Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số F(x) = s2x...

× Đăng nhập Facebook Google ×

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Hãy chọn chính xác nhé!

Trang chủ Lớp 12 Toán

Câu hỏi:

20/07/2024 2,352

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx.cos2x

A. ∫f(x)dx=-2cos3x3+cosx+C

Đáp án chính xác

B. ∫f(x)dx=16cos3x+12sinx+C

C. ∫f(x)dx=16cos3x-12sinx+C

D. ∫f(x)dx=cos3x3+cosx+C

Xem lời giải Xem lý thuyết Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án)-Thông hiểu Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x+sin2x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 2,517

Câu 2:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 782

Câu 3:

Nguyên hàm của hàm số y=cotx là:

Xem đáp án » 05/02/2022 505

Câu 4:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm sốf(x)=sinx+2x là

Xem đáp án » 05/02/2022 477

Câu 5:

Cho I=∫sinxdx, nếu đặt u=x

Xem đáp án » 05/02/2022 413

Câu 6:

Tìm hàm số F(x) biết F'(x)=3x2+2x-1 và đồ thị hàm số y=F(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tổng các hệ số của F(x) là:

Xem đáp án » 05/02/2022 342

Câu 7:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2sinx.cos2x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 341

Câu 8:

Nguyên hàm của hàm số f(x)=1x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 321

Câu 9:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số:f(x)=e2018x

Xem đáp án » 05/02/2022 320

Câu 10:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=52x

Xem đáp án » 05/02/2022 319

Câu 11:

Họ nguyên hàm của hàm số ∫2x+32x2-x-1dx là

Xem đáp án » 05/02/2022 312

Câu 12:

Nếu ∫f(x)dx=x33+ex+C thì f(x) bằng:

Xem đáp án » 05/02/2022 296

Câu 13:

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số : y=3x4?

Xem đáp án » 05/02/2022 296

Câu 14:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ∫f(x)dx=4x3-3x2+2x+C. Hàm số f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau?

Xem đáp án » 05/02/2022 286

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2xcos2x-1

Xem đáp án » 05/02/2022 280 Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

Mục lục nội dung

Xem thêm

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈K.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-∞;+∞) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x∈(-∞;+∞).

- Hàm số F⁢(x)=x+ 2x-3 là một nguyên hàm của hàm số f⁢(x)=-5(x-3)2 trên khoảng (-∞;  3)∪(3;+∞)

Vì F'⁢(x)=(x+ 2x-3)'=-5(x-3)2=f⁢(x) với ∀x∈(-∞;  3)∪(3;+∞).

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F⁢(x)+C;C∈⁢R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: ∫f⁢(x)⁢𝑑x=F⁢(x)+C.

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

a) Với x∈(-∞⁢;+∞) ta có: ∫x3⁢𝑑x=x44+C;

b) Với x∈(-∞⁢;+∞) ta có: ∫ex⁢𝑑x=ex+C;

c) Với x∈(0⁢;+∞) ta có: ∫12⁢x⁢𝑑x=x+C.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

∫f'⁢(x)⁢𝑑x=f⁢(x)+C

Ví dụ 3.

∫(4x)'⁢𝑑x=∫4x.ln⁡4.d⁢x=  4x+C

- Tính chất 2.

∫k⁢f⁢(x)⁢𝑑x=k.∫f⁢(x)⁢𝑑x (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

∫[f⁢(x)±g⁢(x)]⁢𝑑x=∫f⁢(x)⁢𝑑x±∫g⁢(x)⁢𝑑x.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f⁢(x)=  3⁢x2+  2⁢sin⁡x trên khoảng (-∞;+∞).

Lời giải:

Với x∈(-∞;+∞) ta có:

∫(3⁢x2+ 2⁢sin⁡x)⁢𝑑x=∫3⁢x2⁢𝑑x+  2⁢∫sin⁡x⁢d⁢x=x3+ 2.(-c⁢osx)⁢⁢ +C⁢ =⁢⁢x3-2⁢c⁢osx⁢⁢ +C

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số y=x có nguyên hàm trên khoảng (0;+∞).

∫x⁢𝑑x=∫x12⁢𝑑x=23⁢x32+C=23⁢x⁢x+C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng (-∞;  0)∪(0;+∞)

∫1x⁢𝑑x=ln⁡|x|+C

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

∫0⁢𝑑x=C	∫axdx=axln⁡a+C(a> 0;a≠1)
∫𝑑x=x+C	∫cosxdx⁢=⁢ ⁢sinx⁢⁢ +C
∫xαdx=1α⁢ + 1xα⁢⁢ +1+C(α ≠ -1)	∫sin⁡x⁢d⁢x=-c⁢osx⁢⁢ + ⁢C
∫1x⁢𝑑x=ln⁡|x|+C	∫1cos2⁢x⁢𝑑x=tan⁡x+C
∫ex⁢𝑑x=ex+C	∫1sin2⁡x⁢𝑑x=-cot⁡x+C

Ví dụ 6. Tính:

a) ∫(3⁢x4+x3)⁢𝑑x

b) ∫(5⁢ex- 4x+ 2)⁢𝑑x

Lời giải:

a)

⁢∫(3⁢x4+x3)⁢𝑑x=∫3⁢x4⁢𝑑x+∫x3⁢𝑑x=  3⁢∫x4⁢𝑑x+∫x13⁢𝑑x

=  3.x55+34.x43+C=3⁢x55+3⁢x⁢x34+C

b) ∫(5⁢ex- 4x+ 2)⁢𝑑x

= 5⁢∫ex⁢𝑑x-  16.∫ 4x⁢𝑑x=  5.ex-16.4xln⁡4+C

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu ∫f⁢(u)⁢𝑑u=F⁢(u)+Cvà u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

∫f⁢(u⁢(x)).u'⁢(x)⁢d⁢x=F⁢(u⁢(x))+C.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

∫f⁢(a⁢x+b)⁢𝑑x=1a⁢F⁢(a⁢x+b)+C.

Ví dụ 7. Tính ∫(3⁢x+ 2)3⁢𝑑x.

Lời giải:

Ta có: ∫u3⁢𝑑u=u44+C nên theo hệ quả ta có:

∫(3⁢x+ 2)3⁢𝑑x=(3⁢x+2)44+C.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính ∫sin⁡x.c⁢os2⁢x⁢d⁢x.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

∫u2.(-d⁢u)= -∫u2⁢𝑑u⁢ =-u33+C

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

∫sin⁡x.c⁢os2⁢x⁢d⁢x=-c⁢os3⁢x3+C

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u⁢(x).v'⁢(x).d⁢x=u⁢(x).v⁢(x)-∫u'⁢(x).v⁢(x)⁢d⁢x.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

∫u⁢𝑑v=u⁢v-∫v⁢𝑑u.

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

a) ∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x;

b) ∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x;

c) ∫(5-x).ex⁢d⁢x

Lời giải:

a) ∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x

Đặt {u=lnxdv=xdx⇒{du=1xdxv=x22

Ta có:

∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x=x22.ln⁡x-∫x22.1x⁢d⁢x

=x22.ln⁡x-12⁢∫x⁢𝑑x=x22.ln⁡x-12.x22+C

=x22.ln⁡x-x24+C.

b) ∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x;

Đặt {u=xdv=sinxdx⇒{du=dxv=-cosx

Khi đó:

∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x=-x.c⁢osx⁢ +∫cosxdx=⁢ -x.c⁢osx⁢ +sinx⁢ +⁢C

c) ∫(5-x).ex⁢d⁢x

Đặt {u=5-xdv=exdx⇒{du= -dxv=ex

Khi đó:

∫(5-x).ex⁢d⁢x=(5-x).ex-∫-ex⁢d⁢x

=(5-x).ex+∫ex⁢𝑑x

=(5-x).ex+ex+C.

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

• 250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 10 đề 9376 lượt thi Thi thử
• Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải 3 đề 7786 lượt thi Thi thử
• Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao 11 đề 7624 lượt thi Thi thử
• Bài tập tắc nghiệm ứng dụng đạo hàm - Toán 12 có đáp án 7 đề 6092 lượt thi Thi thử
• 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (có đáp án) 6 đề 5187 lượt thi Thi thử
• 200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian NC (có đáp án) 9 đề 4809 lượt thi Thi thử
• Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải 5 đề 4463 lượt thi Thi thử
• 70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản 6 đề 3984 lượt thi Thi thử
• Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án 3 đề 3938 lượt thi Thi thử
• 200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian (có đáp án) 6 đề 3912 lượt thi Thi thử

Xem thêm »