Tìm ảnh Của Một đường Thẳng Qua Phép đối Xứng Tâm Cực Hay

Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm.

• Cách giải bài tập Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm
• Ví dụ minh họa bài tập Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm
• Bài tập trắc nghiệm Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm
• Bài tập tự luyện Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm

Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay

A. Phương pháp giải

[Cách 1]. Sử dụng tính chất:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

[Cách 2]. Sử dụng biểu thức tọa độ (phương pháp quỹ tích)

Trong hệ tọa độ Oxy

● Nếu tâm đối xứng là O(0;0), với mỗi M(x;y) gọi M' = DO(M) = (x';y') thì

● Nếu tâm đối xứng I(a;b) bất kì, với mỗi M(x;y) gọi M' = DI(M) = (x';y') thì

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y + 2 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)

Hướng dẫn giải:

d:x + y + 2 = 0 lấy 2 điểm A(0,-2), B(-2,0) thuộc d.

Gọi A’, B’ là ảnh của A,B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I. Khi đó d’ đi qua 2 điểm A’B’ nên có phương trình d': x⁡ + y⁡- 4 = 0

Vậy ảnh của d là d': x⁡ + y⁡- 4 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)

Hướng dẫn giải:

• d: 2x + y + 1 = 0 lấy 2 điểm A(0,-1), B (-1,1) thuộc d. Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

• Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối đối xứng tâm I. Khi đó, d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên có phương trình d’: đi qua A’( 2;1),

Phương trình d’: 2(x - 2) + 1(y - 1) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

Vậy ảnh của d là d': 2x ⁡ + y - 5 = 0

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - 6y + 5 = 0, điểm I(2;-4). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Hướng dẫn giải:

Lấy M(x;y) thuộc d, phép đối xứng tâm I(x0,y0) biến M(x;y) thành M'(x',y') thì . Thay vào phương trình d ta được

2(4 - x') - 6(-8 - y') + 5 = 0 ⇔ 2x' - 6y' - 61 = 0 hay 2x - 6y - 61 = 0.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2. Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?

A. x = -2.

B. y = 2.

C. x = 2.

D. y = -2.

Lời giải:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là . Thay vào phương trình đường thẳng d, ta được -x' = 2 ⇔ x' = -2.

Chọn A.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x - 2y - 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0.

B. -3x + 2y - 1 = 0.

C. 3x + 2y - 1 = 0.

D. 3x - 2y - 1 = 0.

Lời giải:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là . Thay vào phương trình đường thẳng d, ta được 3(-x') - 2(-y') - 1 = 0 ⇔ -3x' + 2y' - 1 = 0.

Chọn B.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1;2).

A. x + y + 4 = 0.

B. x + y - 4 = 0.

C. x - y + 4 = 0.

D. x - y - 4 = 0.

Lời giải:

Qua phép đối xứng tâm đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên suy ra d': x + y + c = 0.

Chọn A(1;1) thuộc d. Ta có

Từ thay vào d' ta được 1 + 3 + c = 0 ⇔ c = -4

→ d': x + y - 4 = 0.

Chọn B.

Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(a;b) là

Thay vào phương trình đường thẳng d ta được (2 - x') + (4 - y')-2 = 0

⇔ x' + y' - 4 = 0.

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I(1;1) biến đường thẳng d: x + y + 2 = 0 thành đường thẳng nào sau đây:

A. d': x + y + 4 = 0.

B. d': x + y + 6 = 0.

C. d': x + y - 6 = 0.

D. d': x + y = 0.

Lời giải:

Chọn C

+ Giả sử phép đối xứng tâm I(1;1) biến điểm M(x;y) ∈ d thành điểm M'(x';y') ta có:

+ M ∈ d nên ta có: (2 - x') + (2 - y') + 2 = 0 ⇔ x' + y' - 6 = 0.

Vậy d': x + y - 6 = 0.

Câu 5. Cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

A. d': x + y - 3 = 0.

B. d': x + 2y - 7 = 0.

C. d': 2x + 2y - 3 = 0.

D. d': x + 2y - 9 = 0.

Lời giải:

Chọn D

Cách 1. Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Với mỗi điểm M(x;y) ∈ d qua phép đỗi xứng tâm ta có M'(x';y') ∈ d'

Gọi M' = ĐI(M) thì

Thay (*) vào phương trình của đường thẳng d ta được (2 - x') + 2(2 - y') + 3 = 0 ⇔ x' + 2y' - 9 = 0

Vậy ảnh của d là đường thẳng d': x + 2y - 9 = 0.

Cách 2. Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I, thì d' song song hoặc trùng với d nên phương trình d' có dạng x + 2y + c = 0.

Lấy N(-3;0) ∈ d, gọi N' = ĐI(N) thì N'(5;2).

Lại có N' ∈ d' ⇒ 5 + 2.2 + c = 0 ⇔ c = -9.

Vậy d': x + 2y - 9 = 0.

Câu 6. Cho đường thẳng d: x - 2y + 6 = 0 và d': x - 2y - 10 = 0. Tìm phép đối xứng tâm I biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó.

A. I(3;0).

B. I(2;1).

C. I(1;0).

D. I(2;0).

Lời giải:

Chọn D

• Gọi

• Do phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên biến A thành A’. Suy ra, tâm đối xứng I (xI;yI) là trung điểm của AA' ⇒

Vậy tâm đối xứng là I(2;0).

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng . Ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng tâm I(-2;2) có phương trình là:

A. x + 4y - 5 = 0.

B. x + 4y - 6 = 0.

C. 4x - y + 1 = 0.

D. 4x - y - 1 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là x + 4y - 6 = 0.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(a;b) là

Thay vào phương trình đường thẳng d ta được (-4 - x') + 4(4 - y') - 6 = 0

⇔ x' + 4y' - 6 = 0.

Chọn B.

Cách 2. Nhận thấy I(-2;2) ∈ Δ nên ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng tâm Itrùng với chính nó. Vậy ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng tâm I(-2;2) có phương trình là: x + 4y - 6 = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm I(a;b). Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d' có phương trình:

A. Ax + By + C – 2(Aa + Bb + C) = 0.

B. 2Ax + 2By + 2C – 3(Aa + Bb + C) = 0.

C. Ax + 3By + 2C – 27 = 0.

D. Ax + By + C – Aa – Bb – C = 0.

Lời giải:

Chọn A

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm là

Ta có d: Ax + By + C = 0 nên A(2a - x') + B(2b - y') + C = 0

Do đó Ax' + By' - (2Aa + 2Bb + C) = 0 hay Ax' + By' + C – 2(Aa + Bb + C) = 0

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - y + 4 = 0. Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?

A. 2x + y - 4 = 0.

B. x + y - 1 = 0.

C. 2x - 2y + 1 = 0.

D. 2x + 2y - 3 = 0.

Lời giải:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nó. Do đó chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 10. Ảnh của đường thẳng Δ: x - y - 4 = 0 qua phép đối xứng tâm I(a;b) là đường thẳng Δ':x - y + 2 = 0. Tính giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = a2 + b2 .

Lời giải:

Chọn M(4;0) ∈ Δ.

Chọn C.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 6y – 5 = 0.

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).

Bài 2. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a // a’, b // b' và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a' và b'?

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d1:x + 2y – 3 = 0 và d’: x - 2y – 7 = 0. Qua phép đối xứng tâm I(1; 3), điểm M trên đường thẳng d biến thành điểm N thuộc đường thẳng d'. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 1 = 0. Viết phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x=2−4ty=1+t. Viết phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(-2; 2).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục cực hay
• Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng trục cực hay
• Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng trục cực hay
• Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm cực hay
• Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay
• Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm cực hay

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều