Tìm Cực Trị Của Hàm Số Không Có Tham Số - Cách Giải {} Bài Tập Có đáp ...

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ - CÁCH GIẢI {} BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN

Phương pháp giải bài toán tìm cực trị hàm số không có tham số

 Quy tắc 1: Áp dụng định lý 1.

- Bước 1: Tìm miền xác định $D$ của hàm số đã cho.

- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$. Tìm các điểm mà tại đó $f'\left( x \right)=0$ hoặc $f'\left( x \right)$ không xác định.

- Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu $f'\left( x \right)$ hoặc bảng biến thiên đê kết luận.

 Quy tắc 2: Áp dụng định lý 2.

- Bước 1: Tìm miền xác định $D$ của hàm số đã cho.

- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$. Giải phương trình $f'\left( x \right)=0$ và ký hiệu ${{x}_{i}}\left( i=1,2,...n \right)$ là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính $f''\left( x \right)$ từ đó tính được $f''\left( {{x}_{i}} \right)$.

- Bước 4: Dựa vào dấu của $f''\left( {{x}_{i}} \right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm ${{x}_{i}}$.

Bài tập tìm cực trị của hàm số không chứa tham số đáp án chi tiết

Bài tập 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: $y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+2$ .

Lời giải chi tiết

TXĐ:  . Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=\pm 2  \\\end{matrix} \right.$

Bảng xét dấu của 

Ta thấy $y'$ đổi dấu khi qua các điểm $x=0,x=\pm 2\Rightarrow x=0,x=\pm 2$ là các điểm cực trị của hàm số. $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua các điểm $x=\pm 2\Rightarrow x=\pm 2$ là điểm cực tiểu, $y'$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua các điểm $x=0\Rightarrow x=0$ là điểm cực đại của hàm số.

Bài tập 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số: a) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-2{{x}^{2}}+6.$ b) $g\left( x \right)=\sin 2x$..

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=\pm 2  \\\end{matrix} \right.,f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4.$

Khi đó $f''\left( \pm 2 \right)=8>0\Rightarrow x=\pm 2$ là các điểm cực tiểu, $f''\left( 0 \right)=-4<0\Rightarrow x=0$ là điểm cực đại của hàm số.

b) TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có: $g'\left( x \right)=2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.

$f''\left( x \right)=-4\sin 2x\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   f''\left( \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} \right)=-4khi\text{ }k=2\ell \text{  }  \\   f''\left( \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} \right)\text{=4 }khi\text{ }k=2\ell +1  \\\end{matrix} \right..$

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right).$

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì hàm số đó đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$ B. Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$  và $f''\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$ C. Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$  và $f''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x={{x}_{0}}.$ D. Nếu $f'\left( x \right)$  không xác định tại điểm ${{x}_{0}}$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Lời giải chi tiết

Nếu $f\left( x \right)={{x}^{3}}$ thì $f'\left( 0 \right)=0$ nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm $x=0$ nên A sai.

Nếu $f\left( x \right)={{x}^{4}}$ thì $f'\left( 0 \right)=0$ và $f''\left( 0 \right)=0$nhưng hàm số vẫn đạt cực trị tại điểm $x=0$. B sai.

Nếu $y=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|,$ hàm số này không có đạo hàm tại điểm $x=0$ nhưng vẫn có cực trị tại điểm $x=0$. D sai. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left[ -2;3 \right]$ và có bảng xét dấu như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đã cho? A. Đạt cực tiểu tại $x=-2.$  B. Đạt cực đại tại $x=1.$ C. Đạt cực tiểu tại $x=3.$                                                 D. Đạt cực đại tại $x=0.$

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=0$nên hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=0.$ Chọn D.

Bài tập 5: Cho hàm số $y=x-2\sqrt{{{x}^{2}}+4}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng $-2\sqrt{3}.$  B. Hàm số đạt cực đại tại $x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $-\frac{10\sqrt{3}}{3}.$

Lời giải chi tiết

TXĐ: \[D=\mathbb{R}.\]

Ta có: $y'=1-\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+4}=2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   x>0\text{           }  \\   {{x}^{2}}+4=4{{x}^{2}}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Bảng xét dấu cho 

Suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ và có giá trị cực đại bằng $y\left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)=-2\sqrt{3}.$ Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2x+1.$ Giả sử hàm số đạt cực đại tại điểm $x=a$ và đạt cực tiểu tại điểm $x=b$ thì giá trị của biểu thức $2a-5b$ là: A. 1. B. 12. C. $-1.$  D. $-8.$

Lời giải chi tiết

TXĐ: \[D=\mathbb{R}.\] Ta có: $y'={{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1  \\   x=2  \\\end{matrix} \right..$

Bảng xét dấu $y'.$

Do $y'$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=1\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại của hàm số.

$y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=2\Rightarrow x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Hoặc ta có: $y''=2x-3\Rightarrow y''\left( 1 \right)=-1<0,y''\left( 2 \right)=1>0\Rightarrow {{x}_{CD}}=1,{{x}_{CT}}=1.$

Vậy $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{CD}}=1=a  \\   {{x}_{CT}}=2=b  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow 2a-5b=-8.$ Chọn D.

Bài tập 7: [Đề thi minh họa Bộ GD{}ĐT 2017] Tìm giá trị cực đại ${{y}_{CD}}$ của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2.$ A. ${{y}_{CD}}=4.$  B. ${{y}_{CD}}=1.$ C. ${{y}_{CD}}=0.$ D. ${{y}_{CD}}=-1.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=1\text{   }  \\\end{matrix} \right..$

Mặt khác $y''=6x\Rightarrow y''\left( -1 \right)<0\Rightarrow {{x}_{CD}}=-1\Rightarrow {{y}_{CD}}=y\left( -1 \right)=4.$

Vậy giá trị cực đại của hàm số là   Chọn A.

Chú ý: Hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)$ có hai điểm cực trị khi $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ${{y}_{CD}}>{{y}_{CT}}$ và:

– Nếu $a>0$ thì ${{x}_{CD}}<{{x}_{CT}}$.

– Nếu $a<0$ thì ${{x}_{CD}}>{{x}_{CT}}$.

Bài tập 8: Giá trị cực đại của hàm số $y=x+\sin 2x$ trên $\left( 0;\pi  \right)$là A. $\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$  B. $\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}.$              D. $\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=\left( x+\sin 2x \right)'=1+\cos 2x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1+2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x=-\frac{1}{2}$

$x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right),$ với $x\in \left( 0;\pi  \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   x=\frac{\pi }{3}\text{ }  \\   x=\frac{2\pi }{3}  \\\end{matrix} \right..$

Mặt khác $y''=-4\sin 2x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'{{'}_{\left( \frac{\pi }{3} \right)}}=-2\sqrt{3}<0\text{ }(CD)  \\   y'{{'}_{\left( \frac{2\pi }{3} \right)}}=2\sqrt{3}>0\text{ }(CT)  \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow $Giá trị cực đại của hàm số bằng $y'{{'}_{\left( \frac{\pi }{3} \right)}}=\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Chọn D.

Bài tập 9: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1.$ Giả sử hàm số đạt cực đại tại $x=a$ và cực tiểu tại $x=b$thì giá trị của biểu thức $2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ là A. $\frac{11}{9}.$  B. $\frac{19}{9}.$ C. $\frac{10}{9}.$ D. $\frac{-8}{9}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2x-1=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1\text{  }  \\   x=\frac{-1}{3}  \\\end{matrix} \right.;y''=6x-2\Rightarrow y''\left( 1 \right)=4>0,y''\left( \frac{-1}{3} \right)=-4<0.$

Từ đó suy ra: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{CD}}=-\frac{1}{3}=a  \\   {{x}_{CT}}=1=b\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow 2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{11}{9}.$ Chọn A.

Bài tập 10: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số   là: A. $\left( \frac{1}{3};\frac{58}{27} \right).$  B. $\left( \frac{1}{3};1 \right).$ C. $\left( 2;1 \right).$              D. $\left( 1;2 \right).$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-4x+1=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1\text{  }  \\   x=\frac{1}{3}  \\\end{matrix} \right.;y''=6x-4\Rightarrow y''\left( 1 \right)=2>0,y''\left( \frac{1}{3} \right)=-2<0.$

Từ đó suy ra ${{x}_{CT}}=1\Rightarrow {{y}_{CT}}=2.$ Chọn D.

.Bài tập 11: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x-2.$ Hàm số: A. Đạt cực tiểu tại điểm $x=3.$  B. Đạt cực tiểu tại điểm $x=1.$ C. Đạt cực đại tại điểm $x=-1.$ D. Đạt cực đại tại điểm $x=3.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+6x+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=3  \\\end{matrix} \right..$ Dễ dàng $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{CT}}=-1  \\   {{x}_{CD}}=3  \\\end{matrix} \right..\begin{matrix}   {}  \\   {}  \\\end{matrix}$Chọn D.

