Tính đạo Hàm Của Hàm Số Mũ

Bài giảng này thầy chia sẻ với các bạn cách tính đạo hàm của hàm số mũ. Tuy nhiên trong ví dụ dưới đây không chỉ áp dụng mỗi đạo hàm của hàm số mũ mà chúng ta còn cần sử dụng tới đạo hàm của hàm số lũy thừa, đạo hàm của hàm phân thức, hàm số lượng giác…

Công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

1. $(a^x)’=a^x.lna$ 2. $(a^u)’=u’.a^u.lna$3. $(e^x)’=e^x$ 4. $(e^u)’=u’.e^u$5. $(x^ {\alpha})’=\alpha .x^{{\alpha}-1}$ 6. $(u^{\alpha})’= \alpha .u’.u^{{\alpha} -1}$

Xem thêm bài giảng:

• Cách tính đạo hàm của hàm số logarit
• Cách tính đạo hàm của hàm căn thức
• Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số mũ sau:

a. $y=(x^2+1).2^{2x}$ b. $y=e^{\sqrt{x}}.sin^2x$c. $y=\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}$ d. $y=3.(x^2+x+2).e^{3x}$e. $y=2^{1-2x}$ f. $y=e^{2x+x^2}$

Hướng dẫn:

a. $y=(x^2+1).e^{2x}$

Là một hàm số có dạng tích của một hàm đa thức với một hàm số mũ. Vì vậy ngoài việc áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ thì chúng ta cần sử dụng đạo hàm của một tích và đạo hàm của hàm số lũy thừa.

Ta có: $y=(x^2+1).2^{2x}$

=> $y’=(x^2+1)’.2^{2x}+(x^2+1).(2^{2x})’$ (áp dụng đạo hàm $a^u$ )

=>$y’=2x. 2^{2x} + (x^2+1) .(2x)’. 2^{2x}.ln2$

=> $y’= 2x. 2^{2x} + (x^2+1) .2. 2^{2x}.ln2 $

b. $y=e^{\sqrt{x}}.sin^2x$

Là một hàm số có dạng tích, có chứa hàm số mũ, hàm số lượng giác. Vì vậy với hàm số này thì các bạn cũng phải sử dụng nhiều công thức đạo hàm.

Nếu các bạn muốn hiểu thêm và thành thạo công thức đạo hàm lượng giác thì có thể xem bài giảng: Cách tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Ta có:

$y=e^{\sqrt{x}}.sin^2x= e^{\sqrt{x}}.(sinx)^2 $

=> $y’=( e^{\sqrt{x}} )’. (sinx)^2 + e^{\sqrt{x}} .[(sinx)^2]’$ (áp dụng đạo hàm $e^u$ và $u^{\alpha}$)

=> $y’=(\sqrt{x} )’. e^{\sqrt{x}} . (sinx)^2 + e^{\sqrt{x}}.2.(sinx)’.sinx$

=> $y’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. e^{\sqrt{x}} . sin^2x + 2.e^{\sqrt{x}}.cosx.sinx $

c. $y=\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}$

Đây là hàm số có dạng là một hàm phân thức với tử có chứa hàm số mũ. Vì vậy các bạn cần sử dụng đạo hàm của hàm phân thức với công thức:

$\dfrac{u}{v}=\dfrac{u’.v-u.v’}{v^2}$

Ta có:

$y=\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}$

=> $y’=\dfrac{(e^{2x}-e^{-2x} )’.x- (e^{2x}-e^{-2x}).x’}{x^2}$

=> $y’=\dfrac{[(e^{2x})’-(e^{-2x})’].x- (e^{2x}-e^{-2x}) .1}{x^2}$

=> $y’=\dfrac{[2.e^{2x}-(-2).e^{-2x}].x- e^{2x}+e^{-2x} }{x^2}$

=> $y’=\dfrac{[2.e^{2x}+.e^{-2x}].x- e^{2x}+e^{-2x} }{x^2}$

d. $y=3.(x^2+x+2).e^{3x}$

Với hàm số này ta thấy có tích của số 3 với đa thức $x^2+x+2$ và $e^{3x}$. Vì 3 là hằng số nên khi tính đạo hàm của hàm số dạng này ta giữ nguyên hệ số 3.

Ta có:

$y=3.(x^2+x+2).e^{3x}$

=> $y’=3.[ (x^2+x+2)’.e^{3x}+ (x^2+x+2).(e^{3x})’]$

=> $y’= 3.[(2x+1).e^{3x}+ (x^2+x+2).(3x)’.e^{3x}]$

=> $y’= 3.[(2x+1).e^{3x}+ (x^2+x+2).3.e^{3x}]$

=> $y’= 3.[2x. .e^{3x} +e^{3x}+ 3x^2.e^{3x} +3x.e^{3x} +6e^{3x}]$

=> $y’= 3.[5x. e^{3x} +7.e^{3x}+ 3x^2.e^{3x}]$

e. $y=2^{1-2x}$ (áp dụng đạo hàm của hàm $a^u$)

Ta có:

$y=2^{1-2x}$

=> $y’=(1-3x)’. 2^{1-2x} .ln2$

=> $y=-3. 2^{1-2x} .ln2 $

f. $y=e^{2x+x^2}$ (áp dụng đạo hàm của hàm $e^u$)

=> $y’=(2x+x^2)’.e^{2x+x^2}$

=> $y’=(2+2x).e^{2x+x^2}$

Một ví dụ cơ bản về cách tính đạo hàm của hàm số mũ nhưng sẽ giúp các bạn rất nhiều trong việc hiểu công thức và cách áp dụng. Bên cạnh đó bài giảng này giúp các bạn ôn tập lại cách tính đạo hàm của một số hàm thường gặp như: đạo hàm của một tích, một thương, đạo hàm của hàm lượng giác, hàm căn thức…

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