Tìm M để Phương Trình Có 2 Nghiệm Trái Dấu

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án kèm theo tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm nghiệm của phương trình, chứng minh phương trình có nghiệm trái dấu. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

• I. Lý thuyết tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu 
• II. Ví dụ tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu
• III. Bài tập tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu (Có đáp án)
• IV. Bài tập tự luyện tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu 

I. Lý thuyết tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu 

1. Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.\)

II. Ví dụ tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

Ví dụ: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.\)

Với \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}\)

Với \(P > 0 \Leftrightarrow m > 0\)

Với \(S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2}\) kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

III. Bài tập tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu (Có đáp án)

Bài 1: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}\)

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.\)(vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình \(3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương