Tìm Giao điểm Của (d) Và (P) - Chuyên đề Toán Lớp 9 Luyện Thi Vào ...

Phương trình hoành độ giao điểm

• A. Cách tìm số giao điểm của (P) và (d)
• B. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
• C. Bài tập tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
• D. Bài tập tự luyện Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
• E. Tương giao đồ thị
  • Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
  • Tìm m để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d lớn nhất
  • Bài toán tương giao đường thẳng và parabol
  • Tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy
  • Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định
  • Tìm m để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm số giao điểm của (P) và (d)

Cho đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0)

- Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình kx2 = ax + b

Xét phương trình:

kx2 = ax + b (1)

+ Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (d) và (P) không giao nhau

+ Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

+ Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

B. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

- Giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Khi đó giá trị của x chính là hoành độ giao điểm cuar (d) và (P). Thay giá trị x vào công thức hàm số của (d) và (P) ta tìm ra tung độ giao điểm từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm.

- Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)

kx2 = ax + b

C. Bài tập tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số y = f(x) = (m + 2)x2 (1)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua các điểm: A (-1; 3);

2) Thay giá trị m = 2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đồ thị hàm số y = x + 1

Hướng dẫn giải

1) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m + 2)x2 (1) đi qua điểm A (-1; 3)

=> x = -1; y = 3

Thay vào hàm số (1) ta có:

3 = (m + 2) . (-1)2

=> m = 3 – 2

=> m = 1

Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 3)

Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m + 2)x2 (1) đi qua điểm

=>

Thay vào hàm số (1) ta có:

=> -1 = (m + 2).2

=> -1 = 2m + 4

=> -5 = 2m

=> m = -5/2

Vậy với m = -5/2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm

2) Thay m = 0 vào hám số y = f(x) = (m + 2)x2 (1) ta có:

y = f(x) = 2x2

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = 2x2 với đồ thị hàm số y = x + 1 là nghiệm của phương trình:

2x2 = x + 1

=> 2x2 – x – 1 = 0 (2)

Ta có a + b + c = 2 + (-1) + (-1) = 0

Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 hoặc x2 = -1/2

Với x = 1 => y = 2.12 = 2 => D(1; 2)

Với x = -1/2 => y = 2.(-1/2)2 = 2.1/4 = 1/2 => E(-1/2; 1/2)

Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y = 2x2 và đồ thị hàm só y = x + 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt D(1; 2) và E(-1/2; 1/2).

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = x - m (với m là tham số.

a) Với m = 0 tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phương pháp đại số.

b) Tìm điều kiện của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

=> x2 - 2x = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Với x = 0 => y = 0

Với x = 2 => y = 2

Vậy giao điểm của (d) và (P) là hai điểm (0; 0) và (2; 2)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

=> x2 - 2x + 2m = 0 (*)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*)có hai nghiệm phân biệt

=> Δ' > 0 => .

Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn (x1 + 2)(x2 + 2) = 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

- x2 = mx - 2 => - x2 + mx - 2 = 0

Ta có: Δ = m2 + 8 > 0 với mọi giá trị của tham số m nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Áp dụng định lý Vi - ét ta có:

Theo giả thiết ta có:

(x1 + 2)(x2 + 2) = 0

=> x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4 = 0 => -2 + 2.(-m) + 4 = 0 => m = 1

Vậy với m = 1 thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn (x1 + 2)(x2 + 2) = 0.

D. Bài tập tự luyện Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bài tập 1: Cho hàm số y = ax2 (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Xác định a để (P) đi qua điểm

b) Với giá trị a vừa tìm được hãy:

+ Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ.

+ Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng -2.

+ Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trụ tọa độ.

Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Tìm hệ số a biết rằng (P) đi qua điểm M(-2; 4).

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và điểm N(2; 4).

c) Vẽ (P) và (d) tìm được ở câu a và b trên cùng một hệ trục tọa độ.

d) Tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d) ở câu a và câu b.

Bài tập 3: Cho hàm số (P): y = x2 và d = x/2

a) Vẽ đồ thị hàm số của (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).

Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1, xB = 2

a) Tìm tọa độ giao điểm của A và B

b) Viết phương trình đường thẳng AB

E. Tương giao đồ thị

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Tìm m để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d lớn nhất

Bài toán tương giao đường thẳng và parabol

Tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy

Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Tìm m để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

• Luyện tập Toán 9
• Giải bài tập SGK Toán 9
• Đề thi giữa học kì môn Toán 9