Tìm Giao điểm Của Các đường Thẳng Công Thức. Giao điểm Của Hai ...

Để giải một bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ, cần có một giao điểm, tọa độ của điểm đó được sử dụng trong lời giải. Một tình huống phát sinh khi yêu cầu tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên mặt phẳng hoặc xác định tọa độ của các đường thẳng giống nhau trong không gian. bài viết này xét các trường hợp tìm tọa độ các điểm mà các đường thẳng đã cho cắt nhau.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cần xác định giao điểm của hai đường thẳng.

Phần vị trí tương đối của các đường trên mặt phẳng cho thấy chúng có thể trùng nhau, song song, cắt nhau tại một điểm chung hoặc cắt nhau. Hai đường thẳng trong không gian được gọi là giao nhau nếu chúng có một điểm chung.

Định nghĩa về giao điểm của các đường giống như sau:

Định nghĩa 1

Điểm mà hai đường thẳng cắt nhau được gọi là giao điểm của chúng. Nói cách khác, điểm của các đường giao nhau là giao điểm.

Hãy xem xét hình bên dưới.

Trước khi tìm tọa độ giao điểm của hai đường, cần xem xét ví dụ dưới đây.

Nếu tồn tại một hệ trục tọa độ O x y trên mặt phẳng thì hai đường thẳng a, b cho trước. Trực tiếp một tương ứng phương trình tổng quát có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0, cho đường thẳng b - A 2 x + B 2 y + C 2 \ u003d 0. Khi đó M 0 (x 0, y 0) là một điểm nào đó của mặt phẳng, cần xác định xem điểm M 0 có phải là giao điểm của các đường này hay không.

Để giải quyết vấn đề, nó là cần thiết để tuân theo các định nghĩa. Khi đó các đường thẳng phải cắt nhau tại một điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình đã cho A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Điều này có nghĩa là tọa độ của giao điểm được thay thế vào tất cả các phương trình đã cho. Nếu chúng cho đúng khi thay thế thì M 0 (x 0, y 0) được coi là giao điểm của chúng.

ví dụ 1

Cho hai đường thẳng chéo nhau 5 x - 2 y - 16 = 0 và 2 x - 5 y - 19 = 0. Điểm M 0 có tọa độ (2, - 3) có phải là giao điểm không.

Quyết định

Để giao điểm của các đường là thực thì tọa độ của điểm M 0 thỏa mãn phương trình của các đường. Điều này được xác minh bằng cách thay thế chúng. Chúng tôi nhận được điều đó

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Cả hai giá trị bằng nhau đều đúng, nghĩa là M 0 (2, - 3) là giao điểm của các đường thẳng đã cho.

Hãy miêu tả quyết định này trên đường tọa độ của hình dưới đây.

Trả lời:điểm đã cho có tọa độ (2, - 3) sẽ là giao điểm của các đường thẳng đã cho.

Ví dụ 2

Các đường thẳng 5 x + 3 y - 1 = 0 và 7 x - 2 y + 11 = 0 có cắt nhau tại điểm M 0 (2, - 3) không?

Quyết định

Để giải quyết vấn đề, cần phải thay thế tọa độ của điểm trong tất cả các phương trình. Chúng tôi nhận được điều đó

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Đẳng thức thứ hai không đúng, nghĩa là điểm đã cho không thuộc đường thẳng 7 x - 2 y + 11 = 0. Do đó ta có điểm M 0 không phải là giao điểm của các đường.

Hình vẽ rõ ràng M 0 không phải là giao điểm của các đoạn thẳng. Chúng có điểm chung là tọa độ (- 1, 2).

Trả lời:điểm có tọa độ (2, - 3) không phải là giao điểm của các đường thẳng đã cho.

Ta chuyển sang tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng bằng phương trình đã cho trên mặt phẳng.

Hai đường thẳng chéo nhau a và b được cho bởi phương trình có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 \ u003d 0 nằm tại O x y. Khi xác định giao điểm M 0, chúng ta nhận thấy rằng chúng ta nên tiếp tục tìm kiếm tọa độ theo các phương trình A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 \ u003d 0.

Từ định nghĩa, rõ ràng M 0 là giao điểm chung của các đường thẳng. Trong trường hợp này, tọa độ của nó phải thỏa mãn các phương trình A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Nói cách khác, đây là nghiệm của hệ kết quả A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Điều này có nghĩa là để tìm được tọa độ của giao điểm, cần phải thêm tất cả các phương trình vào hệ và giải nó.

Ví dụ 3

Cho hai đường thẳng x - 9 y + 14 = 0 và 5 x - 2 y - 16 = 0 trên mặt phẳng. bạn cần phải tìm giao điểm của chúng.

Quyết định

Dữ liệu về điều kiện của phương trình phải được thu thập vào một hệ thống, sau đó chúng ta nhận được x - 9 y + 14 \ u003d 0 5 x - 2 y - 16 \ u003d 0. Để giải nó, phương trình đầu tiên được giải cho x, biểu thức được thay vào phương trình thứ hai:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Các số kết quả là tọa độ cần được tìm thấy.

Trả lời: M 0 (4, 2) là giao điểm của các đường thẳng x - 9 y + 14 = 0 và 5 x - 2 y - 16 = 0.

Việc tìm kiếm tọa độ được rút gọn thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính. Nếu theo điều kiện, phương trình đã cho ở dạng khác thì cần rút gọn nó về dạng bình thường.

