Tìm M để Hàm Số Có Tiệm Cận đứng - Giải Toán 12

Trang chủ » Tìm Tham Số M để Có Tiệm Cận đứng » Tìm M để Hàm Số Có Tiệm Cận đứng - Giải Toán 12

Có thể bạn quan tâm

Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng Chuyên đề Toán 12 Đường tiệm cận Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 12 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm tiệm cận đứng của hàm số

  • A. Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
  • B. Cách tìm m để hàm số có tiệm cận đứng
  • C. Công thức tính tiệm cận đứng của hàm phân thức dạng
  • D. Bài tập tìm m để hàm số có tiệm cận đứng
  • E. Bài tập tự rèn luyện tìm m để hàm số có tiệm cận đứng
  • F. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng là một trong những kiến thức quan trọng trong chuyên đề Toán 12 Đường tiệm cận. Việc hiểu và vận dụng đúng cách lý thuyết tiệm cận đứng giúp học sinh không chỉ đạt kết quả tốt trong các kỳ thi mà còn có cái nhìn sâu sắc hơn về sự thay đổi của hàm số và các đặc điểm hình học liên quan. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán tìm m để hàm số có tiệm cận đứng, qua đó làm rõ phương pháp giải bài tập tiệm cận đứng, cũng như các lưu ý quan trọng để tránh những sai sót khi làm bài. Hãy cùng khám phá!

  • 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
  • Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
  • Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
  • Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm số

Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận đứng

Bản quyền thuộc về VnDoc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Cho đồ thị hàm số y = f(x)có tập xác định D.

Nếu \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \pm \inftyhoặc \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = \pm \inftythì đường thẳng x = x_{0} là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chú ý. Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \pm \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = \pm \infty

B. Cách tìm m để hàm số có tiệm cận đứng

Cho hàm số y = f\left( x \right) = \frac{u}{v} có tập xác định D:

Bước 1. Muốn xác định đồ thị hàm số có tiệm cận hay không ta tìm nghiệm của phương trình v = 0. Ví dụ x = a là nghiệm của phương trình.

Bước 2. Xét x = a có là nghiệm của tử thức u:

+ Nếu x = a là không nghiệm của u = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng.

+ Nếu x = a là nghiệm của u = 0 thì phân tích đa thức thành nhân tử:

y = \frac{u}{v} = \frac{{{{\left( {x - a} \right)}^m}.h\left( x \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^n}.g\left( x \right)}} .

Rút gọn x – a:

  • Nếu còn nhân tử x – a dưới mẫu thì x = a là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • Nếu không còn nhân tử x – a trên tử hay ca tử và mẫu thì x – a không là tiệm cận đứng của đồ thị.

C. Công thức tính tiệm cận đứng của hàm phân thức dạng

Điều kiện để hàm phân thức y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} có tiệm cận đứng là: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc \ne 0} \\ {c \ne 0} \end{array}} \right..

Chú ý:

- Hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d},(ad - bc \neq 0)có:

  • Tiệm cận ngang là: y = \frac{a}{c}
  • Tiệm cận đứng là: x = \frac{- d}{c}

- Hàm số y = \frac{ax^{2} + bx + c}{px + q} = Ax + B + \frac{r}{px + q},(ap \neq 0)có:

  • Tiệm cận đứng là: x = \frac{- p}{c + q}
  • Tiệm cận ngang là: y = Ax + B

- Hàm số hữu tỉ: y = \frac{P(x)}{Q(x)}không chia hết có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu một bậc.

D. Bài tập tìm m để hàm số có tiệm cận đứng

Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = \frac{{m - 2}}{{mx + 1}} có tiệm cận đứng?

Hướng dẫn giải

Mẫu có nghiệm x = - \frac{1}{m};m \ne 0

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{m} - 2 \ne 0} \\ {m \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne \dfrac{{ - 1}}{2}} \\ {m \ne 0} \end{array}} \right.

Vậy để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì các giá trị m thỏa mãn là: m \ne \dfrac{{- 1}}{2} ; m \ne 0.

Đáp án D

Bài tập 2: Cho đồ thị hàm số y = \frac{{m{x^3} - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng.

A. m \ne 0 B. m \ne 2,m \ne \frac{1}{4}
C. m \ne 1;m \ne 2 D. m \ne 1,m \ne - 3

Hướng dẫn giải

Để hai đường thẳng x = 2 và x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 1 và x = 2 không là nghiệm của m{x^3} - 2

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m{{.1}^3} - 2 \ne 0} \\ {m{{.2}^3} - 2 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 2} \\ {m \ne \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right.

Vậy các giá trị tham số m thỏa mãn để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là: m \ne 2,m \ne \frac{1}{4}.

Đáp án B

Bài tập 3: Cho đồ thị hàm số y = \frac{{2{x^2} - 3x + m}}{{x - m}}. Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

A. m > 1 B. m \ne - 2
C. m = \pm 1 D. m = \left\{ {1;0} \right\}

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x = m là nghiệm của 2{x^2} - 3x + m

\Leftrightarrow 2{m^2} - 3m + m = 0\Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0

\Leftrightarrow 2m\left( {m - 1} \right) = 0\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m = 1} \end{array}} \right.

Vậy tất cả các giá trị tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là: m = \left\{ {1;0} \right\}.

Đáp án D

Bài tập 4: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} có đúng một tiệm cận đứng.

A. m \in \left\{ { - 1; - 4} \right\} B. m = - 1
C. m = - 4 D. m \in \left\{ {1;4} \right\}

Hướng dẫn giải

Ta có:

y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{1^2} + m = 0} \\ {{2^2} + m = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 = 0} \\ {m + 4 = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = - 4} \end{array}} \right.} \right.} \right.

Vậy các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng là m \in \left\{ { - 1; - 4} \right\}

Đáp án A.

Bài tập 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \lbrack - 2017;2017\rbrack để hàm số y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 4x + m}} có hai tiệm cận đứng.

Hướng dẫn giải

Để hàm số y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 4x + m}} có hai tiệm cận đứng \Leftrightarrow \ \ x^{2} - 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 2

\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4.( - 2) + m \neq 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m > 0 \\ m + 12 \neq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 4 \\ m \neq - 12 \end{matrix} \right.

Mà m\mathbb{\in Z};m \in \lbrack - 2017;2017\rbrack \Rightarrow m \in \left\{ - 2017;...;0;1;2;3 \right\}\backslash\left\{ - 12 \right\}.

Vậy có tất cả 2020 giá trị nguyên thỏa mãn.

E. Bài tập tự rèn luyện tìm m để hàm số có tiệm cận đứng

Câu 1: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{1 + \sqrt{x + 1}}{x^{2} - 2x - m} có đúng hai tiệm cận đứng?

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 5;5\rbrack để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3x^{2} - m} có đúng một tiệm cận đứng?

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm sôy = \frac{mx - 1}{2x + m} có đường tiệm cận đứng đi qua điểm M\left( - 1;\sqrt{2} \right).

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{2x^{2} - 3x + m}{x - m} không có tiệm cận đứng.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} + 1}{3x^{2} - 2ax + a} có đúng một tiệm cận đứng.

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \lbrack - 2017;2017\rbrack để hàm số y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 4x + m}} có hai tiệm cận đứng.

Câu 9. Tìm trên đồ thị hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 1} những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị.

Câu 10. Cho hàm số y = f\left( x \right) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = g\left( x \right) = \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - m}} có đúng 3 tiệm cận đứng.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 11. Cho hàm số y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng \left( { - 10\,;\,10} \right) để đồ thị hàm số y = g\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{f\left( x \right) - m}} có đúng đường tiệm cận?

A. 15 B. 6 C. 7 D. 14

F. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Câu 1:

Điều kiện xác định x \geq - 1

Vì 1 + \sqrt{x + 1} > 0;\forall x \geq - 1 nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình x^{2} - 2x = m\ \ (*) phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1.

Xét hàm số f(x) = x^{2} - 2x trên \lbrack - 1; + \infty) có:

f'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1

Bảng biến thiên

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1 khi - 1 < m \leq 3.

Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - 1;3\rbrack.

Câu 2

Đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3x^{2} - m} có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình x^{3} - 3x^{2} - m = 0 có đúng một nghiệm x \neq - 1

Ta có: x^{3} - 3x^{2} - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} = m

Xét hàm số x^{3} - 3x^{2} = g(x) ta có: g'(x) = 3x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra \left\lbrack \begin{matrix} m > 0 \\ m < - 4 \\ \end{matrix} \right.

Mà \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 5;5\rbrack \\ \end{matrix} \right. nên m \in \left\{ - 5;1;2;3;4;5 \right\}

Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3

TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{m}{2} \right\}.

Ta có \left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{-}}y = \lim_{x \rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{-}}\frac{mx - 1}{2x + m} = + \infty \\ \lim_{x \rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{+}}y = \lim_{x \rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{+}}\frac{mx - 1}{2x + m} = - \infty \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow x = - \frac{m}{2} là tiệm cận đứng.

Do đó yêu cầu bài toán \Leftrightarrow - \frac{m}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 2.

Câu 4

TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m \right\}.

