Tìm Hình Chiếu Vuông Góc Của điểm Lên đường Thẳng

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

by HOCTOAN24H · 09/11/2015

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng là một dạng toán được sự quan tâm của rất nhiều bạn. Đồng thời cũng là một dạng toán được vận dụng khá nhiều trong quá trình viết phương trình đường thẳng. Để làm được bài toán dạng này hôm nay thầy xin chia sẻ cùng các bạn một số phương pháp làm như sau:

Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Bài toán: Xác định hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $d$.

Cách 1:

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng $d’$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $d’$ thỏa mãn: đi qua điểm $M$ đã biết và nhận VTPT của $d$ làm VTCP cho mình.

Bước 2: Tìm giao của đường thẳng $d$ và đường thẳng $d’$. Giao điểm đó chính là tọa độ của hình chiếu $H$.

Cách 2:

Giả sử đường thẳng $d$ cho dưới dạng tổng quát: $Ax+By+C=0$. Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi tọa độ điểm $H$ là: $H(x_H;y_H)$ và tìm vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u_d}$;

Bước 2: Tính $\vec{MH}$

Bước 3: Vectơ $\vec{MH} \bot \vec{u_d} \Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u_d}=0$   (1)

Bước 4: Vì $H\in d \Rightarrow Ax_H + By_H + C=0$     (2)

Bước 5: Từ (1) và (2) ta có hệ. Giải hệ này tìm được tọa độ của $H$.

Cách 3:

Giả sử đường thẳng $d$ cho dưới dạng tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right.$ $t\in R$

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$. Khi đó $H\in d$. Do đó tọa độ của điểm $H(x_0+at;y_0+bt)$. Suy ra tọa độ của $\vec{MH}$

Bước 2: Vì $MH\bot d \Leftrightarrow \vec{MH} \bot \vec{u_d}\Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u_d}=0$. Từ đây ta sẽ tìm được $t$ và tọa độ của điểm $H$.

Chú ý:

1. Nếu điểm $M(x_0;y_0)$, khi đó tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên:

• Ox sẽ có tọa độ là $H(x_0;0)$
• Oy sẽ có tọa độ là $H(0;y_0)$

2. Nếu điểm $M \notin d$ mà bài toán yêu cầu: “Tìm tọa độ điểm $H\in d$ sao cho $MH$ ngắn nhất thì tương đương với việc tìm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên $d$.

Xem thêm:

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Cho điểm $M(3;-1)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $3x-4y+12=0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $M$ lên đường thẳng $d$. Từ đó suy ra tọa độ của điểm $M_1$ là điểm đối xứng với $M$ qua đường thẳng $d$.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: 

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$:

Vì $d’ \bot d$ nên phương trình đường thẳng $d’$ có dạng: $4x+3y+C=0$

Vì điểm $M(3;-1) \in d’$ nên tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn:

$4.3+3.(-1)+C=0 \Leftrightarrow C=-9$

Vậy phương trình đường thẳng $d’$ là: $4x=3y-9=0$

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $H$ là giao điểm của $d$ và $d’$ và là nghiệm của hệ sau:

$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12=0\\4x+3y-9=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ hình chiếu $H$ là: $H(0;3)$

Bước 3: Tìm tọa độ điểm $M_1$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua $d$

Vì $M_1$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua đường thẳng $d$ nên $H$ sẽ là trung điểm của $MM_1$. Gọi tọa độ của điểm $M_1(x_{M_1};y_{M_1})$, theo biểu thức tọa độ liên quan tới trung điểm ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x_M+x_{M_1}=2x_H\\y_M+y_{M_1}=2y_H\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3+x_{M_1}=2.0\\-1+y_{M_1}=2.3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{M_1}=-3\\y_{M_1}=7\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $M_1$ là: $M_1(-3;7)$

Cách 2:

Bước 1:

Giả sử $H(a;b) \Rightarrow \vec{MH}(a-3;b+1)$

$\vec{u}(4;3)$ là vectơ chỉ phương của $d$

Vì $MH\bot d$ nên ta có: $\vec{MH}\bot \vec{u}\Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u}=0\Leftrightarrow 4(a-3)+3(b+1)=0\Leftrightarrow 4a+3b-9=0$      (1)

Bước 2:

Vì điểm $H(a;b) \in d$ nên ta có: $3a-4b+12=0$    (2)

Bước 3:

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ tạo bởi (1) và (2), ta có:

$\left\{\begin{array}{l} 4a+3b-9=0\\3a-4b+12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=0\\b=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $H$ là: $H(0;3)$

Cách 3: 

Bước 1: Chuyển $d$ về phương trình tham số

• Lấy 1 điểm bất kì thuộc $d$ là: $A(0;3)$
• Vectơ chỉ phương của $d$ là: $\vec{u}(4;3)$
• Phương trình tham số của $d$ là:$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\y=3+3t\end{array}\right.$  $t\in R$

Bước 2:

Vì điểm $H\in d$ nên ta có tọa độ của $H$ là: $H(4t;3+3t)\Leftrightarrow \vec{MH}(4t-3;3t+4)$

Vectơ chỉ phương của $d$ là: $\vec{u}(4;3)$

Vì $MH\bot d \Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u}=0\Leftrightarrow 4(4t-3)+3(3t+4)=0\Leftrightarrow t=0$

Với $t=0\Rightarrow H(0;3)$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Chia sẻ lên mạng xã hội:

• Share
• Tweet
• Share

BẠN CÓ THỂ XEM THÊM: Hình chiếu vuông góc của điểmphương trình đường thẳngtìm tọa độ điểm

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

• Bài giảng tiếp theo Đợi người cho cá không bằng tự mình câu cá
• Bài giảng trước Đưa bài toán về bài toán vừa giải xong

Có thể bạn sẽ thích...