Ví dụ 4

Xác định tọa độ các giao điểm của các đường thẳng x - 5 = y - 4 - 3 và x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Quyết định

Để bắt đầu, cần đưa các phương trình về dạng tổng quát. Khi đó chúng ta nhận được rằng x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R được biến đổi theo cách này:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Khi đó ta đưa phương trình về dạng chính tắc x - 5 = y - 4 - 3 và biến đổi. Chúng tôi nhận được điều đó

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Do đó chúng ta có tọa độ là giao điểm

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Hãy áp dụng phương pháp của Cramer để tìm tọa độ:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) (- 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Trả lời: M 0 (- 5, 1).

Có một cách khác để tìm tọa độ giao điểm của các đường nằm trên mặt phẳng. Nó áp dụng được khi một trong các đường thẳng được cho bởi phương trình tham số dạng x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, λ ∈ R. Khi đó x = x 1 + a x λ và y = y 1 + a y λ được thay thế cho x, ta được λ = λ 0 ứng với giao điểm có tọa độ x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0.

Ví dụ 5

Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R và x - 5 = y - 4 - 3.

Quyết định

Cần thực hiện phép thay thế x - 5 \ u003d y - 4 - 3 bằng biểu thức x \ u003d 4 + 9 λ, y \ u003d 2 + λ, khi đó ta nhận được:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Khi giải, ta thu được λ = - 1. Điều này ngụ ý rằng có một giao điểm giữa các đường thẳng x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R và x - 5 = y - 4 - 3. Để tính tọa độ, cần thay biểu thức λ = - 1 vào phương trình tham số. Khi đó ta được x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Trả lời: M 0 (- 5, 1).

Để hiểu đầy đủ chủ đề, bạn cần biết một số sắc thái.

Đầu tiên bạn cần hiểu vị trí của các dòng. Khi chúng cắt nhau, ta sẽ tìm được tọa độ, các trường hợp khác sẽ không có lời giải. Để tránh việc kiểm tra này, chúng ta có thể soạn một hệ có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 A 2 x + B 2 + C 2 \ u003d 0 Nếu có nghiệm, ta kết luận rằng các đường thẳng cắt nhau . Nếu không có lời giải, thì chúng song song với nhau. Khi hệ thống có tập hợp vô hạn các giải pháp, sau đó chúng được cho là giống nhau.

Ví dụ 6

Cho các đường thẳng x 3 + y - 4 = 1 và y = 4 3 x - 4. Xác định xem họ có điểm chung hay không.

Quyết định

Đơn giản hóa các phương trình đã cho, ta được 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 và 4 3 x - y - 4 = 0.

Nó là cần thiết để thu thập các phương trình trong một hệ thống để giải pháp tiếp theo:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Điều này cho thấy rằng các phương trình được biểu diễn qua nhau thì ta nhận được vô số nghiệm. Khi đó các phương trình x 3 + y - 4 = 1 và y = 4 3 x - 4 xác định cùng một đường thẳng. Do đó, không có giao điểm.

Trả lời: các phương trình đã cho xác định cùng một đường thẳng.

Ví dụ 7

Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 và 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Quyết định

Theo điều kiện, có thể các đường sẽ không cắt nhau. Viết hệ phương trình và giải. Đối với giải pháp, cần phải sử dụng phương pháp Gauss, vì với sự trợ giúp của nó, người ta có thể kiểm tra tính tương thích của phương trình. Chúng tôi nhận được một hệ thống có dạng:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Chúng tôi đã nhận sai sự bình đẳng, vì vậy hệ thống không có giải pháp. Chúng tôi kết luận rằng các đường thẳng song song. Không có giao điểm.

Giải pháp thứ hai.

Đầu tiên bạn cần xác định sự hiện diện của giao điểm của các đường.

n 1 → = (2, 2 - 3) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 thì vectơ n 2 → = (2 (3 + 2), - 7 - Vector bình thường cho đường thẳng 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Cần kiểm tra tính thẳng hàng của các vectơ n 1 → = (2, 2 - 3) và n 2 → = (2 (3 + 2), - 7). Ta nhận được một đẳng thức có dạng 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Đúng vì 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Theo đó các vectơ thẳng hàng. Điều này có nghĩa là các đường thẳng song song và không có giao điểm.

Trả lời: không có giao điểm, các đường thẳng song song.

Ví dụ 8

Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng 2 x - 1 = 0 và y = 5 4 x - 2 đã cho.

Quyết định

Để giải quyết, chúng tôi lập một hệ thống phương trình. Chúng tôi nhận được

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Tìm định thức của ma trận chính. Vì vậy, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Vì nó khác 0 nên hệ thống có 1 nghiệm. Theo đó các đường cắt nhau. Hãy giải hệ tìm tọa độ các giao điểm:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Ta được giao điểm của các đường thẳng đã cho có tọa độ M 0 (1 2, - 11 8).

Trả lời: M 0 (1 2, - 11 8) .

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong không gian

Theo cách tương tự, các giao điểm của các đường trong không gian được tìm thấy.

Khi dòng a và b được cho trong mặt phẳng tọa độ Về x y z theo phương trình của các mặt phẳng cắt nhau, thì tồn tại một đường thẳng a, có thể xác định được bằng cách sử dụng hệ thống nhất định A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 và đường thẳng b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Khi điểm M 0 là giao điểm của các đường thẳng thì tọa độ của nó phải là nghiệm của cả hai phương trình. Ta thu được phương trình tuyến tính trong hệ:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Hãy xem xét các nhiệm vụ như vậy với các ví dụ.

Ví dụ 9

Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 và 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Quyết định

Ta lập hệ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 rồi giải. Để tìm tọa độ cần giải thông qua ma trận. Khi đó ta được ma trận chính dạng A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 và ma trận mở rộng T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4. Ta xác định hạng của ma trận theo Gauss.

Chúng tôi nhận được điều đó

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Theo đó thứ hạng của ma trận tăng cường là 3. Khi đó hệ phương trình x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 cho kết quả duy nhất một nghiệm.

Căn cơ sở có định thức 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 thì phương trình cuối cùng không phù hợp. Ta được x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Nghiệm của hệ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3.

Vậy ta có giao điểm x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 và 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 có tọa độ (1, - 3, 0).

Trả lời: (1 , - 3 , 0) .

Hệ có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 chỉ có một nghiệm. Vậy đường thẳng a và b cắt nhau.

Trong các trường hợp khác, phương trình không có nghiệm, nghĩa là điểm thông dụng quá. Đó là, không thể tìm thấy một điểm có tọa độ, vì nó không tồn tại.

Do đó, hệ có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 được giải bằng phương pháp Gauss. Với sự không tương thích của nó, các đường không giao nhau. Nếu có vô số nghiệm thì chúng trùng nhau.

Bạn có thể đưa ra quyết định bằng cách tính hạng chính và hạng mở rộng của ma trận, sau đó áp dụng định lý Kronecker-Capelli. Chúng tôi nhận được một, nhiều hoặc hoàn toàn không có giải pháp.

Ví dụ 10

Phương trình của các đường thẳng x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 và x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 được cho. Tìm giao điểm.

Quyết định

Đầu tiên, chúng ta hãy thiết lập một hệ phương trình. Ta được x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Chúng tôi giải quyết nó bằng phương pháp Gauss:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Rõ ràng, hệ thống không có giải pháp, có nghĩa là các đường không cắt nhau. Không có giao điểm.

Trả lời: không có giao điểm.

Nếu các dòng được xác định bằng cách sử dụng cononic hoặc phương trình tham số, bạn cần đưa về dạng phương trình của các mặt phẳng cắt nhau, sau đó tìm tọa độ.

Ví dụ 11

Cho hai đường thẳng x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ, λ ∈ R và x 2 = y - 3 0 = z 5 trong O x y z. Tìm giao điểm.

Quyết định

Ta lập các đường thẳng bằng phương trình của hai mặt phẳng cắt nhau. Chúng tôi nhận được điều đó

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Ta tìm tọa độ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, vì vậy ta tính bậc của ma trận. Xếp hạng ma trận là 3 và trẻ vị thành niên cơ bản 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \ u003d - 3 ≠ 0, có nghĩa là phương trình cuối cùng phải bị loại khỏi hệ thống. Chúng tôi nhận được điều đó

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Hãy giải hệ thống theo phương pháp của Cramer. Ta được x = - 2 y = 3 z = - 5. Từ đây chúng ta nhận được rằng giao điểm của các đường cho trước cho một điểm có tọa độ (- 2, 3, - 5).

Trả lời: (- 2 , 3 , - 5) .

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... ồ, nó nhỏ, như thể bạn đọc câu cho chính mình =) Tuy nhiên, sau đó thư giãn sẽ giúp ích, đặc biệt là vì hôm nay tôi đã mua phụ kiện phù hợp. Vì vậy, chúng ta hãy tiến hành phần đầu tiên, tôi hy vọng, đến cuối bài viết tôi sẽ giữ một tâm trạng vui vẻ.

Sự sắp xếp tương hỗ của hai đường thẳng

Trường hợp hội trường hát theo hợp ca. Hai dòng có thể:

1) trận đấu;

2) được song song :;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm:.

Trợ giúp cho hình nộm : hãy nhớ ký hiệu toán học giao nhau, nó sẽ xảy ra rất thường xuyên. Mục nhập có nghĩa là đường thẳng giao với đường thẳng tại điểm.

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai đường thẳng trùng nhau nếu và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau, nghĩa là, có một số "lambda" mà các giá trị bằng nhau

Hãy xem xét các đoạn thẳng và lập ba phương trình từ các hệ số tương ứng:. Do đó, từ mỗi phương trình, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với -1 (thay đổi dấu hiệu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn nhận được cùng một phương trình:.

Trường hợp thứ hai khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song nếu và chỉ khi hệ số của chúng tại các biến tỷ lệ với nhau: , nhưng.

Ví dụ, hãy xem xét hai đường thẳng. Chúng tôi kiểm tra tỷ lệ của các hệ số tương ứng cho các biến:

Tuy nhiên, rõ ràng là.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau nếu và chỉ khi hệ số của các biến KHÔNG tỷ lệ thuận với nhau, nghĩa là KHÔNG có giá trị "lambda" như vậy mà các giá trị bằng nhau được đáp ứng

Vì vậy, đối với các đoạn thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình đầu tiên, nó theo sau đó, và từ phương trình thứ hai: hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Như vậy, các hệ số tại các biến không tỷ lệ thuận với nhau.

Kết luận: các đường cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, có thể sử dụng sơ đồ giải pháp vừa xem xét. Nhân tiện, nó rất giống với thuật toán kiểm tra độ thẳng hàng của vectơ mà chúng ta đã xem xét trong bài học. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ. Nhưng có một gói văn minh hơn:

ví dụ 1

Để tìm ra sắp xếp lẫn nhau trực tiếp:

Quyết định dựa trên việc nghiên cứu vectơ chỉ phương của đường thẳng:

a) Từ phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, do đó các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

Để đề phòng, tôi sẽ đặt một viên đá có con trỏ ở ngã tư đường:

Những người còn lại nhảy qua hòn đá và tiếp tục, đến thẳng Kashchei the Deathless =)

b) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau, có nghĩa là chúng song song hoặc giống nhau. Ở đây yếu tố quyết định là không cần thiết.

