Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ: Một Số Dạng Bài Tập Và Ứng Dụng

Số lượt đọc bài viết: 17.435

Tích vô hướng của hai vectơ là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy tích vô hướng của hai vectơ là gì? Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng của 2 vectơ như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 qua bài viết dưới đây nhé!

MỤC LỤC

• Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
  • Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ
  • Lưu ý về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10
  • Khái niệm bình phương vô hướng là gì?
• Những tính chất của tích vô hướng
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
• Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ
  • Độ dài của vectơ
  • Góc giữa hai vectơ
  • Khoảng cách giữa hai điểm
• Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ và cách giải
  • Dạng 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ
  • Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng

Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một số, kí hiệu là \(\vec{a}.\vec{b}\), được xác định bởi công thức \(\vec{a}.\vec{b} = \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a},\vec{b})\) (1)

Lưu ý về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Với \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) khác \(\vec0}\), ta có:

\(\vec{a}.\vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a}\perp \vec{b}\)

Hai vectơ (khác vectơ không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Khái niệm bình phương vô hướng là gì?

Khi \(\vec{a} = \vec{b}\) thì công thức (1) trở thành:

\(\vec{a}.\vec{a} = \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{a} \right |.cos0^{\circ} = \left | \vec{a} \right |^2\)

Người ta ký hiệu tích vô hướng \(\vec{a}.\vec{a}\) là \((\vec{a})^2\) hay đơn giản là \(\vec{a}^2\) và gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\vec{a}\).

Như vậy, ta có:

\(\vec{a}^2 = \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{a} \right |.cos0^{\circ} = \left | \vec{a} \right |^2\)

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Những tính chất của tích vô hướng

Với hai số thực a và b, ta có ab = ba; a(b + c) = ab + ac. Vậy với hai vecto \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), ta có các tính chất tương tự.

Với ba vecto \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) tùy ý và mọi số thực k, ta có:

\(\vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a}\) (Tính chất giao hoán)

\((k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) = k(\vec{a}.\vec{b})\)

\(\vec{a}.(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}.\vec{b} + \vec{a}.\vec{c}\) (Tính chất phân phối đối với phép cộng)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ \((O;\vec{i},\vec{j})\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_{1}, a_{2}),\, \vec{b} = (b_{1}, b_{2})\).

Khi đó, ta có công thức:

\(\vec{a}.\vec{b} = a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2}\)

Nhận xét:

hai vectơ \(\vec{a} = (a_{1}.a_{2})\) và \(\vec{b} = (b_{1}.b_{2})\) khác vectơ \(\vec{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2} = 0\)

\(\vec{a}\perp \vec{b} \Leftrightarrow a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2} = 0\)

Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ

Từ biểu thức tọa độ của tích vô hướng, suy ra một số hệ thức quan trọng sau, cho phép tính được: độ dài và góc của hai vectơ khi biết tọa độ của chúng và tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của hai điểm đó.

Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ \(\vec{a} = (a_{1};a_{2})\) được tính theo công thức

\(\left | \vec{a} \right | = \sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2}\)

Góc giữa hai vectơ

Với hai vectơ  \(\vec{a} = (a_{1};a_{2})\) và \(\vec{b} = (b_{1};b_{2})\) khác \(\vec{0}\), từ định nghĩa của tích vô hướng và hệ thức độ dài trên, ta suy ra góc giữa hai vectơ được xác định bởi hệ thức sau:

\(cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |} = \frac{a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2}}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}.\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\)

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_{A}; y_{A}), B(x_{B};y_{B})\) được tính theo công thức sau:

\(AB = \sqrt{(x_{B} – x_{A})^2 + (y_{B} – y_{A})^2}\)

Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ và cách giải

Dạng 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ

• Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa \(\vec{a}.\vec{b} = \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a};\vec{b})\)

Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của 2 vectơ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a. Tính tích vô hướng \(\vec{BA}.\vec{BC}

Cách giải:

Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:[latex]\vec{BA}.\vec{BC} = \left | \vec{BA} \right |.\left | \vec{BC} \right |cos\vec{BA};\vec{BC} = 2a^2cos\vec{BA},\vec{BC}\)

Mặt khác \(cos\vec{BA},\vec{BC} = cosABC = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\)

Nên \(\vec{BA}.\vec{BC} = a^2\)

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng

• Phương pháp:

Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển vế vectơ nhờ đẳng thức \(AB^2 = \vec{AB}^2\)

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ

Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng

Ví dụ 2: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng \(\vec{MA}.\vec{MB} = IM^2 – IA^2\)

Cách giải:

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là \(\vec{MA}.\vec{MB} = \vec{IM^2} – \vec{IA^2}\)

Để làm xuất hiện \(\vec{IA},\vec{IM}\) ở vế phải, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được:

\(VT = \vec{MI} + \vec{IA}.\vec{MI} + \vec{IB} = \vec{MI} + \vec{IA}. \vec{MI} – \vec{IA} = \vec{IM}^2 – \vec{IA}^2 = VP\) (đpcm)

Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề tích vô hướng của 2 vectơ. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com) Xem thêm >>> Vecto chỉ phương của đường thẳng là gì? Phương trình tham số của một đường thẳng

Rate this post Please follow and like us: