Tính đơn điệu Của Hàm Số Là Gì? Các Phương ... - DINHNGHIA.VN

Tính đơn điệu của hàm số là gì?

Tính đơn điệu của hàm số là một tính chất quan trọng để giải nhiều dạng toán như bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình. Vậy tính đơn điệu của hàm số là gì? Có thể hiểu, tính đơn điệu bao gồm cả tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Cụ thể: cho hàm số \(y = f(x)\)

Hàm số này đồng biến trên miền D với mọi \(x_1,x_2\) thuộc D mà \(x_1 < x_2 \) thì \(f(x_1) < f(x_2) \)và đồ thị hàm số có chiều đi lên.

Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên miền D với mọi \(x_1,x_2\) thuộc D mà \(x_1 < x_2 \) thì \(f(x_1) > f(x_2)\) và đồ thị hàm số có chiều đi xuống.

Điều kiện tính đơn điệu của hàm số

Điều kiện để hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên miền D:

Để \(y = f(x)\) có thể đồng biến trên miền D, hàm số này phải thỏa mãn 2 điều kiện:

• \(y = f(x)\) phải xác định trên miền D
• Đạo hàm y’=f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc D.

Điều kiện để hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên miền D:

Tương tự, hàm số \(y = f(x)\) cũng phải thỏa mãn 2 điều kiện:

• \(y = f(x)\) phải xác định trên miền D
• Đạo hàm \(y’=f’(x) ≤ 0\) với mọi x thuộc D.

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số thường gặp

Phương pháp chung cho dạng bài tập tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f(x)\), ta càn thực hiện các bướ sau:

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(y = f(x)\).
• Bước 2. Tính đạo hàm \(f′(x)\) và tìm các điểm \(x_0\) sao cho \(f′(x_0)=0\) hoặc \(f′(x_0)\) không xác định.
• Bước 3. Lập bảng xét dấu \(f′(x)\) nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = f(x)\)

Cách làm trên có thể áp dụng với cả các bài tập tính đơn điệu của hàm số trắc nghiệm hoặc tự luận.

Tính đơn điệu của hàm sô bậc 3

Hàm số bậc 3 có dạng: \(y = ax^3 +bx^2 +cx + d\)

Suy ra đạo hàm \(y’= 3ax^2 + 2bx + c\)

Nếu \(3a=0\) thì hàm số trở về hàm số bậc nhất, áp dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số bậc nhất.

ở đây ta sẽ xét trường hợp \(3a ≠ 0:\)

Để hàm số y đồng biến trên R thì: \(y’≥ 0\) với mọi \(x \) khi và chỉ khi \(a > 0\) và \(∆ ≤ 0.\)

Để hàm số y nghịch biến trên R thì: \(y’≤0\) với mọi \(x \) khi và chỉ khi \(a < 0 \)và \(∆≤0\).

Tính đơn điệu của hàm số bậc 4

Các dạng bài tập về phần này của hàm số bậc 4 thường có dạng xác định tính đơn điệu của hàm số chứa tham số.

Đối với dạng bài tập này, ta có thể giải theo 2 cách:

Cách 1: cô lập tham số m, sau đó vẽ bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tuy nhiên, đây là cách làm chỉ nên áp dụng khi m có lũy thừa bằng 1 và bạn có thể cô lập được tham số này.

Cách 2: đây là cách có thể áp dụng cho mọi bài toán, đó là xét dấu của tam thức bậc 2 và dựa vào bảng biến thiên nhận xét tính đơn điệu của hàm số đó.

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm lượng giác cũng là một dạng bài tập quan trọng không nên bỏ qua. Đây là một dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số nâng cao

Đối với một hàm số lượng giác phức tạp, ta sẽ phải chuyển về các dạng cơ bản như \(y=sinx, y=cosx…\) Để làm được điều này, bạn cần nắm rõ các công thức lượng giác.

• \(y=sinU\) đồng biền trong khoảng (- 2 + k2, 2+ k2) và nghịch biến trong khoảng (2+ k2, 32+ k2)
• \(y=cosU\) đồng biến trong khoảng (- +k2 , k2 ) và nghịch biến trong khoảng (k2 , + k2 )

từ đó ta có thể suy ra được tính đơn điệu của hàm số y=tanU và y=cotU.

Hy vọng qua bài viết trên đây, bạn đã hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số là gì cũng như việc xét tính đơn điệu của một số hàm đơn giản. Hãy đến với DINHNGHIA.VN để khám phá nhiều kiến thức bổ ích hơn nữa nhé.