Rõ ràng, các hệ số của ẩn số là tỷ lệ thuận, trong khi.

Hãy cùng tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Vì vậy,

c) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Hãy tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này: , do đó, các vectơ hướng thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỷ lệ "lambda" có thể dễ dàng nhìn thấy trực tiếp từ tỷ lệ của các vectơ hướng thẳng hàng. Tuy nhiên, nó cũng có thể được tìm thấy thông qua các hệ số của chính các phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức là đúng. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này(nó phù hợp với bất kỳ số nào nói chung).

Do đó, các dòng trùng với nhau.

Trả lời:

Rất nhanh chóng, bạn sẽ học (hoặc thậm chí đã học được) cách giải quyết vấn đề được cân nhắc bằng lời nói theo nghĩa đen chỉ trong vài giây. Về vấn đề này, tôi thấy không có lý do gì để cung cấp bất cứ điều gì cho giải pháp độc lập, tốt hơn là nên đặt một viên gạch quan trọng khác trong nền tảng hình học:

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng song song với một đường cho trước?

Vì sự thiếu hiểu biết về điều này nhiệm vụ đơn giản nhất trừng phạt nghiêm khắc Nightingale the Robber.

Ví dụ 2

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua điểm.

Quyết định: Ký hiệu dòng chưa biết bằng chữ cái. Điều kiện nói gì về nó? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song, thì rõ ràng vectơ chỉ thị của đường thẳng "ce" cũng thích hợp để xây dựng đường thẳng "te".

Chúng tôi lấy ra véc tơ chỉ phương từ phương trình:

Trả lời:

Hình dạng của ví dụ trông đơn giản:

Xác minh phân tích bao gồm các bước sau:

1) Chúng ta kiểm tra xem các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách, thì các véc tơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả hay không.

Việc xác minh phân tích trong hầu hết các trường hợp đều dễ dàng thực hiện bằng miệng. Nhìn vào hai phương trình và nhiều bạn sẽ nhanh chóng hình dung ra các đường thẳng song song như thế nào mà không cần hình vẽ.

Ví dụ để tự giải quyết ngày hôm nay sẽ là sáng tạo. Bởi vì bạn vẫn phải cạnh tranh với Baba Yaga, và cô ấy, bạn biết đấy, là một người yêu thích tất cả các loại câu đố.

Ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng nếu

Có một cách giải quyết hợp lý và không hợp lý lắm. Cách ngắn nhất là ở cuối bài.

Chúng tôi đã làm một chút công việc với các đường thẳng song song và sẽ quay lại chúng sau. Trường hợp các đường trùng nhau ít được quan tâm, vì vậy hãy xem xét một vấn đề mà bạn đã biết rõ từ chương trình giáo dục:

Làm thế nào để tìm được giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại điểm, thì tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường? Giải quyết hệ thống.

Của bạn đây cảm giác hình học hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trên một mặt phẳng.

Ví dụ 4

Tìm giao điểm của các đường

Quyết định: Có hai cách để giải quyết - đồ họa và phân tích.

Cách đồ họa là chỉ cần vẽ các đường đã cho và tìm ra giao điểm trực tiếp từ hình vẽ: Đây là quan điểm của chúng tôi:. Để kiểm tra, bạn nên thay thế tọa độ của nó vào mỗi phương trình của một đường thẳng, chúng phải phù hợp với cả ở đó và ở đó. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ. Trên thực tế, chúng tôi đã xem xét một cách đồ họa để giải quyết hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Phương pháp đồ họa, tất nhiên, không phải là xấu, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp 7 quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để vẽ chính xác và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường không dễ xây dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang vở.

Do đó, việc tìm kiếm giao điểm bằng phương pháp phân tích sẽ thích hợp hơn. Hãy giải quyết hệ thống:

Để giải hệ thống, phương pháp bổ sung từng số hạng của các phương trình đã được sử dụng. Để phát triển các kỹ năng liên quan, hãy truy cập bài học Làm thế nào để giải một hệ thống phương trình?

Trả lời:

Việc xác minh là không đáng kể - tọa độ của giao điểm phải thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thống.

Ví dụ 5

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là một ví dụ tự làm. Nhiệm vụ có thể được chia thành nhiều giai đoạn một cách thuận tiện. Phân tích điều kiện cho thấy rằng cần phải: 1) Viết phương trình của đường thẳng. 2) Viết phương trình của đường thẳng. 3) Tìm ra vị trí tương đối của các đường. 4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều vấn đề hình học, và tôi sẽ tập trung vào điều này nhiều lần.

Giải pháp hoàn chỉnh và câu trả lời ở cuối bài:

Một đôi giày vẫn chưa bị mòn, khi chúng ta đến phần thứ hai của bài học:

Đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.Góc giữa các dòng

Hãy bắt đầu với một điển hình và rất nhiệm vụ quan trọng. Trong phần đầu tiên, chúng ta đã học cách dựng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, và bây giờ chòi trên chân gà sẽ quay 90 độ:

Làm thế nào để vẽ một đường vuông góc với một cho trước?

Ví dụ 6

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường trung trực đi qua một điểm.

Quyết định: Nó được biết đến bởi giả định rằng. Sẽ rất hay nếu bạn tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên mẹo rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta "loại bỏ" vectơ pháp tuyến:, đó sẽ là vectơ chỉ đạo của đường thẳng.

Chúng ta lập phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ phương:

Trả lời:

Hãy mở bản phác thảo hình học:

Hừm ... Bầu trời cam, biển cam, lạc đà cam.

