Tích Phân Từng Phần – Wikipedia Tiếng Việt

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích
x t s

Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Nếu u = u(x) và du = u′(x) dx, trong đó v = v(x) và dv = v′(x) dx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x = u ( b ) v ( b ) − u ( a ) v ( a ) − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}}}

hay gọn hơn:

∫ u d v = u v − ∫ v d u . {\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\!}

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Định lý

[sửa | sửa mã nguồn]

Tích của hai hàm

[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x ( u ( x ) ) + u ( x ) d d x ( v ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\Big (}u(x)v(x){\Big )}=v(x){\frac {d}{dx}}\left(u(x)\right)+u(x){\frac {d}{dx}}\left(v(x)\right).\!}

Tích phân cả hai vế đối với x,

∫ d d x ( u ( x ) v ( x ) ) d x = ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx}

sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,

u ( x ) v ( x ) = ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x {\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx} ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx}

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,

d u = u ′ ( x ) d x d v = v ′ ( x ) d x {\displaystyle du=u'(x)dx\quad dv=v'(x)dx} ∫ u ( x ) d v = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) d u {\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du}

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

Mở rộng cho các trường hợp khác

[sửa | sửa mã nguồn]

Điều kiện u và v khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu u là liên tục tuyệt đối và hàm được chọn v' phải khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết là liên tục).[1] (Nếu v' có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm v của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian compact thì u không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v ' không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu

u ( x ) = exp ⁡ ( x ) / x 2 , v ′ ( x ) = exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle u(x)=\exp(x)/x^{2},\,v'(x)=\exp(-x)}

u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

∫ 1 ∞ u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ − ∫ 1 ∞ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}

miễn là  [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ {\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }} có nghĩa là giới hạn u ( L ) v ( L ) − u ( 1 ) v ( 1 ) {\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}  khi L → ∞ {\displaystyle L\to \infty } và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn  v ( x ) = − exp ⁡ ( − x ) . {\displaystyle v(x)=-\exp(-x).}  Tương tự, nếu

u ( x ) = exp ⁡ ( − x ) , v ′ ( x ) = x − 1 sin ⁡ ( x ) {\displaystyle u(x)=\exp(-x),\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}

v' không khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

∫ 1 ∞ u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ − ∫ 1 ∞ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}

với giải thích tương tự.

Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó u và v không khả vi liên tục.

Tích của nhiều hàm

[sửa | sửa mã nguồn]

Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết quả tương tự:

∫ a b u v d w = [ u v w ] a b − ∫ a b u w d v − ∫ a b v w d u . {\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw=[uvw]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}

Tổng quát với n thừa số

d d x ( ∏ i = 1 n u i ( x ) ) = ∑ j = 1 n ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) d x , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)=\sum _{j=1}^{n}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x){\frac {du_{j}(x)}{dx}},}

dẫn đến

[ ∏ i = 1 n u i ( x ) ] a b = ∑ j = 1 n ∫ a b ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) , {\displaystyle {\Bigl [}\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x){\Bigr ]}_{a}^{b}=\sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x)\,du_{j}(x),}

trong đó tích thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.

Sự hình dung

[sửa | sửa mã nguồn]

Xem xét đường cong tham số bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Giả sử rằng đường cong là đơn ánh cục bộ và khả tích cục bộ, ta định nghĩa

x ( y ) = f ( g − 1 ( y ) ) {\displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))} y ( x ) = g ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))}

Diện tích vùng màu xanh là

A 1 = ∫ y 1 y 2 x ( y ) d y {\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy}

Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là

A 2 = ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x {\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx}

Tổng diện tích A1 + A2 bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x2y2, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x1y1:

∫ y 1 y 2 x ( y ) d y ⏞ A 1 + ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x ⏞ A 2 = x . y ( x ) | x 1 x 2 = y . x ( y ) | y 1 y 2 {\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} ^{A_{2}}={\biggl .}x.y(x){\biggl |}_{x1}^{x2}={\biggl .}y.x(y){\biggl |}_{y1}^{y2}}

Hoặc theo tham số t

∫ t 1 t 2 x ( t ) d y ( t ) + ∫ t 1 t 2 y ( t ) d x ( t ) = x ( t ) y ( t ) | t 1 t 2 {\displaystyle {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)dx(t)={\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}}

Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm:

∫ x d y + ∫ y d x = x y {\displaystyle \int xdy+\int ydx=xy}

Chỉnh lại:

∫ x d y = x y − ∫ y d x {\displaystyle \int xdy=xy-\int ydx}

Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.

Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo f−1(x) khi đã biết tích phân của f(x). Thật vậy, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫x dy khi đã biết tích phân ∫y dx. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với hàm logarithm và hàm lượng giác nghịch đảo.

Ứng dụng để tìm nguyên hàm

[sửa | sửa mã nguồn]

Kịch bản

[sửa | sửa mã nguồn]

Tích phân từng phần là một quá trình suy nghiệm hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất:

∫ u v   d x = u ∫ v   d x − ∫ ( u ′ ∫ v   d x )   d x . {\displaystyle \int uv\ dx=u\int v\ dx-\int \left(u'\int v\ dx\right)\ dx.}

Lưu ý rằng ở vế phải, u được lấy đạo hàm và v được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn u là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn v là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau:

∫ ln ⁡ ( x ) x 2   d x   . {\displaystyle {\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .}}

Do đạo hàm của ln(x) là 1/x, ta chọn (ln(x)) là u; do nguyên hàm của1/x2 là -1/x, chọn 1/x2dx làm dv. Từ đó ta có:

∫ ln ⁡ ( x ) x 2   d x = − ln ⁡ ( x ) x − ∫ ( 1 x ) ( − 1 x )   d x   . {\displaystyle {\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .}}

Nguyên hàm của − 1 x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}  có thể được tìm thấy bằng quy tắc luỹ thừa và bằng 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} .

Ngoài ra, người ta có thể chọn u và v sao cho tích u' (∫v dx) triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | )   d x . {\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.}

Nếu chúng ta chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = sec2x, thì u được lấy vi phân tới 1/ tan x bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi và v được lấy tích phân tan x; do đó công thức cho:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | )   d x = tan ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) − ∫ tan ⁡ ( x ) ⋅ 1 tan ⁡ ( x ) d x   . ∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | )   d x = tan ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) − ∫ tan ⁡ ( x ) ⋅ 1 tan ⁡ ( x ) d x   . {\displaystyle {\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .}{\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .}}

Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.

Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong giải tích số, ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây.

Hàm đa thức và hàm lượng giác

Để tính

I = ∫ x cos ⁡ ( x )   d x {\displaystyle I=\int x\cos(x)\ dx\,}

đặt:

u = x   ⇒   d u = d x {\displaystyle u=x\ \Rightarrow \ du=dx} d v = cos ⁡ ( x )   d x   ⇒   v = ∫ cos ⁡ ( x )   d x = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle dv=\cos(x)\ dx\ \Rightarrow \ v=\int \cos(x)\ dx=\sin(x)}

thì:

∫ x cos ⁡ ( x )   d x = ∫ u   d v = u ⋅ v − ∫ v d u = x sin ⁡ ( x ) − ∫ sin ⁡ ( x )   d x = x sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) + C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\ dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\ dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}\!}

với C là hằng số tích phân.

Đối với bậc cao hơn của x trong dạng

∫ x n e x   d x ,   ∫ x n sin ⁡ ( x )   d x ,   ∫ x n cos ⁡ ( x )   d x {\displaystyle \int x^{n}e^{x}\ dx,\ \int x^{n}\sin(x)\ dx,\ \int x^{n}\cos(x)\ dx\,}

sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của x.

Hàm mũ và hàm lượng giác

Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là

I = ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\ dx.}

Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt

u = cos ⁡ ( x )   ⇒   d u = − sin ⁡ ( x )   d x {\displaystyle u=\cos(x)\ \Rightarrow \ du=-\sin(x)\ dx} d v = e x   d x   ⇒   v = ∫ e x   d x = e x {\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}}

thì:

∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x cos ⁡ ( x ) + ∫ e x sin ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\ dx.}

Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với:

u = sin ⁡ ( x )   ⇒   d u = cos ⁡ ( x )   d x {\displaystyle u=\sin(x)\ \Rightarrow \ du=\cos(x)\ dx} d v = e x   d x   ⇒   v = ∫ e x   d x = e x . {\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}.}

thì:

∫ e x sin ⁡ ( x )   d x = e x sin ⁡ ( x ) − ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\ dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}

Kết hợp lại,

∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x cos ⁡ ( x ) + e x sin ⁡ ( x ) − ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}

Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có

2 ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x ( sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) ) + C {\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}+C}

mà trở thành:

∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x ( sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) ) 2 + C ′ {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx={\frac {e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}}{2}}+C'}

trong đó C (và C' = C/2) là các hằng số tích phân.

Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm tích phân của hàm sec bậc ba.

Các hàm được nhân với phần tử đơn vị

Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân x.

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Chúng ta viết tích phân này như:

I = ∫ ln ⁡ ( x ) ⋅ 1   d x   . {\displaystyle {\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .}}

Đặt:

u = ln ⁡ ( x )   ⇒   d u = d x x {\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}} d v = d x   ⇒   v = x {\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}

thì:

∫ ln ⁡ ( x )   d x = x ln ⁡ ( x ) − ∫ x x   d x = x ln ⁡ ( x ) − ∫ 1   d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}

trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(x):

I = ∫ arctan ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle I=\int \arctan(x)\ dx.}

Viết lại

∫ arctan ⁡ ( x ) ⋅ 1   d x . {\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\ dx.}

Đặt:

u = arctan ⁡ ( x )   ⇒   d u = d x 1 + x 2 {\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}} d v = d x   ⇒   v = x {\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}

thì

∫ arctan ⁡ ( x )   d x = x ⋅ arctan ⁡ ( x ) − ∫ x 1 + x 2   d x = x ⋅ arctan ⁡ ( x ) − ln ⁡ ( 1 + x 2 ) 2 + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]&=x\cdot \arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}

sử dụng kết hợp giữa phương pháp quy tắc chuỗi đảo và điều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên.

Quy tắc LIATE

[sửa | sửa mã nguồn]

Ứng dụng trong toán học thuần tuý

[sửa | sửa mã nguồn]

Tích phân từng phần thường được sử dụng như một công cụ để chứng minh các định lý trong giải tích toán học. Phần này đưa ra vài ví dụ.

Dùng trong các hàm đặc biệt

[sửa | sửa mã nguồn]

Dùng trong giải tích điều hòa

[sửa | sửa mã nguồn] Biến đổi Fourier của đạo hàm Phân rã của biến đổi Fourier

Dùng trong lý thuyết toán tử

[sửa | sửa mã nguồn]

Các ứng dụng khác

[sửa | sửa mã nguồn]

• Để xác định điều kiện biên trong lý thuyết Sturm-Liouville
• Đạo hàm của phương trình Euler-Lagrange trong giải tích của biến thể

Tích phân đệ quy từng phần

[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng tích phân từng phần

[sửa | sửa mã nguồn]

Các chiều cao hơn

[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Integration by parts for the Lebesgue–Stieltjes integral
• Integration by parts for semimartingales, involving their quadratic covariation.
• Integration by substitution
• Legendre transformation

Ghi chú

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ “Integration by parts”. Encyclopedia of Mathematics.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

• Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
• Arbogast, Todd; Bona, Jerry (2005). Methods of Applied Mathematics (PDF).
• Horowitz, David (tháng 9 năm 1990). “Tabular Integration by Parts”. The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368. JSTOR 2686368."Tabular Integration by Parts". The College Mathematics Journal 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368.JSTOR 2686368. 

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Integration by parts”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Integration by parts—from MathWorld

x t s Tích phân
Các loại tích phân	Riemann Lebesgue Burkill Bochner Daniell Darboux Henstock-Kurzweil Haar Hellinger Khinchin Kolmogorov Lebesgue–Stieltjes Pettis Pfeffer Riemann-Stieltjes Tích phân quy định
Kĩ thuật tính	Đổi biến Lượng giác Euler Weierstrass Từng phần Hữu tỉ Công thức Euler Hàm ngược Thứ tự Truy hồi Đạo hàm theo tham số Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân Biến đổi Laplace Tích phân đường trong mặt phẳng phức Phương pháp Laplace Tích phân xấp xỉ Quy tắc Simpson Quy tắc hình thang Thuật toán Risch
Tích phân bất định	Tích phân Gauss Tích phân Dirichlet Tích phân Fermi-Dirac hoàn chỉnh chưa hoàn chỉnh Tích phân Bose-Einstein Tích phân Frullani Tích phân thường gặp trong lý thuyết trường lượng tử
Vi phân ngẫu nhiên	Tích phân Itô Tích phân Russo-Vallois Tích phân Stratonovich Tích phân Skorokhod
Liên quan	Bài toán Basel Công thức Euler–Maclaurin Sừng Gabriel Integration Bee Chứng minh 22/7 lớn hơn π Thể tích Khối tròn xoay Vỏ

