Tìm Giá Trị Tham Số $m$ để Hàm Số đồng Biến / Nghịch Biến Trên Một ...

Chúng tôi trên mạng xã hội

Chúng tôi trên mạng xã hội

Đăng nhập Đăng ký

• Trang nhất
• Chương trình
• Khảo sát hàm số

Tìm giá trị tham số $m$ để hàm số đồng biến / nghịch biến trên một khoảng cho trước

Chủ nhật - 19/06/2016 05:59 Tìm giá trị tham số $m$ để hàm số đồng biến / nghịch biến trên một khoảng cho trước Trong bài viết này, sẽ đề cập đến bài toán "Tìm giá trị của ham số $m$ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. Và chủ yếu ta thao tác trên hàm bậc ba và hàm nhất biến. Học sinh cần xem lại các bài dưới đây: 1. Dấu của tam thức bậc hai; 2. Hàm số đơn điệu; 3. Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$. Hàm bậc ba. Xét hàm bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d, a \ne 0$. Hàm số xác định trên $\mathbb {R}$. Ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c.$ Sự đơn điệu của hàm số phụ thuộc vào dấu của $y'$. Như vậy có $3$ trường hợp xảy ra TH1: $y'$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} < 0.$ Bảng xét dấu của $y'$ như sau

$x$	$- \infty$ $+ \infty$
$y' $	cùng dấu với $a$

Trong trường hợp này, tức là khi $ {\Delta '}_{y'} < 0$, ta có: $\bullet$ Nếu $a<0$ thì $y'<0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số nghich biến trên $\mathbb{R}$. $\bullet$ Nếu $a>0$ thì $y'>0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. TH2: $y'$ có nghiệm kép, giả sử là $x_0$, $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} = 0.$ Bảng xét dấu của $y'$ như sau

$x$	$- \infty$ $x_0$ $+ \infty$
$y' $	cùng dấu với $a$ $0$ cùng dấu với $a$

Trong trường hợp này, tức là khi $ {\Delta '}_{y'} = 0$, ta có: $\bullet$ Nếu $a<0$ thì $y'\leqslant 0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số nghich biến trên $\mathbb{R}$. $\bullet$ Nếu $a>0$ thì $y'\geqslant 0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. TH3: $y'$ có hai nghiệm phân biệt, giả sử là $x_1, x_2$, $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} > 0.$ Bảng xét dấu của $y'$ như sau

$x$	$- \infty$ $x_1$ $x_2$ $+ \infty$
$y' $	cùng dấu với $a$ $0$ trái dấu với $a$ $0$ cùng dấu với $a$

Trong trường hợp này, tức là khi $ {\Delta '}_{y'} > 0$, ta có: $\bullet$ Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trong khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_1}; + \infty } \right)$. $\bullet$ Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến trong các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_1}; + \infty } \right)$; nghịch biến trong khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$. Từ TH1 và TH2 ta có

Mệnh đề 1. Hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ $\bullet$ đồng biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_{y'}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.;$ $\bullet$ nghịch biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ {{\Delta '}_{y'}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Ví dụ 1. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 9$ đồng biến trên $\mathbb{R} $. Giải. Ta có $y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1;{\text{ }}{\Delta '_{y'}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) = - 2{m^2} + 2m + 4.$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 > 0 \hfill \\ {{\Delta '}_{y'}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 > 0 \hfill \\ - 2{m^2} + 2m + 4 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \leqslant - 1 \hfill \\ m \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Ví dụ 2. Xác định $m$ để hàm số $y = \frac{{{m^2} - 1}}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} - x$ nghịch biến trên $\mathbb{R} $. Giải. Ta có $y' = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 1;{\text{ }}{\Delta '_{y'}} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {m^2} - 1 = 2{m^2} + 2m.$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $y' \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 1 < 0 \hfill \\ 2{m^2} + 2m \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < m < 1 \hfill \\ - 1 \leqslant m \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \leqslant 0.$ Ví dụ 3. Xác định $m$ để hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {3m + 1} \right){x^2} + 12m\left( {m + 1} \right)x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$ Giải. Ta có $y' = 6{x^2} - 6\left( {3m + 1} \right)x + 12m\left( {m + 1} \right);$ ${{\Delta '}_{y'}} = {\left[ { - 3\left( {3m + 1} \right)} \right]^2} - 6 \cdot 12m\left( {m + 1} \right) = 9{\left( {m - 1} \right)^2} \geqslant 0,\forall m \in \mathbb{R}.$ Phương trình có hai nghiệm $$\begin{array}{l} {x_1} = \frac{{3\left( {3m + 1} \right) + 3\left( {m - 1} \right)}}{6} = 2m;\\ {x_2} = \frac{{3\left( {3m + 1} \right) - 3\left( {m - 1} \right)}}{6} = m + 1. \end{array}$$ Trong hai nghiệm này ta chưa biết nghiệm nào nhỏ hơn. TH1: ${x_1} \le {x_2} \Leftrightarrow m \le 1{\rm{ }}\left( * \right).$. Lúc này bảng xét dấu của $y'$ như sau