Xác minh phân tích các giải pháp:

1) Trích xuất các vectơ chỉ hướng từ các phương trình và với sự giúp đỡ sản phẩm chấm của các vectơ chúng tôi kết luận rằng các đường thực sự vuông góc:.

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng các vectơ bình thường, nó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả không .

Việc xác minh, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng lời nói.

Ví dụ 7

Tìm giao điểm của các đường vuông góc, nếu biết phương trình và chấm.

Đây là một ví dụ tự làm. Có một số hành động trong nhiệm vụ, vì vậy sẽ thuận tiện để sắp xếp giải pháp theo từng điểm.

Là của chúng tôi một chuyến đi thú vị tiếp tục:

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Trước mắt chúng ta là một dải sông thẳng và nhiệm vụ của chúng ta là đạt được nó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là chuyển động dọc theo đường vuông góc. Tức là, khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng là độ dài của đoạn vuông góc.

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp "ro", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "em" đến đường thẳng "de".

Khoảng cách từ điểm đến dòng được thể hiện bằng công thức

Ví dụ 8

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng

Quyết định: tất cả những gì bạn cần là thay thế cẩn thận các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ: Khoảng cách tìm được từ điểm đến đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng màu đỏ. Nếu bạn thực hiện một bản vẽ trên giấy ca rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (2 ô) thì có thể đo khoảng cách bằng thước thông thường.

Xem xét một nhiệm vụ khác theo cùng một bản vẽ:

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm so với đoạn thẳng . Tôi đề xuất thực hiện các hành động của riêng bạn, tuy nhiên, tôi sẽ chỉ định thuật toán giải pháp với kết quả trung gian:

1) Tìm một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Cả hai hành động được thảo luận chi tiết trong bài học này.

3) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Chúng ta biết tọa độ của điểm giữa và điểm cuối. Qua công thức cho tọa độ của đoạn giữa tìm thấy .

Sẽ không thừa nếu kiểm tra rằng khoảng cách cũng bằng 2,2 đơn vị.

Khó khăn ở đây có thể nảy sinh trong tính toán, nhưng trong tháp, một máy tính vi mô sẽ giúp ích rất nhiều, cho phép bạn đếm phân số chung. Đã khuyên nhiều lần và sẽ giới thiệu lại.

Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?

Ví dụ 9

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Đây là một ví dụ khác cho một giải pháp độc lập. Một gợi ý nhỏ: có vô số cách để giải quyết. Sẽ thảo luận ở cuối bài học, nhưng tốt hơn hết bạn hãy thử tự đoán xem, tôi nghĩ rằng sự khéo léo của bạn đã được phân tán tốt.

Góc giữa hai đường

Dù ở góc nào, thì tiếng ồn ào: Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được coi là góc NHỎ HƠN, từ đó nó tự động theo đó không thể là góc tù. Trong hình vẽ, góc được chỉ ra bởi cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường cắt nhau. Và hàng xóm "xanh" của nó hoặc định hướng đối lập góc đỏ thẫm.

Nếu các đường thẳng vuông góc thì có thể lấy góc bất kỳ trong 4 góc làm góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Sự định hướng. Đầu tiên, hướng "cuộn" góc về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, một góc định hướng âm được viết với một dấu trừ, ví dụ, nếu.

Tại sao tôi lại nói điều này? Có vẻ như bạn có thể hiểu được bằng khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là trong các công thức mà chúng ta sẽ tìm thấy các góc, nó có thể dễ dàng biến ra kết quả âm tính và nó sẽ không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ không tệ hơn và có một ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong hình vẽ đối với một góc âm, bắt buộc phải chỉ ra hướng của nó (theo chiều kim đồng hồ) bằng một mũi tên.

Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng? Có hai công thức làm việc:

Ví dụ 10

Tìm góc giữa các đường

Quyết định và Phương pháp một

Hãy xem xét hai dòng được đưa ra bởi các phương trình trong nhìn chung:

Nếu thẳng không vuông góc, sau đó định hướng góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:

Hầu hết chú ý chuyển sang mẫu số - đây chính xác là sản phẩm vô hướng vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Nếu, thì mẫu số của công thức biến mất, và các vectơ sẽ trực giao và các đường thẳng sẽ vuông góc. Đó là lý do tại sao một bảo lưu đã được thực hiện về tính không vuông góc của các đường trong công thức.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, giải pháp được chính thức hóa một cách thuận tiện theo hai bước:

1) Tính toán sản phẩm vô hướng vectơ chỉ phương của đường thẳng: nên các đường thẳng không vuông góc.

2) Ta tìm góc giữa các đường bằng công thức:

Qua chức năng trái ngược dễ dàng tìm thấy góc của chính nó. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng độ lẻ của tiếp tuyến cung (xem Hình. Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản):

Trả lời:

Trong câu trả lời, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác, cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Chà, trừ, vậy trừ, không sao. Đây là một minh họa hình học: Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra là một hướng âm, bởi vì trong điều kiện của bài toán, con số đầu tiên là một đường thẳng và sự "xoắn" của góc bắt đầu chính xác từ nó.

Nếu bạn thực sự muốn có được góc tích cực, bạn cần hoán đổi các dòng, nghĩa là lấy các hệ số từ phương trình thứ hai , và lấy các hệ số từ phương trình đầu tiên. Tóm lại, bạn cần bắt đầu với một .

Các giao điểm trên trục x phải giải phương trình y₁ = y₂, tức là k₁x + b₁ = k₂x + b₂.

Biến đổi bất đẳng thức này để có k₁x-k₂x = b₂-b₁. Bây giờ biểu diễn x: x = (b₂-b₁) / (k₁-k₂). Bằng cách này, bạn sẽ tìm thấy giao điểm của các đồ thị, nằm dọc theo trục OX. Tìm giao điểm trên trục y. Chỉ cần thay thế trong bất kỳ hàm nào giá trị của x mà bạn đã tìm thấy trước đó.

Tùy chọn trước phù hợp với biểu đồ. Nếu chức năng là, hãy sử dụng các hướng dẫn sau. Theo cách tương tự như với hàm tuyến tính, tìm giá trị x. Để làm điều này, hãy giải một phương trình bậc hai. Trong phương trình 2x² + 2x - 4 = 0 tìm (phương trình được cho làm ví dụ). Để thực hiện việc này, hãy sử dụng công thức: D = b² - 4ac, trong đó b là giá trị trước X và c là giá trị số.

Thay thế Giá trị kiểu số, nhận được một biểu thức như D = 4 + 4 * 4 = 4 + 16 = 20. Phương trình phụ thuộc vào giá trị của phân biệt. Bây giờ, cộng hoặc trừ (lần lượt) căn từ số phân biệt kết quả với giá trị của biến b có dấu “-” và chia cho sản phẩm kép hệ số a. Vì vậy, bạn sẽ tìm thấy gốc của phương trình, tức là, tọa độ của các giao điểm.

Đồ thị hàm số có một đặc điểm: trục OX sẽ cắt nhau hai lần, tức là bạn sẽ tìm được hai tọa độ của trục x. Nếu bạn nhận được giá trị tuần hoàn sự phụ thuộc của X vào Y, biết rằng đồ thị cắt vô số điểm với trục x. Kiểm tra xem bạn đã tìm thấy các điểm giao nhau chưa. Để thực hiện việc này, hãy thay các giá trị X vào phương trình f (x) = 0.

Nguồn:

• Tìm giao điểm của các đường

Nếu bạn biết giá trị của a, thì bạn có thể nói rằng bạn đã giải được một phương trình bậc hai, bởi vì các nghiệm nguyên của nó sẽ được tìm thấy rất dễ dàng.

Bạn sẽ cần

• -định dạng phân biệt của phương trình bậc hai;
• -Biết về bảng cửu chương

Hướng dẫn

Các video liên quan

Lời khuyên hữu ích

Phân biệt của một phương trình bậc hai có thể dương, âm hoặc bằng 0.

Nguồn:

• Quyết định phương trình bậc hai
• phân biệt đối xử là ngay cả

Mẹo 3: Cách tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có tọa độ x thỏa mãn quan hệ y \ u003d f (x). Đồ thị hàm số minh họa trực quan hành vi và tính chất của một hàm số. Để xây dựng một đồ thị, một số giá trị của đối số x thường được chọn và các giá trị tương ứng của hàm y = f (x) được tính toán cho chúng. Để xây dựng biểu đồ trực quan và chính xác hơn, sẽ rất hữu ích khi tìm các giao điểm của nó với các trục tọa độ.

Hướng dẫn

Khi vượt qua trục x (trục X), giá trị của hàm là 0, tức là y = f (x) = 0. Để tính x, bạn cần giải phương trình f (x) = 0. Trong trường hợp của một hàm, chúng ta nhận được phương trình ax + b = 0, và chúng ta tìm thấy x = -b / a.

Do đó, trục X giao nhau tại điểm (-b / a, 0).

Trong nhiều hơn nữa ca khó, chẳng hạn, trong trường hợp phụ thuộc bậc hai của y vào x, phương trình f (x) \ u003d 0 có hai nghiệm, do đó, trục x cắt hai lần. Trong trường hợp phụ thuộc của y vào x, ví dụ y = sin (x), có vô số giao điểm với trục x.

Để kiểm tra tính đúng đắn của việc tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số với trục X, cần thay các giá trị tìm được của x f (x). Giá trị của biểu thức đối với bất kỳ giá trị x nào tính được phải bằng 0.

Hướng dẫn

Đầu tiên, cần thảo luận về việc lựa chọn hệ tọa độ thuận tiện cho việc giải bài toán. Thông thường, trong các bài toán dạng này, một trong các tam giác được đặt trên trục 0X sao cho một điểm trùng với gốc tọa độ. Do đó, bạn không nên đi chệch khỏi các quy tắc được chấp nhận chung của quyết định và làm tương tự (xem Hình 1). Bản thân phương pháp xác định tam giác không đóng vai trò cơ bản, vì bạn luôn có thể đi từ một trong số chúng tới (mà bạn có thể xem sau).

Cho tam giác mong muốn được cho bởi hai vectơ cạnh AC và AB lần lượt là a (x1, y1) và b (x2, y2). Hơn nữa, bằng cách xây dựng y1 = 0. Cạnh thứ ba của BC tương ứng với c = a-b, c (x1-x2, y1 -y2), theo hình minh họa này. Điểm A được đặt tại gốc tọa độ, nghĩa là tọa độ A (0, 0). Cũng có thể dễ dàng nhận thấy rằng tọa độ B (x2, y2), a C (x1, 0). Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng định nghĩa của một tam giác bởi hai vectơ tự động trùng với định nghĩa của nó bởi ba điểm.

