Tìm điều Kiện để Hàm Số Bậc Ba Có Cực Trị Hoặc Không Có Cực Trị

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị hoặc không có cực trị

Phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị (bậc 3)

Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}>0.$

Hàm số không có cực trị khi $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}\le 0.$.

Bài tập tìm điều kiện để hàm số có/không có cực trị có đáp án

Bài tập 1: Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+12x+1$ không có cực trị là A. 3. B. 5. C. 4. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+12=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4=0\text{ }\left( * \right).$

Để hàm số không có cực trị thì $\Delta {{'}_{\left( * \right)}}={{m}^{2}}-2\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 2.$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 5 giá trị của $m$. Chọn B.

Bài tập 2: Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-\left( 1-2m \right)x+m+2$ có cực đại và cực tiểu là A. 20. B. 21. C. 10. D. 9.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}+2mx-\left( 1-2m \right).$

Để hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}={{m}^{2}}+\left( 1-2m \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \left[ -10;10 \right]  \\   m\in \mathbb{Z}\text{           }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 20 giá trị của $m.$ Chọn A.

Bài tập 3: Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+1$có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi. A. $m\ne 1.$  B. $m\in \mathbb{R}.$  C. $m\ne 0.$ D. Không tồn tại $m.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}=0\text{ (1)}\text{.}$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}=1-\left( 1-{{m}^{2}} \right)={{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0.$ Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( 2-m \right)x-2.$ Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số có cực trị là A. 39. B. 3. C. 38. D. 2.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=-3{{x}^{2}}+2\left( 2m-1 \right)x+m-2.$ Để hàm số có cực trị thì $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+3\left( m-2 \right)>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-m-5>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>\frac{5}{4}\text{ }  \\   m<-1  \\\end{matrix}. \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \left[ -20;20 \right]  \\   m\in \mathbb{Z}\text{           }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 38 giá trị của tham số $m.$ Chọn C.

Bài tập 5: Số giá trị nguyên dương của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-5$có cực trị là: A. 3. B. 4. C. 2. D. Vô số.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}=9-3m>0\Leftrightarrow m<3$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}*\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}.$ Chọn C.

Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+mx-1$ có cực trị. A. $\left[ \begin{matrix}   m>\frac{3}{4}  \\   m<0  \\\end{matrix} \right..$  B. $\left[ \begin{matrix}   m\ge \frac{3}{4}  \\   m\le 0  \\\end{matrix} \right..$              C. $m<0.$              D. $0<m<\frac{3}{4}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+4mx+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=3{{x}^{2}}+4mx+m$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '=4{{m}^{2}}-3m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>\frac{3}{4}  \\   m<0  \\\end{matrix} \right.$. Chọn A.

Bài tập 7: Cho hàm số $y=-2{{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+2.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị. A. 4. B. 5. C. 3. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=-6{{x}^{2}}+2\left( 2m-1 \right)x-\left( {{m}^{2}}-1 \right).$

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi $\Delta '={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-6\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}-4m+7>0$ (xét $m\in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow \frac{-2-3\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{-2+3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow -3,1<m<1,12\Rightarrow m=-3;-2;-1;0;1.$ Chọn B.

Bài tập 8: Cho hàm số $y=\frac{\left( m-1 \right){{x}^{3}}}{3}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+4x-1.$ Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại ${{x}_{1}}$, đạt cực đại tại ${{x}_{2}}$đồng thời ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi: A. $m<1.$  B. $\left[ \begin{matrix}   m<1  \\   m>5  \\\end{matrix} \right..$  C. $m>5.$               D. \[\left[ \begin{matrix}   m=1  \\   m=5  \\\end{matrix} \right..\]

Lời giải chi tiết

Với $m=1$ ta có $y=4x-1$ hàm số đã cho không có cực trị.

Với $m\ne 1$ ta có: $y'=\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+4$

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại ${{x}_{1}}$, đạt cực đại tại ${{x}_{2}}$đồng thời

${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=m-1<0\text{                                }  \\   \Delta {{'}_{y'}}=y'={{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( m-1 \right)>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m<1\text{                   }  \\   \left( m-1 \right)\left( m-5 \right)>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<1.$ Chọn A.

Bài tập 9: Cho hàm số $y=\frac{m{{x}^{3}}}{3}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3\left( m+1 \right)x+1.$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{1}}$ và cực tiểu tại ${{x}_{2}}$sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}.$ A. $-1<m<0.$  B. $-1<m<\frac{1}{2}.$ C. $-1\le m<0.$ D. $-1\le m\le \frac{1}{2}.$

Lời giải chi tiết

Với $m=0\Rightarrow y=-{{x}^{2}}+3x+1$ không thỏa mãn có 2 điểm cực trị.

Với $m\ne 0$. Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+3\left( m+1 \right).$ Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{1}}$ và cực tiểu tại ${{x}_{2}}$sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=\frac{m}{3}<0\text{                                                           }  \\   \Delta {{'}_{y'}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-3m\left( m+1 \right)=\left( m+1 \right)\left( 1-2m \right)>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -1<m<0.$ Chọn A.