Tìm Giá Trị Lớn Nhất Hoặc Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Nghiệm

Trang chủ » Tìm M để đạt Giá Trị Nhỏ Nhất Lớp 9 » Tìm Giá Trị Lớn Nhất Hoặc Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Nghiệm

Có thể bạn quan tâm

      • Mầm non

      • Lớp 1

      • Lớp 2

      • Lớp 3

      • Lớp 4

      • Lớp 5

      • Lớp 6

      • Lớp 7

      • Lớp 8

      • Lớp 9

      • Lớp 10

      • Lớp 11

      • Lớp 12

      • Thi vào lớp 6

      • Thi vào lớp 10

      • Thi Tốt Nghiệp THPT

      • Đánh Giá Năng Lực

      • Khóa Học Trực Tuyến

      • Hỏi bài

      • Trắc nghiệm Online

      • Tiếng Anh

      • Thư viện Học liệu

      • Bài tập Cuối tuần

      • Bài tập Hàng ngày

      • Thư viện Đề thi

      • Giáo án - Bài giảng

      • Tất cả danh mục

    • Mầm non
    • Lớp 1
    • Lớp 2
    • Lớp 3
    • Lớp 4
    • Lớp 5
    • Lớp 6
    • Lớp 7
    • Lớp 8
    • Lớp 9
    • Lớp 10
    • Lớp 11
    • Lớp 12
    • Thi Chuyển Cấp
Gói Thành viên của bạn sắp hết hạn. Vui lòng gia hạn ngay để việc sử dụng không bị gián đoạn Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Chọn lớp Lớp 1 Lớp 2 Lớp 3 Lớp 4 Lớp 5 Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Lưu và trải nghiệm Đóng Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169 VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 9 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm min, max của biểu thức nghiệm

  • I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
  • II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
  • III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Tài liệu cung cấp lý thuyết kèm bài tập liên quan. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m 

Hệ thức Viète

Phương trình bậc hai tổng quát ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)\(ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)\).

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) thì

\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\)

Đảo lại

Nếu hai số x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.\) thì x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) là nghiệm của phương trình x^{2} - S.x + P = 0\(x^{2} - S.x + P = 0\) (điều kiện S^{2} - 4P \geq 0\(S^{2} - 4P \geq 0\))

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

  • {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}\({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}\)
  • {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)\({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)\)
  • {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\({x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\)=\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}\right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\(=\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}\right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\)
  • \left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}\(\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}\)
  • \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}\(\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}\) với x_{1};x_{2} \neq 0\(x_{1};x_{2} \neq 0\)
  • \frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}\(\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}\) với x_{1};x_{2} \neq 0\(x_{1};x_{2} \neq 0\)
  • \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}\(\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}\)

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0\(A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0\)

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}\(a + b \ge 2\sqrt {ab}\)

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 + 2 (m+1) x + m2 - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

∆' = b'2 - ac = (m + 1)2 - (m2 - m + 1) = m2 - 2m + 1 - m2 + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.\)

Có A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\)= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2}\(= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2}\)= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}\(= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}\)

Thay các giá trị của hệ thức Viète vào biểu thức A đã biến đổi ta được:

A = [-2 (m + 1)]2 - (m2 - m + 1)

A = 4 (m + 1)2 - m2 + m - 1

A = 4m2 + 8m + 4 - m2 + m - 1

A = 3m2 + 9m + 3

A = (m2 + 3m + 1)

Có {m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1\({m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1\)

= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}\(= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}\)

Vì {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0\({\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0\)\Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0\(\Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0\)

\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0\(\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0\)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)\(\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)\)

Vậy min A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\(A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\)

Bài 2. Gọi x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình 2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0\(2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0\) với m\(m\) là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|\(P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \Delta\(\Delta' = m^{2} - 2\left( m^{2} - 2 \right) = - m^{2} + 4\)

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi

Từ khóa » Tìm M để đạt Giá Trị Nhỏ Nhất Lớp 9