Bài tập 12: Giả sử hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$ đạt cực đại, cực tiểu lần lượt tại các điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ và $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$thì giá trị của biểu thức $T=\frac{{{x}_{1}}+{{y}_{2}}}{{{x}_{2}}+{{y}_{1}}}$ là: A. $\frac{-1}{3}.$  B. $\frac{1}{3}.$ C. $3.$  D. $-3.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=3\Rightarrow y=-26  \\   x=-1\Rightarrow y=6\text{  }  \\\end{matrix} \right..$ Do hàm số bậc ba có ${{y}_{CD}}>{{y}_{CT}}$ nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A\left( -1;6 \right)$, điểm cực tiểu $B\left( 3;-26 \right)\Rightarrow T=\frac{-1-26}{3+6}=-3.$ Chọn D.

Chú ý: Với hàm số bậc 3 thì giá trị của cực đại luôn lớn hơn giá trị cực tiểu.

Bài tập 13: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R},$ biết rằng $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}.{{\left( x-2 \right)}^{3}}{{\left( x-3 \right)}^{4}}\left( 2x-1 \right).$ Fàm số $y=f\left( x \right)$có bao nhiêu điểm cực trị. A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Lời giải chi tiết

Do hàm số có $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}.{{\left( x-2 \right)}^{3}}{{\left( x-3 \right)}^{4}}$đổi dấu qua các điểm $x=2,x=\frac{1}{2}$ nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 14: [Đề thi minh họa THPTQG năm 2019] Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)=x\left( x-1 \right){{\left( x+2 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}.$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 3. B. 2. C. 5. D. 1.

Lời giải chi tiết

Do $f'\left( x \right)$đổi dấu qua cả 3 điểm $x=0,x=1,x=-2$ nên hàm số đạt cực trị tại $x=0,x=1,x=-2$. Chọn A.

Bài tập 15: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$và có đạo hàm là $f'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x \right),$số điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)$là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.

Lời giải chi tiết

Ta có $f'\left( x \right)=\left( x+1 \right)x\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\Rightarrow $bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$:

Do $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua các điểm $x=0,x=3$ nên hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. Chọn B.

Bài tập 16: [Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017]: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x+1}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Cực tiểu của hàm số bằng $-3.$  B. Cực tiểu của hàm số bằng $1.$ C. Cực tiểu của hàm số bằng $-6.$ D. Cực tiểu của hàm số bằng $2.$

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x+1}$ với $x\ne -1$, ta có $f'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

Bảng xét dấu $f'\left( x \right)$

Suy ra $x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy cực tiểu của hàm số bằng ${{y}_{CT}}=f\left( 1 \right)=2.$ Chọn D.

Bài tập 17: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$  B. Hàm số đạt cực đại tại $x=3.$ C. Giá trị cực tiểu bằng $-2.$  D. Hàm số có hai cực trị và ${{y}_{CD}}<{{y}_{CT}}.$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ và $y'=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=3\text{  }  \\\end{matrix} \right..$

Mặt khác $y''=\frac{8}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y''\left( -1 \right)=-1<0  \\   y''\left( 3 \right)=1>0\text{     }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{y}_{CD}}=y\left( -1 \right)=-2  \\   {{y}_{CT}}=y\left( 3 \right)=3\text{     }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{y}_{CD}}<{{y}_{CT}}.$ Chọn D.

Bài tập 18: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1.$ Gọi $A$ và $B$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Độ dài $AB$ bằng. A. $AB=5\sqrt{2}.$ B. $AB=2\sqrt{2}.$ C. $AB=20.$ D. $AB=2\sqrt{5}.$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=1\text{  }  \\   x=2\Rightarrow y=-3  \\\end{matrix} \right..$

Do vậy $A\left( 0;1 \right);B\left( 2;-3 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$ Chọn D.

Bài tập 19: Cho hàm số   có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã

Lời giải

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là 5. Chọn D.

Ví dụ 20: [Đề thi THPTQG 2017]: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số có ba điểm cực trị.                                          B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.                                D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy rằng:

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị và $x=-1,x=1$ là hai điểm cực tiểu.

Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng 0, có giá trị cực đại bằng 3. Chọn C.