Tiểu Luận Giải Tích Xét Tính Khả Vi Của Hàm Nhiều Biến - 123doc

Tiểu luận giải tích xét tính khả vi của hàm nhiều biến

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khi học về hàm một biến số thì có đạo hàm đồng nghĩa với việc hàm sốkhả vi Tuy nhiên, khi mở rộng phạm vi trên hàm nhiều biến số thì điều nàykhông còn đúng nữa, hàm số có các đạo hàm riêng chưa chắc hàm số đó khả

vi Chính sự khác nhau này đã làm cho bài toán xét tính khả vi của hàm nhiềubiến số trở nên khó khăn hơn Việc xét tính khả vi của hàm nhiều biến thựcchất là ta đi tính các đạo hàm riêng và xét tính liên tục của chúng Xét tínhliên tục thì công việc chính là tính giới hạn, tuy nhiên tính giới hạn của hàmnhiều biến số thì không có phương pháp cụ thể Hàm nhiều biến thường lànhững hàm số phức tạp và rắc rối, vì thế việc tính đạo hàm của hàm nhiềubiến cũng phức tạp hơn hàm một biến; trong quá trình tính đạo hàm riêng, ta

dễ bị nhầm lẫn giữa các biến với nhau Do đó bài toán xét tính khả vi rấtphong phú, đa dạng và cũng tương đối khó, đòi hỏi hỏi nhiều kĩ năng tínhtoán và tư duy Với mong muốn có thể hệ thống lại các dạng bài tập xét tínhkhả vi của hàm nhiều để thuận tiện hơn trong việc dạy và học nên tôi chọn đề

tài “ Xét tính khả vi của hàm nhiều biến” làm đề tài nghiên cứu của mình.

2 Đối tượng nghiên cứu

Tính khả vi trên hàm số nhiều biến

3 Mục đích nghiên cứu

Nắm rõ các tính chất và định lý của hàm khả vi

Giải các dạng bài tập về khả vi

4 Phạm vi nghiên cứu

Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tôi chỉ nghiên cứu trên hàm số hai biến Hàm số ba biến trở lên ta có thể làm tương tự như hàm hai biến

5 Phương pháp nghiên cứu

Dựa trên các kiến thức đã có và tìm kiếm các dạng bài tập ở trên thưviện, sách, báo, Internet và trên các diễn đàn sinh viên

PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định nghĩa

Giả sử D là miền mở trong 2

i) Hàm có vi phân được gọi là hàm khả vi.

ii) Hàm số f (x, y) khả vi tại điểm Mo thì nó liên tục tại điểm đó

iii) Hàm số f (x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi

điểm của miền đó

1.2 Tính chất

1.2.1 Định lý 1

Nếu hàm số u = f (x, y) có vi phân (khả vi) tại điểm P(x, y)  D thì tại

điểm này tồn tại các đạo hàm riêng của u và A = u

x



 và B = u y

 , tức là:

giới hạn lim0

x

u x

 



 = ATức là: u

ii) Như ta đã biết hàm một biến số thì có đạo hàm đồng nghĩa với việc hàm

số khả vi và ngược lại hàm số khả vi tức là hàm số tồn tại đạo hàm Tuy nhiên, khi mở rộng phạm vi trên hàm nhiều biến số thì điều này không còn đúng nữa, hàm số có các đạo hàm riêng chưa chắc hàm số đó khả vi, ví dụ dưới đây sẽ làm rõ điều này

Ví dụ: Xét tính khả vi của hàm số u = tai điểm (0,0)

Vì u = 0 trên cả hai trục Ox, Oy cho nên thấy ngay rằng tại điểm (0,0)

các đạo hàm riêng tồn tại và u

Ta phải chứng minh rằng u du = o() khi  0.

Trước hết lưu ý rằng giả thuyết u

x



 , u y

 liên tục tại điểm P(x, y) D

có nghĩa là chúng tồn tại trong lân cận của điểm P Ta có:

u = f (x +x, y+y) f (x, y)

= [ f (x +x, y+y) f (x, y +y) ] + [ f (x, y +y) f (x, y) ] (4)

Trong dấu ngoặc thứ nhất, đối số thứ hai được giữ không đổi và bằng

y +y, còn đối số thứ nhất thì dịch chuyển so với x một số gia x Với

│x│, │y│đủ nhỏ thì các điểm (x, y +y) và (x +x, y +y) nằm trong

lân cận tồn tại các đạo hàm riêng u

i) Nếu u = f (x, y) = x thì = 1, = 0 cho nên du = dx = x.

Tương tự, nếu u = f (x, y) = y thì suy ra du = dx = y.

Do đó ta luôn có thể viết biểu thức vi phân của hàm số u = f (x, y) tại điểm P (x, y) như sau:

ii) Khái niệm vi phân và các tính chất của nó dễ dàng mở rộng cho trường

hợp hàm số 3 (hoặc nhiều hơn 3) biến số:

 Vi phân của hàm số u = f (x, y, z) là biểu thức dạng

 Nếu tại điểm P (x, y, z) vi phân của hàm số u = f (x, y, z) tồn tại thì tồn

tại các đạo hàm riêng u



 dx 1 +

2

u x



 dx2 + +

n

u x



 dx n

Nếu như ta nhận xét hàm số nói trên như là hàm số của một biến độc

lập xi (1< i < n) coi các biến còn lại là hằng số thì vi phân của một biến tương ứng được gọi là vi phân riêng của hàm số u = f (x1,x2, ,xn) theo biến xi Vi

phân riêng này được kí hiệu và tính theo công thức:

d xi f =

i

u x



 dx i Ví dụ: Tính vi phân toàn phần của hàm số: z f (x, y)  y 2x

Ta có:

zx' 3 y 2 zy'  4xy

Ta suy ra: dz df 3 y 2 dx  4xydy.

1.2.3 Tính chất

Cho f (x, y) và g (x, y) khả vi, tương tự như hàm một biến ta cũng có

một số tính chất sau:

d(u v) = du dv d(uv) = vdu + udv d( u

v ) = v u u vd 2 d

v



1.2.4 Tính bất biến của dạng vi phân

Ta đã biết, nếu hàm số u = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục u

Ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp x, y là các hàm số của t, s

(tức là x  ( , )t s và y  (t,s)) với giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng liên tục



 + u y



y t





u s



 + u y



y s



 + u y



y t



 + u y



y s

x t

giống như (*), tức là giống như dạng vi phân du trong trường hợp x, y là các

biến độc lập Điều này chứng tỏ tính bất biến của dạng vi phân

Chương 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP

Bài tập về tính khả vi của hàm nhiều biến đòi hỏi nhiều kĩ năng tínhtoán và tư duy Muốn giải tốt dạng bài tập này ta cần nắm rõ các định lý vàtính chất của hàm khả vi, các công thức tính đạo hàm, các kỹ thuật tính giớihạn Tuỳ vào từng bài mà ta linh hoạt, nhạy bén xử lý không nên máy móc, tưduy theo một hướng, rập khuôn cách giải

2.1 Tính vi phân

Trước khi làm bài tập dạng này, ta sẽ nhắc lại công thức tính vi phân

toàn phần của hàm hai biến số u = f (x, y) tại điểm P(x, y) như sau:

= 3y 2 + 6xy 6x 2 Suy ra: dz = dx + dy = (3x 2 12xy + 3y)dx + (3y 2 + 6xy 6x 2 )dy

= 3(x 2 4xy + y)dx + 3(y 2 +2xy 2x 2 )dy

Suy ra: dz = dx + dy = 1 y 2 dx + x 2

1

y y

= +

= +

= ( + )

= +

= +

= +

= +

= ( + )

Suy ra:

dz = dx + dy

Suy ra: dz = dx + dy = ( + )dx + ( )dy

Suy ra:

= (cosy + xsiny + siny)

= (cosy + xsiny) + = ( siny + xcosy)

2.2 Xét tính khả vi

Trước khi làm bài tập dạng này, ta nên lưu ý khi tính fx’(xo, yo) hoặc

f y’(xo, yo), nếu khi thế (xo, yo) vào fx’ hoặc fy’ mà rơi vào dạng vô định không

tính ra số cụ thể được thì ta có thể dùng định nghĩa đạo hàm để tính

Bài tập 1: Chứng minh rằng hàm số f (x, y) = x khả vi tại điểm (0,0)

Vậy hàm số f (x, y) = x khả vi tại điểm (0,0).

Bài tập 2: Cho hàm số f (x, y) = , xét tính khả vi của hàm số tại điểm (0,0)

g( , ) = =

Do đó hàm số g(x, y) = không có giới hạn tại điểm (0,0)

Hay f ’x không liên tục.

Vậy f (x, y) không khả vi tại (0,0).

Bài tập 3: Cho f (x, y) =

a) Chứng minh rằng f khả vi tại điểm (0,0).

b) Từ kết quả trên có kết luận gì về tính liên tục của hàm f và các đạo hàm riêng của f tại điểm (0,0).

Từ tính khả vi của f tại điểm (0,0) ta kết luận được f liên tục tại điểm

(0,0) nhưng chưa có thể nói gì về tính liên tục của các đạo hàm riêng của hàm

f tại điểm này Ta có thể kiểm tra trực tiếp và thấy rằng các đạo hàm riêng f ’x

và f ’y gián đoạn tại điểm (0,0).

Thật vậy, ta có:

f ’x = sin

f ’y = 3y2 .cos + sin

Bây giờ ta xét f ’x = sin

Chọn (xn , yn) = ( ( n )

Khi đó: f ’x(xn , yn) = sin = sin =

Suy ra f ’x = sin không tồn tại giới hạn tại điểm (0,0).

Tương tự f ’y = 3y2 .cos + sin cũng không tồn tại

giới hạn tại điểm (0,0)

Hay các đạo hàm riêng f ’x và f ’y gián đoạn tại điểm (0,0).

Bài tập 4: Cho hàm số

Từ đó suy ra đạo hàm fx không liên tục tại điểm (0,0)

Tương tự, chọn (x ’ x, y ’ n) = (0,

Từ đó suy ra đạo hàm fy không liên tục tại điểm (0,0)

Bài tập 6: Cho f (x, y) =

Chứng minh rằng hàm số trên không khả vi tại điểm (0,0)

= (với = )

= =

Nên hàm f không khả vi tại điểm (0,0).

Bài tập 7: Xét tính khả vi của hàm số sau:

Vì = 1 và không tồn tại nên giới hạn đang xét

không tồn tại Như vậy không tồn tại đạo hàm riêng fx’ tại điểm A Dó đó,

hàm f không khả vi tại mọi điểm nằm trên trục Oy.

Hoàn toàn tương tự, ta xét điểm B là điểm nằm trên trục Ox và B (0,0), nghĩa là B có tọa độ (x,0) với x 0

Ta xét giới hạn:

Vì = 1 và không tồn tại nên giới hạn đang xét

không tồn tại Như vậy không tồn tại đạo hàm riêng fy’ tại điểm B Dó đó,

hàm f không khả vi tại mọi điểm nằm trên trục Ox.

Cuối cùng, giả sử C là một điểm bất kỳ không nằm trên các trục tọa độ

Không mất tính tổng quát ta giả thiết C có tọa độ (xo, yo) với xoyo 0 Khi đó,

tồn tại lân cận mở U của C sao cho mọi điểm (x,y) U đều có xy 0

Dễ dàng thấy f có các đạo hàm riêng tại mọi điểm của U và các đạo hàm riêng nay liên tục, do đó f khả vi tại C

Vậy f khả vi tại mọi điểm không nằm trên các trục toạ độ.

Bài tập 8: Xét tính khả vi của hàm số f(x, y) = tại điểm (0,0)

Giải

Ta có:

f x’(0,0) =

= = =

Như vậy giới hạn này không tồn tại nên hàm f không có đạo hàm riêng theo biến x tại điểm (0,0) và do đó nó không khả vi tại điểm này.

Bài tập 9: Cho hàm số f (x,y) =

Chứng minh rằng f liên tục tại điểm (0,0) nhưng không khả vi tại điểm này.

= (sử dụng quy tắc L’Hospital)

Nên giới hạn đang xét không tồn tại Vì thế, hàm f không tồn tại đạo hàm riêng fx’ tại điểm (0,0) và do đó nó không khả vi tại điểm này

Nhận xét: Với dạng toán này, các bài toán rất phong phú và đa dạng

không có một phương pháp cụ thể, rõ ràng, nên ta cần phải linh hoạt, căn cứ

vào từng hàm số, từng giả thiết mà có những biến đổi cho phù hợp Dạng toánnày cần có sự tư duy, nhạy bén Chẳng hạn như khi tính giới hạn của các đạohàm riêng để xét tính liên tục của nó, không có phương pháp cụ thể để xétgiới hạn, ta phải dự đoán trước kết quả có giới hạn hay không, sau đó mới sửdụng những kiến thức đã có để kiểm chứng dự đoán đó đúng hay sai Nhưvậy, ta cần rèn luyện tính tư duy toán học bằng cách làm nhiều bài tập, để trởthành kỹ năng, kỹ xảo trong giải toán.

KẾT LUẬN

Bài toán về tính khả vi của hàm nhiều biến rất đa dạng, phong phú, nêncác bài tập nêu trên sẽ giúp ta củng cố kiến thức đã học, hệ thống được một sốdạng toán cơ bản, định hình được cách giải, hướng tư duy Tuy nhiên để giảitốt, thuần thục, nhuần nhuyễn thì ta nên làm thêm nhiều bài tập khác nhau,tham khảo thêm nhiều cách giải Việc làm nhiều bài tập cùng dạng cũng giúp

ta rèn luyện tính tư duy, khả năng phân tích và hạn chế sai sót trong tính toán.Điều quan trọng khi làm các bài toán liên quan đến tính khả vi là ta phải nhớđược các công thức tính đạo hàm của hàm một biến, sử dụng nhuần nhuyễntrong việc tính các đạo hàm riêng, và phải có óc tư duy, trong việc tính giớihạn, tất nhiên phải cần sự nhạy bén, sáng tạo, linh hoạt, mền dẻo trong từngtrường hợp khác nhau, trong từng bài toán khác nhau để có một cách giảiđúng, hay và nhanh, đồng thời tránh những sai sót thường gặp trong tính toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bài tập toán cao cấp, tập III, Trần Văn Ân, Tạ Khắc Cư, Tạ Quang Hải,

Đình Huy Hoàng, NXB Giáo dục, 2000

[2] Bài tập toán cao cấp, tập 3, Nguyễn Đình Trí (chủ biên), NXB Giáo dục,

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng nghiên cứu 1

3 Mục đích nghiên cứu 1

4 Phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

PHẦN NỘI DUNG 2Chương 1: Cơ sở lý thuyết 21.1 Định nghĩa 2

2.2 Xét tính khả vi 18KẾT LUẬN 27TÀI LIỆU THAM KHẢO 28