$x$	$- \infty$ $2m$ $m+1$ $+ \infty$
$y' $	$+$ $0$ $-$ $0$ $+$

Từ bảng xét dấu của $y'$ ta suy ra hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;2m} \right)$ và $\left( {m + 1; + \infty } \right)$. Do đó để hàm số đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$ thì khoảng này phải là con của $\left( { - \infty ;2m} \right)$ hoặc $\left( {m + 1; + \infty } \right)$. Trường hợp đầu không thể xảy ra, do đó ta phải có $\left( {2; + \infty } \right) \subseteq \left( {m + 1; + \infty } \right).$ Điều này tương đương $m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.$ Giao lại với $\left( * \right)$ ta được $m \le 1.$ TH2: ${x_1} \ge {x_2} \Leftrightarrow m \ge 1{\rm{ }}\left( ** \right)$. Lập luận tương tự ta được $\left( {2; + \infty } \right) \subseteq \left( {2m; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2m \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.$ Giao lại với $\left( ** \right)$ ta được $m=1$. Cuối cùng, hợp cả hai trường hợp ta được $m \le 1.$ Bình luận. Ở Ví dụ 2 mọi chuyện trở nên thuận lợi khi ta có thể "khai căn" ${{\Delta '}_{y'}}$. Tuy nhiên, trong trường hợp không khai căn được biệt thức ${{\Delta '}_{y'}}$ ta vẫn có một công cụ khác: Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$. Ví dụ 4. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 9$ nghịch biến trên khoảng $\left( {-1;0} \right).$ Giải. Ta có Ta có $y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1$. Vì $y'$ là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất là 3 > 0 nên muốn tồn tại khoảng nghịch biến thì buộc $y'$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và khoảng nghịch biến lúc này là $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$. Như vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {-1;0} \right)$ thì khoảng này phải là con của $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$. Nghĩa là $y'$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả $${x_1} \le - 1 < 0 \le {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3y'\left( 0 \right) \le 0\\ 3y'\left( { - 1} \right) \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 1 \le 0\\ {m^2} - 2m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m \le 1\\ 0 \le m \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 1.$$ Ví dụ 5. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 9$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right).$ Giải. Ta có $y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1;{\rm{ }}{\Delta '_{y'}} = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) = - 2{m^2} + 2m + 4.$ TH1. $y'$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $ \Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1$ hoặc $m \ge 2.$ $\left( 1 \right)$ Trong trường hợp này $y' \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, và do đó cũng đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right).$ TH2. $y'$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 2.$ Theo định lý Vi-et ta có $S = {x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}.$ Lúc này bản xét dấu của $y'$ như sau

$x$	$- \infty$ $x_1$ $x_2$ $+ \infty$
$y' $	$+$ $0$ $-$ $0$ $+$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ khi khoảng này là con của $\left( {{x_2}; + \infty } \right).$ Nghĩa là $y'$ phải có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thoả ${x_1} < {x_2} \le 1.$ Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$, điều này tương đương $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ 3y'\left( 1 \right) \ge 0\\ \frac{S}{2} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 2\\ 3\left( {{m^2} - 2m} \right) \ge 0\\ \frac{{m + 1}}{3} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 2\\ m \le 0{\rm{ hoac }}m \ge 2\\ m < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le 0.{\rm{ }}\left( 2 \right)$$ Hợp $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right)$ ta được $m \le 0$ hoặc $m \ge 2.$ Ví dụ 6. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + m + 1$ nghịch biến trên một khoảng bằng $2$. Giải. Ta có $y' = 3{x^2} + 2mx + \left( {{m^2} - 6} \right)$. Vì $y'$ là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất là 3 > 0 nên muốn tồn tại khoảng nghịch biến thì buộc $y'$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} > 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} + 18 > 0 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3.$ Theo định lý Vi-et ta có $${x_1} + {x_2} = - \frac{{2m}}{3};{\rm{ }}{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2} - 6}}{3}.$$ Lúc này khoảng nghịch biến là $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$. Như vậy yêu cầu bài toán tương đương $$\begin{array}{l} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 4\\ {\rm{ }} \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{2m}}{3}} \right)^2} - 4\frac{{{m^2} - 6}}{3} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - \frac{3}{{\sqrt 2 }}\\ m = \frac{3}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right.. \end{array}$$ Cả hai giá trị này điều được nhận. Hàm nhất biến. Xét hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}, ad \ne bc.$ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{d}{c}} \right\}$. Ta có $$y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right|}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.$$ Với điều kiện $ad \ne bc$ thì $y' \ne 0$ với mọi $x \ne - \frac{d}{c}.$ Từ đây ta có

Mệnh đề 2. Hàm nhất biến $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}, ad \ne bc$ $\bullet$ đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi $y' > 0$ với mọi $x \ne - \frac{d}{c}$; $\bullet$ nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi $y' < 0$ với mọi $x \ne - \frac{d}{c}$.

Ví dụ 7. Xác định $m$ để hàm số $y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$ a. đồng trên các khoảng xác định. b. nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right).$ Giải. Tập xác định $D = \left( { - \infty ; - m} \right) \cup \left( { - m; + \infty } \right).$ Ta có $y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}.$ a. Hàm số đồng biến trên $D$ khi và chỉ khi $$y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 2 \hfill \\ m > 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$$ b. Đầu tiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó nếu $y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$ ${\text{ }}\left( 1 \right)$ Lúc này, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ nếu $$\left( { - 1;0} \right) \subseteq \left( { - \infty ;m} \right) \cup \left( {m; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( { - 1;0} \right) \subseteq \left( { - \infty ;m} \right) \hfill \\ \left( { - 1;0} \right) \subseteq \left( {m; + \infty } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \geqslant 0 \hfill \\ m \leqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 2 \right)$$ Giao các điều kiện $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ với nhau ta được $ - 2 < m \leqslant - 1$ hoặc $0 \leqslant m < 2.$ Bài tập (nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

Tác giả bài viết: TT. Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 41 trong 10 đánh giá

Xếp hạng: 4.1 - 10 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet

Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh

Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Ẩn/Hiện ý kiến

• 

  Tại sao lại có y' như v . E ko hiểu ạ!!!

  Huyền Oanh
  • Trả lời
  • Thích 1
  • Không thích 0
  07/10/2019 13:57

  • @Huyền Oanh Là Đạo hàm đó

    Hoàng
    • Trả lời
    • Thích 1
    • Không thích 0
    08/10/2019 05:15

Mã an toàn

Những tin mới hơn

• The equation of a tangent which is parallel to a given line (31/01/2020)
• Phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng (25/08/2016)
• Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng (25/08/2016)
• Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (21/06/2016)

Bài viết cùng chuyên mục

• Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm bậc ba (19/02/2016)
• Đồ thị hàm số: Hàm chứa trị tuyệt đối (19/02/2016)
• Đồ thị hàm số: Hàm nhất biến (19/02/2016)
• Đồ thị hàm số: Hàm trùng phương (18/02/2016)
• Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số (17/02/2016)
• Định $m$ để cực trị thoả điều kiện cho trước (16/02/2016)
• Đồ thị hàm số: Hàm bậc ba (16/02/2016)
• Tìm $m$ để hàm số có cực trị (16/02/2016)
• Cực trị (14/02/2016)
• Hàm số đơn điệu (13/02/2016)

Chương trình

• Đại số tổ hợp & Xác suất
• Hình học giải tích không gian
• Bất đẳng thức
• Lượng giác
• Tích phân
• Hàm mũ & logarit
• Khảo sát hàm số
• Hình học không gian
• Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
• Phép biến hình trong mặt phẳng
• Hình học giải tích phẳng
• Số phức
• Toán chuyên đề
• Đại số

Thư viện trực tuyến

• Đề thi - Đáp án đại học
• Sách giáo khoa toán
• Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
• Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016

Kiến thức mới

• 06 02.2016

  Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

  Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...

• 25 08.2016

  Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

  Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...

• 06 02.2016

  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

  Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....

• 05 02.2016

  Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

  Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...

• 05 02.2016

  Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng

  Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...

Thư viện trực tuyến

• 28 02.2016

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007

• 28 02.2016

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006

• 10 03.2016

  Sách giáo khoa toán lớp 12

  Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...

• 09 03.2016

  Sách giáo khoa toán lớp 11

  Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.

• 09 03.2016

  Sách giáo khoa toán lớp 6

  Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.

© Bản quyền thuộc về © 2015 Copyright by Cùng Học Toán. All rights reserved.. Mã nguồn NukeViet CMS. Thiết kế bởi TT Cùng Học Toán. Chúng tôi trên mạng xã hội

Chúng tôi trên mạng xã hội

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây

Thành viên đăng nhập

Hãy đăng nhập thành viên để trải nghiệm đầy đủ các tiện ích trên site Đăng nhập

Đăng ký thành viên

Để đăng ký thành viên, bạn cần khai báo tất cả các ô trống dưới đây

• Bạn thích môn thể thao nào nhất
• Món ăn mà bạn yêu thích
• Thần tượng điện ảnh của bạn
• Bạn thích nhạc sỹ nào nhất
• Quê ngoại của bạn ở đâu
• Tên cuốn sách "gối đầu giường"
• Ngày lễ mà bạn luôn mong đợi

Tôi đồng ý với Quy định đăng ký thành viên