Tìm Tập Hợp điểm Biểu Diễn Số Phức Trong đề Thi Đại Học Có Lời Giải ...

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học.

• Điểm biểu diễn số phức
• Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
• Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn
• Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một miền
• Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường elip

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Bài giảng: Các dạng bài tập hợp biểu diễn số phức cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1: Điểm biểu diễn số phức

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Số phức z = a + bi, (a,b ∈ R) biểu diễn điểm M(a, b).

+ Ngược lại điểm M(a, b) biểu diễn số phức z = a + bi.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Số phức z = (2 + 3i) + ( -10 + 8i) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là:

A. ( 2; 4) B. ( - 8; -10) C. ( 10; - 7) D. (- 8; 11)

Lời giải:

Ta có: z = (2 + 3i) + (- 10 + 8i) = (2 – 10) + ( 3 + 8)i = - 8 + 11i.

Do đó điểm M( - 8; 11) biểu diễn số phức z đã cho.

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho số phức z = ( 2 + 3i) .( 1- i). Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là

A. ( 5; -1) B. ( 5; 1) C. ( - 5; 1) D. (-5; -1)

Lời giải:

Ta có: z= (2 + 3i).(1- i) = 2 – 2i + 3i - 3i2

= 2 + i + 3 = 5 + i.

⇒ z− = 5 - i

Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là M( 5; -1).

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho A, B, C tương ứng là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 5i, z3 = 2 + 4i . Số phức z biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là

A. – 1 + 7i. B. 5 + i C. 1 + 5i D. 3 + 7i

Lời giải:

Ba điểm A, B và C lần lượt biểu diễn ba số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 5i, z3 = 2 + 4i nên tọa độ ba điểm này là: A( 1; 2), B( -2; 5), C(2; 4).

Gọi tọa độ điểm D(x, y).

Ta có : AB→(-3; 3); DC→(2 - x; 4 - y)

Để ABCD là hình bình hành thì : AB→ = CD→

⇔

Do đó, tọa độ điêm D(5 ; 1). Số phức thỏa mãn là: z= 5 + i.

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho 3 điểm A, B và C lần lượt biểu diễn cho các số phức z1, z2, z3. Biết |z1| = |z2| = |z3| và z1 + z2 = 0 . Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác ABC đều.

B. Tam giác ABC vuông tại C.

C. Tam giác ABC cân tại C .

D. Tam giác ABC vuông cân tại C.

Lời giải:

* Vì z1 + z2 = 0 nên z1; z2 là hai số phức đối nhau.

Do đó hai điểm A, B đối xứng qua gốc O( tức O là trung điểm của đoạn thẳng AB).

* Lại có |z1| = |z2| = |z3| nên OA = OB = OC ⇔ CO = .

Vậy tam giác ABC có độ dài đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại C.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Bốn đỉnh A,B, C, D lần lượt biểu diễn các số phức a = 2- 2i, b = -1 + i, c = 5 + mi, d = 8 + ( m - 3)i; . Tìm m sao cho ABCD là hình chữ nhật.

A. m = -1 B. m = 2 C. m = 7 D. m = 3

Lời giải:

* Do bốn điểm A, B, C và D lần lượt biểu diễn các số phức a = 2- 2i, b = - 1 + i, c = 5 + mi và d = 8 + (m - 3)i nên ta có: A( 2; -2); B( - 1; 1); C( 5; m), D(8, m – 3)

* Do ABCD là hình bình hành nên để ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi:

= 900 ⇔ AB ⊥ BC

* Ta có: AB→(- 3; 3); BC→(6; m - 1)

Để AB vuông góc BC khi và chỉ khi:

AB→.BC→ = 0 ⇔ (-3).6 + 3(m - 1) = 0

⇔ -21m + 3 = 0 ⇔ m = 7

Chọn C

Quảng cáo

Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

1. Phương pháp giải

Cho số phức z = a + bi, (a,b ∈ R) . Gọi điểm M(a, b) là điểm biểu diễn số phức z.

Nếu tọa độ điểm M thỏa mãn A.a + B.b + C = 0 thì tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng Ax + By + C = 0

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z + (1 + i)| = |z- 2i | là đường nào sau đây ?

A. x + 3y + 1 = 0 B. x + 3y - 1 =0

C. x- 2y + 1 = 0 D. 3x - y + 1 = 0

Lời giải:

* Gọi số phức z = x + yi, (x,y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M( x, y) trong mặt phẳng Oxy

* Theo giả thiết ta có: |z + (1 + i)| = |z - 2i|

⇔ |x + yi + 1 + i|= | x + yi - 2i|

⇔ |(x + 1) + (y + 1)i| = | x + ( y - 2).i |

⇔

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = x2 + y2 – 4y + 4

⇔ 2x + 6y – 2 = 0 hay x + 3y – 1 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z cần tìm là đường thẳng x + 3y – 1 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng ∆ như hình vẽ. Số phức z có môđun nhỏ nhất là:

A. z = + i . B. z = 1 + i. C. z = 1 D. z = i

Lời giải:

* Đường thẳng ∆ đi qua A( 1; 0) và B(0; 1). Nên phương trình đoạn chắn của đường thẳng ∆ là:

= 1 ⇔ x + y - 1 = 0 .

* Gọi điểm M biểu diễn số phức z. Do điểm M thuộc ∆ nên tọa độ M ( t; 1- t).

Suy ra, số phức z = t + (1- t).i

* Mô đun của số phức z là:

|z| =

Do đó, min|z| = ⇔ t = .

Vậy số phức z = + i .

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: |z + z− + 3| = 4

A. Đường thẳng x = .

B. Đường thẳng x = .

C. Đường thẳng x = .

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Gọi M(x, y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi, (x,y ∈ R) trong mặt phẳng Oxy.

Số phức liên hợp với số phức z là z− = x - yi

Theo đề bài ta có: |z + z− + 3| = 4 ⇔ |x + yi + x - yi + 3| = 4 ⇔ |2x + 3| = 4

⇔

Vậy tập hợp điểm M(x, y) cần tìm là đường thẳng đường thẳng x = với x < - và đường thẳng x = với x > -

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho số phức z = x + yi, (x,y ∈ R) . Biết |z + 2 - i| = | - 2| . Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

A. x + 3y – 1 = 0 B. x + y - 2 = 0

C. 3x – y + 2 = 0 D. x - 3y + 2 = 0

Lời giải:

Ta có: z = x + yi nên z + 1 = (x + 1) + yi

⇒ số phức liên hợp với z + 1 là = (x + 1) - yi

Theo giả thiết ta có: |z + 2 - i| = | - 2|

|x + yi + 2 - i| = |( x + 1) – yi – 2|

⇔ | (x + 2) + ( y-1)i| = |( x -1) – yi|

⇔

⇔ (x + 2)2 + (y - 1)2 = (x - 1)2 + y2

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = x2 – 2x + 1 + y2

⇔ 6x – 2y + 4 = 0 hay 3x – y + 2 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 3x – y + 2 = 0

Chọn C.

Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn

1. Phương pháp giải

* Cho số phức z = x + yi, (x,y ∈ R) . Gọi điểm M (x, y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy. Nếu x, y thỏa mãn: (x- a)2 + ( y – b)2 = R2 thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn.

*Đường tròn (x- a)2 + (y – b)2 = R2 là đường tròn có tâm I(a, b) và bán kính R.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau đây: | z - 1 + i| = 2 là một đường tròn:

A. Có tâm (-1; -1) và bán kính là 2.

B. Có tâm (1; -1) và bán kính là √2

C. Có tâm (-1; 1) và bán kính là 2.

D. Có tâm (1; -1) và bán kính là 2

Lời giải:

Gọi số phức z = x + yi, (x,y ∈ R)

Theo giả thiết |z - 1 + i | = 2 nên

| x + yi -1 + i| = 2 ⇔ |(x- 1) + ( y + 1).i| = 2

⇔ = 2

⇔ (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4

Do đó, tập hợp các điểm M trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(1; -1)và bán kính R = 2.

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn |z + i| = 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = z - 2i là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là:

A. I( 0;-2) B. I( 0; -3). C. I( 0; -6) D. I( 0; 3)

Lời giải:

Ta có w = z - 2i ⇔ z = w + 2i .

Gọi w = x + yi (x,y ∈ R) . Suy ra z = x + (2 + y).i.

Theo giả thiết, ta có

|z + i| = 1 ⇔ |x + (2 + y)i + i| = 1

⇔ |x + (3 + y)i| = 1 ⇔ = 1 ⇔ x2 + (y + 3)2 = 1 .

Vậy tập hợp các số phức w = z - 2i là đường tròn tâm I(0; -3).

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho các số phức z thỏa mãn z = 3√5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (2 + i).z + i là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó.

A. R = 4 B. R = 10 C. R = 3√5 D. R = 15

Lời giải:

Ta có w = x + yi (x,y ∈ R)

Do w = ( 2 + i).z + i nên

z =

=

Theo giả thiết z = 3√5

⇒ |z|2 = = 45

⇔ x2 + ( y - 1)2 = 225

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I( 0; 1) và bán kính R = 15.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z - 2| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (1 - i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó

A. r = 2√2 B. r = 4 C. r = √2 D. r = 2

Lời giải:

Ta có: w = (1 – i).z + i nên z = .

Gọi số phức w = x + yi, (x,y ∈ R) .

⇒ z = .

Ta có: | z- 2 |= 2 ⇒ = 2 ⇔ = 2

⇔ | x + xi + yi - y – i + 1 – 4| = 4

⇔ | ( x – y – 3) + ( x + y – 1)i| = 4

⇔ ( x- y – 3)2 + (x + y – 1)2 = 16

⇔ x2 + y2 + 9 – 2xy - 6x + 6y + x2 + y2 + 1 + 2xy - 2x – 2y = 16

⇔ 2x2 + 2y2 - 8x + 4y – 6 = 0

⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0

Đây là phương trình đường tròn tâm I( 2; -1) và bán kính r = = 2√2

Chọn A

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là:

A. Đường tròn tâm O, bán kính R = 1.

B. Hình tròn tâm O, bán kính R = 1 (kể cả biên).

C. Hình tròn tâm O, bán kính R = 1 (không kể biên).

D. Đường tròn tâm O, bán kính R = 1 bỏ đi một điểm (0; 1).

Lời giải:

Gọi z = a + bi ; (a,b ∈ R) và điểm M(a, b) biểu diễn số phức z.

Ta có:

=

= =

Để là số thuần ảo thì :

= 0⇔

Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = 1 và bỏ đi điểm (0; 1).

Chọn D.

Dạng 4: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một miền

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z= a + bi, (a,b ∈ R). Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải (- 2; 2), ở hình 1, điều kiện của a và b là:

A. a,b ∈ (-2; 2) . B. a ∈ (-2; 2); b ∈ R

C. a ∈ R; b ∈ (-2; 2) D. a,b ∈ [-2; 2]

Lời giải:

Các số phức trong dải đã cho có phần thực trong khoảng (-2; 2), phần ảo tùy ý.

Do đó, a ∈ (-2; 2); b ∈ R

Chọn B.

Ví dụ 2: Số phức z thỏa mãn điều nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần gạch chéo như trên hình.

A. Số phức z = a + bi, |z| ≤ 2; a ∈ [-1; 1] .

B. Số phức z = a + bi, |z| ≤ 2; a ∉ [-1; 1] .

C. Số phức z = a + bi, |z| < 2; a ∈ (-1; 1) .

D. Số phức z = a + bi, |z| ≤ 2; b ∈ [-1; 1] .

Lời giải:

Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp các điểm M(a; b) biểu diễn số phức z trong phần gạch chéo đều thuộc đường tròn tâm O(0; 0) và bán kính bằng 2 ngoài ra -1 ≤ a ≤ 1 .

Vậy M(a, b) là điểm biểu diễn của các số phức z = a + bi có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 2 và có phần thực thuộc đoạn [-1; 1].

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc phần tô màu như hình vẽ

A. 1 ≤ |z| ≤ 2 và phần ảo dương.

B. 1 ≤ |z| ≤ 2 và phần ảo âm.

C. 1 < |z| < 2 và phần ảo dương.

D. 1 < |z| < 2 và phần ảo âm.

Lời giải:

Ta thấy phần tô màu là nửa dưới trục hoành của hình vành khăn được tạo bởi hai đường tròn đồng tâm O(0 ; 0) và bán kính lần lượt là 1 và 2

Vậy đây chính là tập hợp các điểm M(x, y) biểu diễn cho số phức z = x + yi trong mặt phẳng phức với 1 ≤ |z| ≤ 2 và có phần ảo âm.

Chọn B

Dạng 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường elip

1. Phương pháp giải

+ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1, F2, với F1F2 = 2c ( c > 0). Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F1, F2 được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của Elip.

+ Phương trình chính tắc của elíp có tiêu điểm F1( - c; 0); F2(c; 0)

= 1; (a > b > 0; b2 = a2 - c2)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 6 trên mặt phẳng tọa độ là một

A. Đường thẳng. B.Đường tròn.

C. Elip. D. Hypebol.

Lời giải:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi, .

Ta có |z - 2| + |z + 2| = 6

⇔ = 6 (1) .

Đặt F1(- 2; 0); F2(2; 0); khi đó (1) ⇔ MF1 + MF2 = 6

suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là F1, F2 và bán kính trục lớn là a = 6/2 = 3

Suy ra: b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = 5

Phương trình của elip đó là: = 1 .

Chọn C

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3| + |z + 3| = 12.

A. Đường tròn (x – 3)2 + (y + 3)2 = 36 .

B. Elip = 1.

C. Đường tròn (x + 3)2 + (y – 3)2 = 144.

D. Elip = 1 .

Lời giải:

Gọi M(x, y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ∈ R)

Gọi A( 3; 0); B( -3; 0).

Ta có: |z - 3| + |z + 3| = 12 ⇔ MB + MA = 12.

Ta có AB = 6. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là elip với 2 tiêu điểm là A( 3; 0);

B(-3; 0), tiêu cự AB = 6 = 2c nên c = 3.

Độ dài trục lớn là 2a = 12 ⇒ a = 6

Khi đó, b2 = a2 – c2 = 36 - 9 = 27.

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3| + |z + 3| = 12 là elip có phương trình: = 1

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 4| + | z + 4| = 10. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun của số phức z là

A.10 và 4. B. 5 và 4 . C. 4 và 3 . D. 5 và 3

Lời giải:

Giả sử z = x + yi,(x,y ∈ R) có điểm biểu diễn là M(x ; y).

Giả sử F1 ( 4 ;0) ; F2(- 4 ;0).

Ta có : | z- 4| + | z + 4| = 10 nên MF1 + MF2 =10

Khi đó tập hợp các điểm M thỏa mãn là đường elip (E) có các tiêu điểm là F1 ; F2 và trục lớn bằng 10.

Ta có 2c = F1F2 = 8 ⇔ c = 4 và 2a = 10 ⇔ a = 5

suy ra b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9 ⇒ b= 3

Do đó, phương trình elip thỏa mãn là : = 1

Vì M di động trên (E) nên |z|= OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là nửa độ dài trục lớn, nửa độ dài trục nhỏ.

⇒ max|z| = 5 ; min|z| = 3

Chọn D

Ví dụ 4: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để |2z - z−| ≤ 3 số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

A. 3π B. C. D. 6π

Lời giải:

Giả sử z = x + yi, (x,y ∈ R), khi đó z− = x - yi , giả thiết của bài toán là

|2z - z−| ≤ 3 ⇔ |2x + 2yi - (x - yi)| ≤ 3

⇔ |x + 3yi| ≤ 3 ⇔ x2 + 9y2 ≤ 9

⇔ ≤ 1

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(x; y) thuộc miền trong của elip (E): ≤ 1 (kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a= 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là

S = π.AB = 3π .

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn + = 4 . Gọi M và n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.n.

A. M.n = 2 B. M.n= 1

C. M.n = 2√2 D. M.n = 2√3.

Lời giải:

Ta có ; = = |iz + 1 + i| = |-i(iz + 1 + i) = | z + 1 - i||

= = |iz - 1 - i| = |-i.(iz - 1 - i) = |z - 1 + i||

Theo giả thiết : + = 4 ⇔ | z + 1- i| + | z-1 + i| = 4 (*)

Đặt F1( -1 ; 1); F2( 1;-1) ⇒ F1F2 = 2√2 < 4

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó, (*) trở thành: MF1 + MF2 = 4.

Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elíp có tiêu điểm F1, F2 và độ dài trục lớn là 2a = 4 và tiêu cự 2c= F1F2 = 2√2 .

⇒ |z|=OM nên

⇒ M.n = 2√2

Chọn C.

Bài giảng: Các dạng bài tập hợp biểu diễn số phức nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải
• 6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức trong đề thi Đại học có lời giải
• 4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải
• Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

• 30 đề toán, lý hóa, anh, văn 2025 (100-170k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia HN 2025 (cho 2k7)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả Trang trước Trang sau so-phuc.jsp Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 12 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
• Lớp 12 Kết nối tri thức
• Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 12 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
• Giải sgk Tin học 12 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
• Lớp 12 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 12 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
• Giải sgk Hóa học 12 - CTST
• Giải sgk Sinh học 12 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
• Giải sgk Tin học 12 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
• Lớp 12 Cánh diều
• Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều