I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. - \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $ B. $I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $ C. $I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $ D. $I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $
Võ Gia Huy, 26/2/18 #10
1. $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin xdx\end{array} \right.\\ \Rightarrow I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} .\end{array}$
  Minh Toán, 7/12/17 #link
Võ hiếu trung Mới đăng kí
Tham gia ngày: 8/6/17 Bài viết: 15 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {3x.{e^{2x}}} dx.$ A. $I = \frac{{3{e^2} + 3}}{{16}}$ B. $I = \frac{{2{e^2} + 2}}{9}$ C. $I = \frac{{3{e^2} + 3}}{4}$ D. $I = \frac{{2{e^2} + 2}}{3}$
Võ hiếu trung, 26/2/18 #11
1. Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 3x}\\{dv = {e^{2x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 3dx}\\{v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \frac{{3x.{e^{2x}}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{{3x.{e^{2x}}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - \frac{3}{4}{e^{2x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} = \frac{{3{e^2} + 3}}{4}} \right..$
  Minh Toán, 7/12/17 #link
Vo hong dat Mới đăng kí
Tham gia ngày: 15/9/17 Bài viết: 14 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nữ
Giả sử tích phân $\int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = a + \frac{b}{c}\ln 3$. Với phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính tổng a+b. A. $b + c = 6057.$ B. $b + c = 6059.$ C. $b + c = 6058.$ D. $b + c = 6056.$
Vo hong dat, 26/2/18 #12
1. Ta có $I = \int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = 2017\int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{2}{{2x + 1}}{\rm{d}}x\\v = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}\end{array} \right.$ Do đó $\int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\ln \left( {2x + 1} \right)} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}} \right)\frac{2}{{2x + 1}}} \right){\rm{d}}x} $ $ = \left. {\frac{3}{8}\ln 3 - \left( {\frac{{{x^2} - x}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{8}\ln 3$ $ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = 2017\left( {\frac{3}{8}\ln 3} \right) = \frac{{6051}}{8}\ln 3.$ Khi đó $b + c = 6059.$
  Minh Toán, 7/12/17 #link
Võ Ngọc Mãnh Mới đăng kí
Tham gia ngày: 1/11/17 Bài viết: 13 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Biết kết quả tích phân $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right)} {e^x}d{\rm{x}}$ được viết dưới dạng $I = a.e + b$ với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. $a + 2b = 1$ B. $a - b = 2$ C. ${a^3} + {b^3} = 28$ D. $ab = 3$
Võ Ngọc Mãnh, 26/2/18 #13
1. Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 2x + 3}\\{dv = {e^x}d{\rm{x}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \left[ {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right]} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^1 {{e^x}d{\rm{x}}} = \left[ {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} - 2{e^x}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = 3e - 1$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a + 2b = 1.$
  Minh Toán, 7/12/17 #link
võ thị mai anh Mới đăng kí
Tham gia ngày: 27/10/17 Bài viết: 14 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nữ
Cho tích phân $I = \int\limits_1^e {x{{\ln }^2}x{\rm{dx}}.} $ Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. $I = \left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .$ B. $I = \frac{1}{2}\left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .$ C. $I = \frac{1}{2}\left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e + 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .$ D. $I = \left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .$
võ thị mai anh, 26/2/18 #14
1. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {\ln ^2}x\\dv = x{\rm{dx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\ln {\rm{x}}.\frac{1}{x}\\v = \frac{1}{2}{x^2}\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\frac{1}{2}{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .$
  Minh Toán, 7/12/17 #link
van1303 Mới đăng kí
Tham gia ngày: 31/12/16 Bài viết: 11 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 1 Giới tính: Nữ
Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx} .$ A. $I = \frac{{3 + 2\ln 2}}{{16}}.$ B. $I = \frac{{2 - \ln 2}}{{16}}.$ C. $I = \frac{{2 + \ln 2}}{{16}}.$ D. $I = \frac{{3 - 2\ln 2}}{{16}}.$
van1303, 26/2/18 #15
1. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{{dx}}{{{x^3}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = - \frac{1}{{2{x^2}}}\end{array} \right.$ $\Rightarrow I = \left. { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^2 + \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^3}}}} = \left. { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^2\left. { - \frac{1}{{4{x^2}}}} \right|_1^2 = - \frac{{\ln 2}}{8} + \frac{3}{{16}} = \frac{{3 - \ln 2}}{{16}}.$
  Minh Toán, 7/12/17 #link