Xemtailieu Tải về Tiểu luận toán c1 tích phân và ứng dụng trong kinh tế
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN TRUNG TÂM ĐÀO TẠO BẰNG HAI TIỂU LUẬN MÔN: TOÁN CAO CẤP C1 ĐỀ TÀI: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ GVHD: ThS. Nguyễn Tấn Huy NHÓM THỰC HIỆN 1. Nguyễn Thị Thùy Mai – B20 KDN 2. Nguyễn Ngọc Hương Sen – B20 KKT 3. Trần Thị Thanh Hà – B20 KDN Đà Nẵng, Tháng 06/2015 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................................ 2 1. NGUYÊN HÀM: ........................................................................................................................................................... 2 1.1. Định nghĩa: .................................................................................................................................................... 2 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHÂN BẤT ĐỊNH (NGUYÊN HÀM) .................................................................................................. 3 2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích ............................................................. 3 2.2. Phương pháp đổi biến số .............................................................................................................................. 3 2.3. Phương pháp tích phân từng phần ............................................................................................................... 4 3. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ................................................................................................................................................... 5 3.1. Định nghĩa ..................................................................................................................................................... 5 PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG.............................................................. 8 1. BÀI TẬP DẠNG 1......................................................................................................................................................... 8 Bài tập 1 ............................................................................................................................................................... 8 Bài tập 2 : ............................................................................................................................................................. 8 2. BAI TẬP DẠNG 2......................................................................................................................................................... 9 Bài tập 3 : ............................................................................................................................................................. 9 Bài tập 4: ............................................................................................................................................................ 10 Bài tập 5: ............................................................................................................................................................ 11 3. BAI TẬP DẠNG 3....................................................................................................................................................... 12 Bài tập 6: ............................................................................................................................................................ 12 Bài tập 7: ............................................................................................................................................................ 14 4. BAI TẬP DẠNG 4....................................................................................................................................................... 15 Bài tập 8: ............................................................................................................................................................ 15 5. BAI TẬP DẠNG 5....................................................................................................................................................... 16 Bài tập 9: ............................................................................................................................................................ 16 Bài tập 10 : ......................................................................................................................................................... 17 Bài tập 11: .......................................................................................................................................................... 18 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 20 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy LỜI MỞ ĐẦU Những vấn đề thường gặp trong các hoạt động kinh tế rất đa dạng và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề như vậy một cách chặt chẽ và hợp lý, mang lại các lợi ích thiết thực. Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng các mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầu cấp bách đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế. Hiểu được tầm quan trọng của toán học trong kinh tế, nhóm chúng em đã chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng trong kinh tế”. Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về các định nghĩa, công thức về tích phân cũng như các ứng dụng quan trọng của tích phân nhằm giải các bài toán trong kinh tế học. Trang 1 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Nguyên hàm: 1.1. Định nghĩa: Trong phần bài học về đạo hàm của hàm số, ta đã biết: Nếu hàm chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là Cx, thì hàm chi phí cận biên là MCx = C′x. Đảo lại, nếu đã biết trước hàm chi phí cận biên là MCx và cần tìm hàm chi phí thì ta phải làm gì? Ta phải giải bài toán ngược: Tìm hàm số Cx sao cho C x = MCx. Đó là bài toán tìm nguyên hàm. ĐỊNH NGHĨA: Cho K là một khoảng trong ℝ (tức là K là một trong các dạng: a, b, a, b, [a, b hoặc [a, b). Hàm Fx được gọi là nguyên hàm của hàm fx trên K nếu F x = fx, ∀x ∈ K. Ở đây, nếu K có chứa đầu mút thì đạo hàm được hiểu là đạo hàm một phía. Như vậy, trong một khoảng nếu f′x là đạo hàm của fx thì ngược lại fx được gọi là nguyên hàm của f′x. Ví dụ 1: i) Hàm = + 1 có nguyên hàm là hàm = + trên = −∞, ∞. ii) Hàm = √ có nguyên hàm là = √ trên miền = 0, +∞. ĐỊNH LÝ: Nếu fx có nguyên hàm là Fx trên K thì fx có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số. Nghĩa là Trang 2 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy ∫ # $ = # + % 2. Các phương pháp tính phân bất định (Nguyên hàm) Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu ột số phương pháp chung để tìm tích phân bất định bao gồm các dạng toán như sau: 2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích Dựa vào tính chất tuyến tính của tích phân bất định và bảng tích phân cơ bản, ta có thể tìm tích phân bất định của một hàm số bằng cách phân tích thành tổng của các hàm đã có tích phân được tìm sẵn. Ví dụ: x2 1 1 ∫ 1 + x 2 dx = ∫ 1 − 1 + x 2 dx = ∫ dx − ∫ 1 + x 2 dx = x − arctan x + C 2.2. Phương pháp đổi biến số dx là một vi phân nên ta có thể viết như sau ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ ∫ f ( x ( t ) ) x ' ( t ) dt = F ( x ( t ) ) + C a) Phép biến đổi thuận: Đặt x = x ( t ) để chuyển việc tính ∫ f ( x ) dx thành ∫ f ( x ( t ) ) x ' ( t ) dt . Ví dụ: Tính I = ∫ 5 − x 2 dx Đặt x = 5sin t , với t ∈ − , , ta được: 2 2 π π t = arcsin x ; dx = 5 cos tdt; 5 − x 2 = 5 cos t 5 Nên Trang 3 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy I =∫ 5 cos t 5 cos tdt = 5∫ cos 2 tdt = = Thế t = arcsin 5 (1 + cos 2t ) dt 2∫ 5 sin 2t t + +C 2 2 x vào kết quả trên, ta được 5 5 x 1 x I = arcsin + sin 2arcsin + C 2 5 2 5 b) Phép biến đổi ngược: Đặt x ' ( t ) dt = dx để chuyển việc tính f ( x ( t ) ) x ' ( t ) dt thành ∫ f ( x ) dx . Ví dụ: Tính 2x + 4 dx = ∫ 2 x + 4x − 5 = ln x 2 + 4 x − 5 + C I =∫ (x 2 + 4 x − 5) ' 2 x + 4x − 5 dx 2.3. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u ( x ) và v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm u ' ( x ) và v ' ( x ) , là các hàm liên tục trên khoảng K . Khi đó, ( uv ) ' = u ' v + uv ' Lấy tích phân cả hai vế, ta được uv = ∫ u ' vdx + ∫ uv ' dx Hay ∫ udv = uv = ∫ vdu Ví dụ: Tính I = ∫ &' $ Trang 4 Tích phân và ứng dụng Đặt GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy u = lnx du = dv = xdx Vậy: v= I = 2 &' − ∫ = 2 &' − +% = 4 ) $ 2 $ 2&' − 1 % 3. Tích phân xác định 3.1. Định nghĩa Đặt vấn đề: Giả sử f ( x ) liên tục trên [ a, b] và f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ a, b] . Gọi S là hình phẳng được giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = f ( x ) ; hai đường thẳng đứng x = a, x = b ; trục hoành. S được minh họa bởi hình sau đây: Tính diện tích hình S ? Để tính diện tích hình S , ta chia đoạn [ a, b] thành n phần với cách chia: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . Tại mỗi khoảng ( xi , xi +1 ) , ta xét diện tích Si +1 như minh họa ở hình vẽ sau: Trang 5 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Khi giá trị ∆xi = xi − xi −1 là đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ giá trị diện tích Si là diện tích hình chữ nhật với độ dài 2 cạnh lần lượt là: ∆xi và f ( xi −1 ) . Kết quả là diện tích S có thể được xấp xỉ như sau n S ≈ ∑ f ( xi −1 ) ∆xi i =1 Như vậy, ta có thể khẳng định: n S = lim n →+∞ ∑ f ( x ) ∆x i −1 i i =1 Phương pháp xác định giá trị diện tích của một hàm như trên được tổng quát hóa bằng phương pháp tích phân xác định. Theo đó, ĐỊNH NGHĨA: Tích phân xác định của một hàm số y = f ( x ) trên miền [ a, b] được ký hiệu là b ∫ f ( x ) dx a Được định nghĩa như sau: Trang 6 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy ∫ b a n f ( x ) dx = lim n →+∞ ∑ f ( x ) ∆x i −1 i i =1 Với a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . ĐỊNH LÝ 1: Điều kiện khả tích đủ để một hàm số y = f ( x ) khả tích trên miền [ a, b] bao gồm các điều kiện sau: • f ( x ) liên tục hoặc có một số điểm gián đoạn hữu hạn trên [ a, b] ; • f ( x ) đơn điệu và bị chặn trên [ a, b] ĐỊNH LÝ 2 Hàm y = f ( x ) khả tích trên miền [ a, b] thì nó bị chặn trên đoạn đó. Trang 7 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 1. Bài tập Dạng 1. Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết. Tính lượng thay đổi của Q(t) khi t thay đổi từ a → b Bài tập 1: Sau t giờ làm việc một người công nhân nào đó có thể sản xuất với tốc độ là 100 + e −0.5t đơn vị/ giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị giữa 9 giờ sáng và 11giờ trưa Giải : Gọi Q(t) là số đơn vị người đó sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 8 giờ sáng. Ta có : Q’ ( t ) = 100 + e −0.5t Số đơn vị người đó sản xuất được từ 9 giờ sáng ( t = 1 ) đến 11 giờ trưa ( t = 3 ) là : 3 3 1 1 Q ( 3) – Q (1) = ∫ Q '(t )dt = ∫ 100 + e −0.5t dt = 200,76 (đơn vị) Bài tập 2 : Tại một nhà máy nào đó, giả sử chi phí cận biên khi q đơn vị được sản xuất là 4(q − 5) 3 đô la/ đơn vị. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu lượng sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị ? Giải : Ta có : C’ ( q ) = 4 ( q − 5 ) 3 Trang 8 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Chi phí tăng lên khi lượng sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị là : 10 10 7 7 C ( 10) – C ( 7 ) = ∫ C '( q)dq = ∫ 4( q − 5)3dq = 609 ( đô la ) 2. Bài tập Dạng 2 Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q (a) =Q 0 . Tính Q (b) ? Bài tập 3 : Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) của một quốc gia nào đó sau t năm tính từ đầu năm 2004 sẽ là 30 + 1 5 + t tỷ 2 USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD. a) Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015. b) Ước tính thay đổi phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm 2015 Giải : a) Gọi f(t) là GDP của quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004. Ta có : f ’ ( t ) = 30 + 1 5 + t ; f ( 0) = 100 ( tỷ USD ) 2 GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015 là : f (11) = f (11) – f ( 0) + f ( 0 ) 11 f(11) = ∫ 0 11 f ' (t ) dt + 100 = 1 ∫ 30 + 2 5 + t dt + 100 = 447,6 ( tỷ USD ) 0 b) Ta có : Trang 9 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy f’(t) = 30+ ⇒ f(t) = 1 ∫ f ' (t ) dt = ∫ 30 + 2 1 5+t 2 5 + t dt = 30t + (5 + t ) 3 3 2 +C Sử dụng ĐKBĐ : f(0) = 100 (5) 3 3 2 + C = 100 ⇒ C= 96,27 Vậy, f(t) = 30t + (5 + t ) 3 3 2 + 96,27 phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm 2015 thay đổi là : f ' (t ).∆t f ' (11,5).0,5 ≈ 0,034 = 3,4% = f (t ) f (11,5) Bài tập 4: Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ chức, tối ngày 16/06/2015 Chương trình “Chung tay vì người nghèo” đã được tổ chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 03 thành phố lớn của đất nước là: Hà Nội, Đà Nẵng, TP. Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên kênh VTV3 – Đài truyền hình Việt Nam. Trong chương trình này, các cá nhân, tổ chức trong và ngoài nước có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ người nghèo bằng cách nhắn tin hoặc quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp sẽ thay đổi với tốc độ 300te./, 0 (triệu đồng/giờ). Hãy xác định số tiền có được sau 05 giờ quyên góp? Trang 10 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Giải Gọi #(1 là số tiền quyên góp được sau 1 (giờ) quyên góp. Ta có: #’(1 = 30013 ./, 4 , 156'7 đó: #(0 = 0 ⇒ #(1 = " # (1 $1 = " 30013 ./, 4 $1 Đặt: = = 3001 ⇒ $= = 300 $1 < $> = 3 ./, 4 $1 ⇒ > = −103 ./, 4 Do đó, #1 = −300013 ./, 4 − ? −300013 ./, 4 $1 = −300013 ./, 4 − 300003 ./, 4 + % Mà #0 = 0 ⇒ % = 30000 ⇒ #1 = −300013 ./, 4 − 300003 ./, 4 + 30000 Sau 5 giờ (t = 5), số tiền quyên góp được là: #5 = = −3000.5. 3 ./, .B − 300003 ./, .B + 30000 = 2706,12 Vậy số tiền quyên góp được sau 5 giờ quyên góp là 2706,12 triệu đồng. Bài tập 5: Cho hàm lợi nhuận cận biên theo sản lượng: MP (Q ) = − 5Q + 500 Trang 11 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Biết rằng nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì sẽ bị lỗ 13.500 đơn vị tiền. Tìm hàm lợi nhuận P (Q ) ? Giải Ta có: −5F E(F = ? GE(F $F = 500F % 2 Mà, E(50 = −13.50 ⇒ % = −32.250 Vậy, −5F E(F = 500F − 32.250 2 3. Bài tập Dạng 3 Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Chi phí tăng thêm khi số sản phẩm SX tăng từ a tới b : I I C(b) –C(a) = "J G%(H $H = "J %′(H $H Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q) Bài tập 6: Giả sử một máy công nghiệp hoạt động sau t giờ tính từ bây giờ thì tốc độ sinh doanh thu của máy là R’(t = 24000 – 40t triệu đồng/năm và chi phí hoạt động và chi phí bảo dưỡng của máy tăng với tốc độ là C’(t = 10500 + 20t triệu đồng/năm. Trang 12 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy a. Hỏi bao nhiêu lâu thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm. b. Tính tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian đã được xác định trong câu (a). Giải a. Ta có: E(1 = M(1– %(1 ⇒ E’(1 = M’(1 – %’(1 E’(1 = 24000 – 401 − 10500 − 201 = 13500 − 601 Cho E’1 = 0 ⇔ 13500 − 601 = 0 ⇔ 1 = 225 1 = 25 ⇔ O 1 = −25(&6ạQ 1 E’ -∞ -25 0 25 + +∞ - E Vậy sau 25 năm thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm. b) Tiền lãi thực sinh trong khoảng thời gian trên là: Trang 13 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy B E(25– E(0 = ? E / (1$1 B = ? (13500 − 601 $1 = 13500 1 – 201 R / = 135000 (triệu đồng) Vậy tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian trên là 135000 (triệu đồng) Bài tập 7: Tại một cửa hàng kinh doanh quần áo X sinh ra doanh thu với tốc độ M′(1 = 7250 − 181 (triệu/năm) sau 1 năm. Chi phí kinh doanh của cửa hàng tăng với tốc độ % 4 = 3620 121 (triệu /năm). Sau bao nhiêu năm lợi nhuận của cửa hàng bắt đầu giảm và lợi nhuận sinh ra trong khoảng thời gian đã được xác định là bao nhiêu? Giải Ta có: E(1 = M(1– %(1 ⇒ E’(1 = M’(1 – %’(1 E’(1 = 7250 − 181 − 3620 − 121 = 3630 − 301 E’(1) = 0 ⇔ 3630 − 301 = 0 ⇔ 1 = 121 1 = 11 ⇔ O 1 = −11(&6ạQ) Trang 14 Tích phân và ứng dụng t -∞ GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy -11 0 11 + E’ +∞ - E Vậy sau 11 năm thì sự sinh lãi của cửa hàng bắt đầu giảm. E(11– E0 = ? E / 1$1 −301 R = ? T + 36201U $1 3 / 4X = V3620 1 – 101 R W4X/ = 26510 (triệu đồng) Vậy tiền lãi thực sinh của cửa hàng trong khoảng thời gian trên là 26510 (triệu đồng) 4. Bài tập Dạng 4 Hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Giá trị trung bình của f(x) trên [a,b] là I 1 ? # $ Y − Z J Bài tập 8: Sau t tháng làm việc tại xưởng may, một nhân viên cắt may có thể cắt F(1 = 700 − 3 ./.B4 chiếc quần dài trên một giờ. Tính tốc độ sắp xếp trung bình của nhân viên cắt may trên trong 3 tháng đầu tiên làm việc. Giải Tốc độ sắp xếp trung bình của nhân viên cắt may trong 3 tháng đầu tiên làm việc là: Trang 15 Tích phân và ứng dụng R GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy R " F(1$1 = R "/ (700 − 3 ./.B4 $1 = R (700 × (3 23 ./.B×R − R./ / R (700 × (0 23 ./.B×/ = 699,41 ( chiếc/tháng) Vậy trong 3 tháng đầu tiên nhân viên cắt được 699,41 chiếc/tháng. 5. Bài tập Dạng 5 Bài tập 9: Bài toán tìm hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm biên. Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP (marginal propensity to save) phụ thuộc vào mức thu nhập: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y −0 , 5 , với Y là thu nhập và S = S(Y) là hàm tiết kiệm. Cho điều kiện ban đầu S = 0 khi Y = 81. Tìm hàm tiết kiệm. Giải : Ta có: dS = 0,3 − 0,1Y −0,5 ⇒ dS = (0,3 – 0,1Y −0,5 )dY dY ⇔ S (Y ) = ∫ (0, 3 − 0,1Y −0,5 )dY = 0, 3Y – 0, 2Y +C Sử dụng đkbđ : S ( 81) = 0 0, 3.81 − 0, 2.81 + C = 0 ⇒ C = − 22,5 Vậy, S (Y ) = 0,3Y – 0, 2Y –22,5 Trang 16 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Bài tập 10 : Bài toán đầu tư và hình thành vốn. Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (đây là khái niệm tích trữ – stock concept) và hàm I = I(t), cường độ đầu tư thuần (đây là khái niệm dòng –flow concept). Vốn tích trữ K và cường độ đầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương trình vi phân dK = I (t ) . Vế dt trái là tốc độ biến thiên của vốn tích trữ, còn vế phải là cường độ đầu tư. Biết hàm I ( t ) = 3 t . Xác định vốn tích trữ sau 3 tháng ? Giải : Gọi K ( 0) là vốn tích trữ được tại t = 0 thì : K ( t ) = ∫ 3 t dt = 2t 3/2 +C , trong đó C = K(0). Do đó, K ( t ) = 2t 3/2 + K (0) Vốn tích trữ sau 3 tháng 3 K (t ) = ∫3 tdt =2(3)3/2 − 2(0)3/2 = 10,39 ( tỷ USD ) 0 Chú ý : Nếu cho I ( t ) = 100000 USD / tháng = const thì vốn tích trữ sau 3 tháng là: 3 3 0 0 K = ∫ I (t )dt = ∫ 100000dt = 300000 Trang 17 Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy Bài tập 11: Cho tốc độ thay đổi đầu tư là ](1 = 601 /R và tại thời điểm (1 = 85. Hãy tìm nguồn vốn 1? Giải: Ta có: (1 = " ](1 $1 = " 601 /R $ = 451 )/R % Mà, (1 = 85 ⇒ 85 = 45. 1)/R + % ⇒ % = 40 Vậy nguồn vốn (1 được tính toán bởi hàm: (1 = 451 )/R 40 Trang 18 Tải về bản full