• 34

  Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm

  30 Th3, 2016

• 0

  25 đề thi hệ tọa độ Oxy – Quảng Ninh có đáp án chi tiết

  7 Th4, 2016

• 4

  Trọng tâm của tam giác là gì?

  4 Th9, 2019

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

21 Thảo luận

• Bình luận21
• Pingbacks0

1. aa11 viết: 06/02/2016 lúc 1:39 Chiều

   Ở bài 1 cách 2 bước 1:

   Cái vectơ chỉ phương của phải là (3; -4) chứ thầy

   Bình luận
   • aa11 viết: 06/02/2016 lúc 1:43 Chiều

     ấy chết em nhầm

     Bình luận
2. Vân Nguyễn viết: 06/08/2016 lúc 10:07 Chiều

   Nếu đthg d ko cho biết thì làm ntn vậy thầy

   Bình luận
   • Thầy Giáo Nghèo viết: 07/08/2016 lúc 2:48 Chiều

     Em có thể post bài toán cụ thể muốn hỏi lên đây nhé

     Bình luận
3. Trân viết: 08/09/2016 lúc 10:12 Chiều

   thầy ơi sao hình chiếu của 1 điểm thuộc đường tròn không rơi ra ngoiaf hình chiếu của chính đt đó qua phép chiếu vuông góc lên đt d ạ?

   Bình luận
4. Thảo viết: 10/01/2017 lúc 9:48 Chiều

   Bài thầy giải rất hữu ích ạ

   Bình luận
5. Phong Vuong viết: 15/01/2017 lúc 7:30 Chiều

   thầy ơi, nếu tìm hình chiếu của 1 điểm lên 1 mp mà theo phương chiếu của 1 vecto khác thì phải làm thế nào ạ?

   Bình luận
   • Thầy Giáo Nghèo viết: 17/01/2017 lúc 9:23 Chiều

     Em viết ptđt qua điểm đó và nhận vectơ đã cho làm vectơ chỉ phương. Sau đó tìm giao của đt và mặt phẳng.

     Bình luận
6. Annie viết: 05/02/2017 lúc 7:45 Chiều

   thầy ơi sao phải dùng vecto chỉ phương vậy thầy, cho con biết dc k thầy

   Bình luận
7. Nguyen viết: 06/03/2017 lúc 7:32 Chiều

   Thầy ơi nếu cho PTTS tìm bằng cách nào ạ. E đổi về PTTQ rồi k bt lm sao.

   Bình luận
   • Thầy Giáo Nghèo viết: 06/03/2017 lúc 10:45 Chiều

     EM hỏi nếu bài toán cho ptts tìm bằng bằng cách nào ạ? Tức là tìm cái gì vậy em?

     Bình luận
8. Hương viết: 13/04/2017 lúc 1:09 Sáng

   Các bài giảng của thầy tuy ngắn gọn nhưng rất đầy đủ, mạch lạc và dễ hiểu. Con mong thầy có thể phát triển mở lớp học ở Hà Nội để con và các bạn học sinh có thể tham gia. Chúc thầy thành công và luôn gắn bó với nghề giáo vì theo con thầy thực sự là một người thầy giỏi.

   Bình luận
   • Thầy Giáo Nghèo viết: 13/04/2017 lúc 2:03 Chiều

     Thầy cám ơn em. Giỏi thì thầy không giám nhận, nhưng biết gì thì thầy viết đó. Kiến thức là vô tận mà.

     Bình luận
9. Nguyễn Thế Huyền Trang viết: 16/01/2018 lúc 8:14 Chiều

   hay và bổ ích lắm ạ . cảm ơn thầy

   Bình luận
10. kim viết: 09/03/2018 lúc 8:07 Chiều

    cho em hỏi viết ptdt d qa M(2;7) cách N(1;2) một khoảng bằng 1

    Bình luận
    • HOCTOAN24H viết: 09/03/2018 lúc 9:04 Chiều

      em gọi ptđt d qua m là: a(x-2)+b(y-7)=0 dựa vào khoảng cách từ N tới đường thẳng d là 1 => 1 phương trình ẩn a và b biến đổi và đặt nhân tử chung sẽ đc 1 pt tích. từ đây em sẽ tìm dc a và b

      Bình luận
11. Đàm Thị Nguyệt Anh viết: 05/04/2018 lúc 8:08 Chiều

    Thầy ơi, chỗ vecto MH.vecto u =0 có thể dùng công thức trong SGK k1.k2=-1 được không thầy. Cảm ơn thầy.

    Bình luận
12. duc anh viết: 02/09/2019 lúc 9:01 Chiều

    bai giai cach 2 bai 1 sai r tai sao 4(a-3)+3(b-1)=4a-3b-9 dc phai la 4a-3b-15 chu sai roi thay nha

    Bình luận
    • HOCTOAN24H viết: 04/09/2019 lúc 9:37 Chiều

      là 4(a-3)+3(b+1) em nhé. thầy update rồi nhé

      Bình luận
13. Đạt viết: 09/03/2021 lúc 8:11 Chiều

    Thầy ơi sao đường thẳng d’ ra đc 4x+3y+C=0

    Bình luận
14. Nguyễn Trung Hiếu viết: 08/03/2022 lúc 2:27 Sáng

    Ngắn gọn súc tích. Sẽ tiếp tục theo dõi học toán 24h

    Bình luận

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bình luận *

Tên *

Email *

Trang web

Δ