Tìm Tiếp Tuyến Và Pháp Tuyến - Series Math Study

Tìm Tiếp Tuyến Và Pháp Tuyến

(Có Kèm Ví Dụ và Dùng GraphFunc Trực Tuyến Để Kiểm Chứng Kết Quả)

Tóm tắt tiếp tuyến và pháp tuyến

Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc ở một điểm với một đường cong khác trong tọa độ hai chiều hoặc với mặt cong trong tọa độ ba chiều.Pháp tuyến là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường cong hay mặt cong.

Giả sử đường cong f(x) liên tục trên đoạn [a, b] trong tọa độ Đềcac vuông góc.Một đường thẳng (A) khác tiếp xúc với đường cong f(x) tại điểmvà đường pháp tuyến (B) vuông góc với đường cong f(x) hay pháp tuyến (A) tại diểm tại đó, được minh họa theo Hình 1.

Hình 1.

Theo Hình 1, đường thẳng (A) gọi là đường tiếp tuyến với đường cong f(x) và công thức biểu diễn đường tiếp tuyến này theo đường cong f(x) tại là:

Vớilà đạo hàm của f(x) tại điểm.

Vì các giá trịvàđã biết, do đó, ta có thể viết công thức đưòng thẳng (A) tiếp tuyến với đường cong f(x) như sau:

y = ax + b, trong đó a là hệ số góc có gía trị bằng và b = -.

Muốn tìm đường thẳng pháp tuyến (B) với đường cong f(x) tại , ta chỉ cần thế hệ số góc bằng, và phương trình đường thẳng pháp tuyến (B) được viết là:

Vi dụ minh họa và dùng GraphFunc để kiểm chứng

Ví dụ 1: Cho đường cong.Tìm tiếp tuyến với đường cong này tại điểm x = 1.

Lấy đạo hàm f’(x) = 2x.Như vậy, tại điểm x = 1, ta có:

f(1) = 2 và đạo hàm f’(1) = 2.

Đường thẳng tiếp tuyến với đường cong f(x) tại điểm x = 1 là:

y – 2 = 2(x-1) => y = 2x.

Dùng GraphFunc Trực Tuyến Để Kiểm Chứng Kết Quả

Bạn vào trang web http://viet.seriesmathstudy.com.Tiện ích GraphFunc được hiển thị như trong Hình 2.(Xem thêm phần hướng dẫn nếu bạn không thấy GraphFunc hiển thị trên duyệt trình).Các hình tròn được đánh theo số thứ tự từ 1 tới 7 là các bước cần phải thao tác như sau:

1.Gõ cú pháp x^2 + 1 cho hàmvào ô trống có nhãn hiệu f(x) =.

2.Bấm nút Vẽ Hàm để vẽ hàm số và đồ thị được vẽ bên tay phải có đường cong parabol mầu xanh.

3.Bấm nút Tiếp Tuyến, một hộp của sổ đối thoại được hiển thị phía bên phải của hình (bên trong được đánh số từ 4 tới 6).

4.Gõ giá trị 1 vào ô trống ngụ ý tìm tiếp tuyết tại điểm x = 1.

5.Bấm nút Tìm để tìm phương trình tiếp tuyến.Và kết quả thu được là: Y = 2.0X + 0.0 .

6.Bấm nút Vẽ Tiếp Tuyến & Đóng để đóng hộp đối thoại.

7.Đường tiếp tuyến được vẽ (mầu hồng).

Hình 2.

Ví dụ 2: Cho hàm số.Tìm tiếp tuyến với hàm số f(x) tại x = 2.

Ta lấy đạo hàm .Tại điểm x = 2, ta có:

f(2) = 8 – 8 + 2 – 1 = 1 và

f’(2) = 12 – 8 + 1 = 5.

Vậy đường thẳng tiếp tuyến với f(x) tại x = 2 là:

y – 1 = 5(x – 2) => y = 5x - 9.

Dùng GraphFunc Trực Tuyến Để Kiểm Chứng Kết Quả

Làm theo chỉ dẫn trong Ví Dụ 1 để kiểm chứng, và kết quả được miêu tả trong Hình 3.

Hình 3.

Ví dụ 3: Cho hàm số.Tìm pháp tuyến với hàm số f(x) tại x = 2.

Cách giải bài này giống như Ví Dụ 2, nhưng hệ số góc cho đường thẳng pháp tuyến được tính:

Và đường thẳng pháp tuyến với f(x) tại x = 2 là: .

Sử dụng GraphFunc trực tuyến để kiểm chứng kết quả

Các thao tác thực hiện như chỉ dẫn trong Ví Dụ 1.Chỉ có một điểm khác biệt là bạn chú ý chọn Pháp Tuyến từ hộp thanh kéo (tại đường tròn số 1) trước khi bấm nút Tìm.Kết quả được mô ta trong Hình 4.

Hình 4.

Nếu bạn muốn vẽ đường tiếp tuyến chung với pháp tuyến này, bạn nên dùng chức năng vẽ nhiều đồ thị cùng một lúc (bạn cần bấm mục Chọn Nhiều Hàm từ thanh kéo).Dựa vào phương trình tiếp tuyến vừa mới tính được ở Ví Dụ 2, GraphFunc vẽ đồ thị như được mô tả trong Hình 5.

Hình 5.

Để vẽ được như Hình 5, bạn cần phải cho phương trình tiếp tuyến y = 5x –9 vào ô có nhãn hiệu f2(x), và phương trình pháp tuyến y = -0.2x + 1.4 vào ô có nhãn hiệu f3(x).Sau đó bấm nút vẽ Vẽ Hàm và hình đồ thị được hiển thị bên trái của Hình 5.Mầu của mỗi đường cong hay đường thẳng trên đồ thị đều dựa vào các mầu trên ô vuông tại chỗ mà hàm số được viết vào.Để biết thêm cách dùng một số chức năng khác mà GraphFunc hỗ trợ, bạn nên tham khảo phần hướng dẫn.

Trở về Toán Trực Tuyến

Copyright 2005- http://toantructuyen.seriesmathstudy.com. All rights reserved. Contact us. Ghi rõ nguồn "http://toantructuyen.seriesmathstudy.com" khi bạn đăng lại thông tin từ website này.