Ta có y = \frac{(x - m)(2x + 2m - 3) + 2m(m - 1)}{x - m} = 2x + 2m - 3 + \frac{2m(m - 1)}{x - m}

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giới hạn \lim_{x \rightarrow m^{\pm}}y tồn tại hữu hạn \Leftrightarrow 2m(m - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 0 \\ \end{matrix} \right.\ .

Cách 2. (Chỉ áp dụng cho mẫu thức là bậc nhất)

Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình 2x^{2} - 3x + m = 0 có một nghiệm là x = m

\Rightarrow 2m^{2} - 3m + m = 0 \Leftrightarrow 2m(m - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 1 \\ \end{matrix} \right..

Câu 5:

Để đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} + 1}{3x^{2} - 2ax + a} có đúng một tiệm cận đứng \Leftrightarrow 3x^{2} - 2ax + a = 0 có nghiệm duy nhất

\Leftrightarrow \Delta' = a^{2} - 3a = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 3 \end{matrix} \right. .

Vậy có hai điểm thỏa mãn khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 6:

Ta có \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0 \rightarrow y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.

Để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng \Leftrightarrow

Phương trình x^{2} - 4x + m = 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng - 2

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \Delta' = 4 - m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 4 - m > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4( - 2) + m = 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 12 \end{matrix} \right..

Vậy có 2 giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.

Câu 7.

Ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4x + m}} = 0y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.

Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình {x^2} - 4x + m = 0 vô nghiệm \Leftrightarrow \,\,\Delta ' < 0\,\, \Leftrightarrow \,\,m > 4.

Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức {x^2} - 4x + m = 0 có nghiệm x = - 2 \to m = - 12. Điều này là sai, vì với m = - 12 thì hàm số trở thành y = \frac{1}{{x - 6}}. Đồ thị này vẫn còn tiệm cận đứng là x = 6.

Câu 8.

Để hàm số y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + m} }} có hai tiệm cận đứng \Leftrightarrow \,\,{x^2} - 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 2

\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ {\left( { - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right) + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4 - m > 0 \hfill \\ m + 12 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 4 \hfill \\ m \ne - 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Mà m \in \mathbb{Z};m \in \left[ { - 2017;2017} \right]\Rightarrow m \in \left\{ { - 2017;...;0;1;2;3} \right\}\backslash \left\{ { - 12} \right\}.

Vậy có tất cả giá trị nguyên thỏa mãn.

Câu 9.

Gọi M\left( {a\,;\,\frac{{2a + 1}}{{a - 1}}} \right) với a \ne 1 là điểm thuộc đồ thị.

Đường tiệm cận đứng d:x = 1; đường tiệm cận ngang d':y = 2.

Yêu cầu bài toán:

\Leftrightarrow \,\,d\left[ {M,d} \right] = 3d\left[ {M,d'} \right]\Leftrightarrow \,\,\left| {a - 1} \right| = 3\left| {\frac{{2a + 1}}{{a - 1}} - 2} \right|

\Leftrightarrow \,\,{\left( {a - 1} \right)^2} = 9\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{gathered} a = 4 \hfill \\ a = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left[ \begin{gathered} M\left( {4\,;\,3} \right) \hfill \\ M\left( { - 2\,;\,1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right..

Áp dụng công thức giải nhanh \left| {\frac{{c{x_0} + d}}{c}} \right| = k\left| {\frac{{ad - bc}}{{c\left( {c{x_0} + d} \right)}}} \right|\to {x_0} = - \frac{d}{c} \pm \sqrt {kp}

với c = 1,\,\,d = - 1,\,\,k = 3,\,\,p = \left| {\frac{{ad - bc}}{{{c^2}}}} \right| = 3.

Suy ra {x_0} = 1 \pm 3.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

--------------------------------------------------------------------

Trên đây là những hướng dẫn chi tiết về cách tìm m để hàm số có tiệm cận đứng trong chương trình Toán 12 Đường tiệm cận. Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã nắm vững được phương pháp giải quyết các bài toán tiệm cận đứng một cách hiệu quả và chính xác. Để tiếp tục nâng cao kỹ năng Toán học, bạn có thể tham khảo thêm các bài viết khác về tiệm cận ngang, tiệm cận xiên, và các bài toán khác trong chương trình Toán 12. Đừng quên chia sẻ bài viết này với bạn bè và học sinh khác để cùng nhau nâng cao kiến thức và thành tích học tập. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

  • 45 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án môn Toán lớp 12: Tính đơn điệu của hàm số
  • Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
  • 100 bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số có đáp án
  • Trắc nghiệm Toán 12 chương 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
  • Chuyên đề: Xác định tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số
  • Bài toán Thực tế tối ưu diện tích và thể tích (Có lời giải chi tiết)

Từ khóa » Tìm Tham Số M để Có Tiệm Cận đứng