x t s Vi tích phân
Tiền vi tích phân	Định lý nhị thức Hàm lõm Hàm liên tục Giai thừa Sai phân Biến tự do và biến bị chặn Đồ thị của hàm số Hàm tuyến tính Radian Định lý Rolle Cát tuyến Độ dốc Tiếp tuyến
Giới hạn (toán học)	Dạng vô định Giới hạn của hàm số Giới hạn một bên Giới hạn của một dãy Bậc của xấp xỉ Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn
Vi phân	Đạo hàm Đạo hàm bậc hai Đạo hàm riêng Vi phân Toán tử đạo hàm Định lý giá trị trung bình Ký hiệu Ký hiệu Leibniz Ký hiệu Newton Quy tắc đạo hàm Tuyến tính Đa thức Cộng tính Nhân tính Hàm hợp l'Hôpital Hàm tích Quy tắc tổng quát Leibniz Hàm thuơng Hàm ngược Đạo hàm logarit Điểm bất động Phép thử cấp một Phép thử cấp hai Định lý Weierstrass Cực trị Ứng dụng Phương pháp Newton Định lý Taylor Phương trình vi phân ODE PDE SDE
Tích phân	Nguyên hàm Arc length Tích phân Hằng số tích phân Định lý cơ bản của giải tích Quy tắc tích phân Leibniz Tích phân từng phần Phép đổi biến tích phân Trigonometric substitution Euler substitution Weierstrass substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Disc integration Shell integration
Tích phân vectơ	Derivatives Rot (toán tử) Directional derivative Toán tử div Gradient Toán tử Laplace Basic theorems Gradient theorem Định lý Green Stokes' theorem Định lý Gauss
Vi tích phân đa biến	Định lý Gauss Vi tích phân hình học Ma trận Hesse Ma trận Jacobi Phương pháp nhân tử Lagrange Tích phân đường Vi tích phân ma trận Tích phân bội Đạo hàm riêng Tích phân mặt Tích phân khối Advanced topics Differential forms Exterior derivative Định lý Stokes Tensor calculus
Dãy và chuỗi	Cấp số cộng nhân Các chuỗi Chuỗi đan dấu Chuỗi nhị thức Chuỗi Fourier Chuỗi hình học Chuỗi điều hòa Chuỗi (toán học) Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor Chuỗi ống nhòm Dấu hiệu hội tụ Dấu hiệu Abel Tiêu chuẩn Leibniz Tiêu chuẩn Cauchy cô đọng Dấu hiệu so sánh trực tiếp Dấu hiệu Dirichlet Tiêu chuẩn hội tụ tích phân Tiêu chuẩn so sánh giới hạn Dấu hiệu tỉ số Dấu hiệu căn Dấu hiệu số hạng
Các hàm và số đặc biệt	Số Bernoulli e (số) Hàm mũ Logarit tự nhiên Xấp xỉ Stirling
Lịch sử vi tích phân	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Leibniz Vô cùng bé Vi tích phân Isaac Newton Fluxion Law of continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Danh sách	Differentiation rules Danh sách tích phân với hàm mũ Danh sách tích phân với hàm hypebolic Danh sách tích phân với hàm hyperbolic ngược Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược List of integrals of irrational functions Danh sách tích phân với hàm lôgarít Danh sách tích phân với phân thức Danh sách tích phân với hàm lượng giác Tích phân của hàm secant Integral of secant cubed List of limits Danh sách tích phân
Chủ đề khác	Differential geometry Độ cong Differentiable curve Differential geometry of surfaces Công thức Euler–Maclaurin Gabriel's Horn Integration Bee Chứng minh 22/7 lớn hơn π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid