Tìm Tọa độ điểm Bằng Phép đối Xứng Trục

Định nghĩa phép đối xứng trục

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Phép đối xứng qua trục d kí hiệu là: Đ$_d$.

Như vậy Đ$_d(M)=M’ \Leftrightarrow \vec{M_0M’}=-\vec{M_0M}$ với $M_0$ là hình chiếu của điểm M trên d.

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng trục Đ$_d$ biến hình (H) thành chính nó. Khi đó (H) được gọi là hình có trục đối xứng.

Xem thêm bài giảng:

• Tìm ảnh của phương trình đường thẳng qua phép tịnh tiến
• Tìm phương trình đường thẳng bằng phép đối xứng tâm
• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay

Tính chất của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục:

1. Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
2. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng
3. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
4. Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
5. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $M(x;y)$ và điểm $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.

+. Nếu trục đối xứng d là trục Ox thì: $\left\{\begin{array}{ll}x’=x\\y’=-y\end{array}\right.$

+. Nếu trục đối xứng d là trục Oy thì: $\left\{\begin{array}{ll}x’=-x\\y’=y\end{array}\right.$

+. Nếu trục đối xứng d là một đường thẳng bất kì thì các bạn làm như sau:

• Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d
• Tìm giao điểm $M_0$ của đường thẳng d’ và đường thẳng d
• $M’$ chính là điểm đối xứng của điểm M qua điểm $M_0$.

Nếu bạn nào không nhớ cách viết phương trình đường thẳng và cách tìm điểm đối xứng thì có thể xem hai bài giảng dưới đây của thầy:

• Cách viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
• Cách tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng tâm

Bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng trục

Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M(3;-5)$, đường thẳng d có phương trình $3x+2y-12=0$. Tìm ảnh của điểm M qua:

a. Phép đối xứng trục Ox

b. Phép đối xứng trục Oy

c. Phép đối xứng qua đường thẳng d.

Hướng dẫn:

Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục.

a. Qua phép đối xứng trục Ox thì biểu thức tọa độ là:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=x\\y’=-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=3\\y’=5\end{array}\right.$

Vậy ảnh của M là điểm M’ có tọa độ là: $M'(3;5)$

b. Qua phép đối xứng trục Oy thì biểu thức tọa độ là:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=-x\\y’=y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-3\\y’=-5\end{array}\right.$

Vậy ảnh của M là điểm M’ có tọa độ là: $M'(-3;-5)$

c. Gọi d’ là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d’ sẽ nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng d làm vectơ chỉ phương.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: $\vec{n}(3;2)$

Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là: $\vec{u}(3;2)$

Phương trình tham số của đường thẳng d’ là: $\left\{\begin{array}{ll}x=3+3t\\y=-5+2t\end{array}\right.$

Gọi $M_0$ là giao điểm của đường thẳng d và d’, khi đó tọa độ của điểm $M_0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x=3+3t\\y=-5+2t\\3x+2y-12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=3+3t\\y=-5+2t\\3(3+3t)+2(-5+2t)-12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=6\\y=-3\\t=1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $M_0$ là: $M_0(6;-3)$

Vì M’ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục là đường thẳng d nên M’ là điểm đối xứng với điểm M qua điểm $M_0$ hay $M_0$ là trung điểm của MM’.

Ta có biểu thức tọa độ là:

$\left\{\begin{array}{ll}\frac{3+x’}{2}=6\\\frac{-5+y’}{2}=-3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=9\\y’=-1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm M’ là: $M'(9;-1)$

Bài giảng trên giới thiệu với các bạn toàn bộ lý thuyết về phép đối xứng trục và cách tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng trục. Đây là dạng toán rất cơ bản và các bạn cần chú ý tới dạng tìm tọa độ điểm ảnh qua phép đối xứng trục là đường thẳng d bất kì (khác trục Ox và Oy).

Các bạn có thể xem thêm về những bài toán liên quan tới phép đối xứng trục qua hai bài giảng sau:

• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục.
• Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng trục.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