Tiếp theo, bạn hoàn thành tam giác mong muốn thành hình bình hành ABDC tương ứng với kích thước của nó. Hơn nữa, điều đó ở điểm Giao lộ Các đường chéo của hình bình hành được chia ra sao cho AQ là trung tuyến của tam giác ABC, hạ từ A đến cạnh BC. Vectơ đường chéo s chứa vectơ này và theo quy tắc hình bình hành, tổng hình học A và B. Sau đó s = a + b, và tọa độ s (x1 + x2, y1 + y2) = s (x1 + x2, y2). Như nhau tọa độ cũng sẽ ở điểm D (x1 + x2, y2).

Bây giờ bạn có thể tiến hành biên dịch phương trình của một đường thẳng chứa s, đường trung bình của AQ và quan trọng nhất là điểm mong muốn Giao lộ trung tuyến H. Vì chính vectơ s là hướng cho đường thẳng này và điểm A (0, 0) thuộc nó cũng được biết đến, nên việc đơn giản nhất là sử dụng phương trình của một đường phẳng ở dạng chính tắc: (x -x0) / m = (y-y0) / n. Đây (x0, y0) tọa độ điểm tùy ýđường thẳng (điểm А (0, 0)) và (m, n) - tọa độ s (vector (x1 + x2, y2). Và do đó, dòng mong muốn l1 sẽ có dạng: x / (x1 + x2) = y / y2.

Cách để tìm nó là ở giao lộ. Do đó, một đoạn thẳng nữa sẽ được tìm thấy chứa cái gọi là. Đối với điều này, trong hình. 1 phép dựng hình bình hành khác АPBC, có đường chéo g = a + c = g (2x1-x2, -y2) chứa trung tuyến thứ hai CW, hạ từ C xuống cạnh AB. Đường chéo này chứa điểm C (x1, 0), tọa độ sẽ đóng vai trò của (x0, y0) và vectơ chỉ hướng ở đây sẽ là g (m, n) = g (2x1-x2, -y2). Từ đây l2 được cho bởi phương trình: (x-x1) / (2 x1-x2) = y / (- y2).

TẠI ngày xưa Tôi thích đồ họa máy tính, cả 2D và 3D, bao gồm cả hình ảnh hóa toán học. Điều được gọi là chỉ cho vui, khi còn là một sinh viên, tôi đã viết một chương trình hiển thị các hình N chiều quay theo bất kỳ chiều nào, mặc dù trong thực tế, tôi chỉ đủ để xác định các điểm cho một siêu hình lập phương 4-D. Nhưng đây chỉ là một gợi ý. Tình yêu hình học vẫn còn với tôi kể từ đó và cho đến ngày nay, và tôi vẫn thích giải nhiệm vụ thú vị những cách thú vị. Một trong những nhiệm vụ này đến với tôi vào năm 2010. Bản thân nhiệm vụ khá đơn giản: cần phải tìm xem hai đoạn 2-D có giao nhau hay không và nếu chúng cắt nhau, hãy tìm điểm giao của chúng. Thú vị hơn là giải pháp, theo tôi, hóa ra khá thanh lịch và tôi muốn đề xuất với người đọc. Tôi không giả vờ là bản gốc trong thuật toán (mặc dù tôi muốn), nhưng tôi không thể tìm thấy các giải pháp tương tự trên mạng.

Nhiệm vụ

Hai đoạn được cho, mỗi đoạn được cho bởi hai điểm: (v11, v12), (v21, v22). Cần phải xác định xem chúng có cắt nhau không, và nếu chúng cắt nhau thì tìm giao điểm của chúng.

Quyết định

Đầu tiên bạn cần xác định xem các đoạn có cắt nhau không. Cần thiết và đủ điều kiện giao điểm phải được quan sát cho cả hai đoạn như sau: điểm cuối của một trong các đoạn phải nằm trong các nửa mặt phẳng khác nhau, nếu mặt phẳng được chia bởi đường mà phần thứ hai của đoạn nằm trên đó. Hãy chứng minh điều này bằng một hình vẽ.

