Tìm Hệ Số Nhỏ Nhất Của Các Số Hạng Trong Khai Triển Nhị Thức ... - Vted

Chúng ta đã quen thuộc với bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức New – tơn ${{(a+b)}^{n}}.$

Trong bài viết này thầy sẽ đề cập đến cách tìm hệ số nhỏ nhất, ta cùng xét khai triển

Bài toán: Giả sử ${{(2x-1)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Tìm $\min \left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{n}} \right\}$, biết n là số tự nhiên thoả mãn $C_{n}^{6}+3C_{n}^{7}+3C_{n}^{8}+C_{n}^{9}=2C_{n+2}^{8}$.

Lời giải:

Điều kiện bài toán ta có: $\begin{align} & C_{n}^{6}+3C_{n}^{7}+3C_{n}^{8}+C_{n}^{9}=2C_{n+2}^{8} \\ & \Leftrightarrow C_{n}^{6}+C_{n}^{7}+2\left( C_{n}^{7}+C_{n}^{8} \right)+C_{n}^{8}+C_{n}^{9}=2C_{n+2}^{8} \\ & \Leftrightarrow C_{n+1}^{7}+2C_{n+1}^{8}+C_{n+1}^{9}=2C_{n+2}^{8} \\ & \Leftrightarrow \left( C_{n+1}^{7}+C_{n+1}^{8} \right)+\left( C_{n+1}^{8}+C_{n+1}^{9} \right)=2C_{n+2}^{8} \\ & \Leftrightarrow C_{n+2}^{8}+C_{n+2}^{9}=2C_{n+2}^{8} \\ & \Leftrightarrow C_{n+2}^{9}=C_{n+2}^{8}\Leftrightarrow C_{n+2}^{9}=C_{n+2}^{n-6}\Leftrightarrow n-6=9\Leftrightarrow n=15 \\ \end{align}$. Khi đó ${{\left( 2x-1 \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{2}^{k}}{{x}^{k}}.{{(-1)}^{15-k}}$.

Vậy hệ số nhỏ nhất phải ứng với ${{a}_{2k}}=C_{15}^{2k}{{2}^{k}}{{(-1)}^{15-2k}}$(hệ số chứa luỹ thừa chẵn của x).

Ta so sánh

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {a_{2k}} \leqslant {a_{2k + 2}} \hfill \\ {a_{2k}} \leqslant {a_{2k - 2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} C_{15}^{2k}{2^{2k}}{( - 1)^{15 - 2k}} \leqslant C_{15}^{2k + 2}{2^{2k + 2}}{( - 1)^{13 - 2k}} \hfill \\ C_{15}^{2k}{2^{2k}}{( - 1)^{15 - 2k}} \leqslant C_{15}^{2k - 2}{2^{2k - 2}}{( - 1)^{17 - 2k}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} C_{15}^{2k} \geqslant 4C_{15}^{2k + 2} \hfill \\ 4C_{15}^{2k} \geqslant C_{15}^{2k - 2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{(15 - 2k)(14 - 2k)}} \geqslant \frac{4}{{(2k + 2)(2k + 1)}} \hfill \\ \frac{4}{{2k(2k - 1)}} \geqslant \frac{1}{{(17 - 2k)(16 - 2k)}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

Giải bất phương trình trên và chọn k nguyên có: $k=5\Rightarrow \min \left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{15}} \right\}={{a}_{10}}=-{{2}^{10}}C_{15}^{10}=-3075072$.

Các em cùng luyện tập lại phương pháp với bài toán dưới đây: Gọi ${{a}_{k}}$ là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{\left( 2-\dfrac{1}{3}x \right)}^{20}}.$ Tìm hệ số ${{a}_{k}}$ nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Gọi ${{a}_{k}}$ là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{\left( 2-\dfrac{1}{3}x \right)}^{20}}.$ Tìm hệ số ${{a}_{k}}$ nhỏ nhất.

Giải. Ta có ${{\left( 2-\frac{1}{3}x \right)}^{20}}={{\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}\left( -\frac{1}{3}x \right)}}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{{{(-1)}^{k}}{{2}^{20}}{{.6}^{-k}}C_{20}^{k}{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{{{a}_{k}}{{x}^{k}}}.$

Do đó ${{a}_{k}}={{(-1)}^{k}}{{2}^{20}}{{.6}^{-k}}C_{20}^{k}.$

Do đó $\min {{a}_{k}}=\min \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} \right\}=\min \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{3}},...,{{a}_{2k+1}},... \right\}.$

Ta xét ${{a}_{2k+1}}=-{{2}^{20}}{{.6}^{-2k-1}}C_{20}^{2k+1},$ so sánh nó với hai số hạng liền kề

ta có

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {a_{2k + 1}} \leqslant {a_{2k - 1}} \hfill \\ {a_{2k + 1}} \leqslant {a_{2k + 3}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {2^{20}}{.6^{ - 2k - 1}}C_{20}^{2k + 1} \geqslant {2^{20}}{.6^{ - 2k + 1}}C_{20}^{2k - 1} \hfill \\ {2^{20}}{.6^{ - 2k - 1}}C_{20}^{2k + 1} \geqslant {2^{20}}{.6^{ - 2k - 3}}C_{20}^{2k + 3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 36C_{20}^{2k - 1} \leqslant C_{20}^{2k + 1} \hfill \\ C_{20}^{2k + 3} \leqslant 36C_{20}^{2k + 1} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{36}}{{(21 - 2k)(20 - 2k)}} \leqslant \frac{1}{{(2k + 1)2k}} \hfill \\ \frac{1}{{(2k + 3)(2k + 2)}} \leqslant \frac{{36}}{{(19 - 2k)(18 - 2k)}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow k = 1 \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \end{gathered} \]

Ví dụ 3. Gọi ${{a}_{k}}$ là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{(3-4x)}^{15}}.$ Tìm hệ số ${{a}_{k}}$ nhỏ nhất.

Dành cho các em tự làm.

Bài toán khác về nhị thức new - tơn các em xem ở đây: Links; http://vted.vn/tin-tuc/vtedvn-tim-n-thoa-man-dang-thuc-to-hop-lien-quan-den-he-so-cua-khai-trien-nhi-thuc-new-ton-thay-dang-thanh-nam-2209.html