Hình bên trái (1) cho thấy hai đoạn, cả hai đều đáp ứng điều kiện và các đoạn cắt nhau. Trong hình (2) bên phải, điều kiện được đáp ứng cho đoạn b, nhưng đối với đoạn a thì không được đáp ứng, tương ứng là các đoạn không cắt nhau. Có vẻ như việc xác định điểm nằm ở phía bên nào của đường thẳng không phải là một nhiệm vụ tầm thường, nhưng nỗi sợ hãi có đôi mắt mở lớn, và mọi thứ không quá khó khăn. Chúng ta biết rằng phép nhân vectơ của hai vectơ cho chúng ta vectơ thứ ba, hướng của nó phụ thuộc vào việc góc giữa vectơ thứ nhất và thứ hai tương ứng là dương hay âm, phép toán như vậy là nghịch biến. Vì tất cả các vectơ đều nằm trên Máy bay X-Y, thì tích vectơ của chúng (phải vuông góc với vectơ được nhân) sẽ chỉ có thành phần khác không Z, và sự khác biệt trong tích của các vectơ sẽ chỉ ở thành phần này. Hơn nữa, khi thay đổi thứ tự của phép nhân vectơ (đọc là: góc giữa các vectơ được nhân), nó sẽ chỉ phù hợp với việc thay đổi dấu của thành phần này. Do đó, chúng ta có thể nhân véc tơ-từng cặp véc tơ của đoạn phân cách với các vectơ hướng từ đầu đoạn phân tách đến cả hai điểm của đoạn đã kiểm tra. Nếu thành phần Z của cả hai sản phẩm sẽ có dấu hiệu khác nhau, khi đó một trong các góc nhỏ hơn 0 nhưng lớn hơn -180, và góc thứ hai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 180, tương ứng, các điểm nằm dọc theo các mặt khác nhau từ một đường thẳng. Nếu thành phần Z của cả hai sản phẩm có cùng dấu, vì vậy chúng nằm trên cùng một phía của đường thẳng. Nếu một trong các thành phần Z bằng 0, thì chúng ta có trường hợp đường viền khi điểm nằm chính xác trên đường đang được kiểm tra. Hãy để nó cho người dùng quyết định xem anh ta có muốn coi đây là một giao lộ hay không. Sau đó, chúng ta cần lặp lại thao tác cho một đoạn thẳng và một đoạn thẳng khác, và đảm bảo rằng vị trí của các điểm cuối của nó cũng thỏa mãn điều kiện. Vì vậy, nếu mọi thứ đều ổn và cả hai đoạn đều thỏa mãn điều kiện, thì giao điểm tồn tại. Hãy cùng tìm hiểu và sản phẩm vector cũng sẽ giúp chúng ta điều này. Vì trong tích vectơ, chúng ta chỉ có thành phần Z khác 0, nên môđun của nó (độ dài của vectơ) sẽ bằng số với thành phần cụ thể này. Hãy xem cách tìm giao điểm. Độ dài của tích vectơ của vectơ a và b (như chúng ta đã tìm hiểu, về mặt số học bằng thành phần Z của nó) bằng tích của môđun của các vectơ này và sin của góc giữa chúng (| a | | b | sin (ab)). Theo đó, với cấu hình trong hình, chúng ta có như sau: | AB x AC | = | AB || AC | sin (α), và | AB x AD | = | AB || AD | sin (β). | AC | sin (α) là đường vuông góc từ điểm C đến đoạn AB và | AD | sin (β) là đường vuông góc từ điểm D đến đoạn AB (chân ADD ") Vì góc γ và δ là góc thẳng đứng, thì chúng bằng nhau, có nghĩa là các tam giác PCC "và PDD" tương tự nhau, và do đó, độ dài của tất cả các cạnh của chúng đều tỷ lệ bằng nhau. Cho Z1 (AB x AC, do đó | AB || AC | sin (α)) và Z2 (AB x AD, do đó | AB || AD | sin (β)), chúng ta có thể tính CC "/ DD" (sẽ bằng Z1 / Z2), và biết rằng CC "/ DD" = CP / DP, bạn có thể dễ dàng tính được vị trí của điểm P. Cá nhân tôi làm như sau:

Px = Cx + (Dx-Cx) * | Z1 | / | Z2-Z1 |; Py = Cy + (Dy-Cy) * | Z1 | / | Z2-Z1 |;

Đó là tất cả. Đối với tôi, nó thực sự rất đơn giản và thanh lịch. Tóm lại, tôi muốn cung cấp một mã chức năng triển khai thuật toán này. Hàm sử dụng một vector mẫu tự tạo , là một mẫu vectơ có kích thước int với các thành phần là tên kiểu. Những người muốn có thể dễ dàng điều chỉnh hàm với các loại vectơ của riêng họ.

1 mẫu bool are_crossing (vectơ const & v11, vectơ const & v12, vectơ const & v21, vectơ const & v22, vectơ * băng qua) 3 (4 vector cut1 (v12-v11), cut2 (v22-v21); 5 vectơ prod1, sản2; 6 7 prod1 = cross (cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross (cut1 * (v22-v11)); 9 10 if (sign (prod1 [Z]) == sign (prod2 [Z]) || (prod1 [Z] == 0) || (prod2 [Z] == 0)) // Cũng cắt các trường hợp cạnh 11 trả về sai; 12 13 prod1 = cross (cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross (cut2 * (v12-v21)); 15 16 if (sign (prod1 [Z]) == sign (prod2 [Z]) || (prod1 [Z] == 0) || (prod2 [Z] == 0)) // Cũng cắt các trường hợp cạnh 17 trả về sai; 18 19 if (giao nhau) (// Kiểm tra xem chúng ta có cần xác định giao điểm 20 (* giao nhau) [X] = v11 [X] + cut1 [X] * fabs (prod1 [Z]) / fabs (prod2 [Z] ] - prod1 [Z]); 21 (* giao nhau) [Y] = v11 [Y] + cut1 [Y] * fabs (prod1 [Z]) / fabs (prod2 [Z] -prod1 [Z]); 22) 23 24 trả về true; 25)

Bài học trong loạt bài "Thuật toán hình học"

Xin chào bạn đọc thân mến!

Hãy tiếp tục tìm hiểu thuật toán hình học. Trong bài trước, chúng ta đã tìm được phương trình của một đường thẳng trong tọa độ của hai điểm. Chúng ta có một phương trình có dạng:

Hôm nay chúng ta sẽ viết một hàm sử dụng phương trình của hai đường thẳng để tìm tọa độ giao điểm của chúng (nếu có). Để kiểm tra sự bằng nhau của các số thực, chúng ta sẽ sử dụng hàm đặc biệt RealEq (). Các điểm trên mặt phẳng được mô tả bằng một cặp số thực. Khi sử dụng loại thực, tốt hơn là nên sắp xếp các thao tác so sánh với các chức năng đặc biệt.

Nguyên nhân được biết là: không có quan hệ thứ tự trên kiểu Real trong hệ lập trình Pascal, vì vậy các mục nhập có dạng a = b, trong đó a và b số thực, tốt hơn là không sử dụng. Hôm nay chúng tôi sẽ giới thiệu hàm RealEq () để thực hiện phép toán “=” (hoàn toàn bằng nhau):

Hàm RealEq (Const a, b: Real): Boolean; (hoàn toàn bằng nhau) begin RealEq: = Abs (a-b)