Tính Gần đúng Tích Phân [Công Thức Hình Thang] - CaolacVC

Có thể bạn quan tâm

Home
Contact
Edit

HomeGiải tích sốTính gần đúng tích phân [Công thức hình thang] Tính gần đúng tích phân [Công thức hình thang] November 14, 2017

Thông thường muốn tính tích phân xác định của một hàm số trên đoạn $[a,b]$ ta tìm nguyên hàm của hàm đó và thay cận từ $a$ đến $b$. Tuy nhiên trong khoa học và kỹ thuật không phải lúc nào ta cũng tìm được nguyên hàm của một hàm cho trước, tức là đôi khi tồn tại nguyên hàm của một hàm nhưng chúng ta không thể biểu diễn nguyên hàm ấy dưới dạng các hàm sơ cấp. Chính vì vậy mà sẽ có một số giải pháp để tính tính phân những hàm như thế. Thêm vào đó với sự phát triển của công nghệ thông tin, thì sự hỗ trợ của máy tính là rất tuyệt vời, tuy nhiên để máy tính có thể hiểu được thì chúng ta phải có một thuật toán. Từ đó chúng ta sẽ thiết lập các phương pháp tính xấp xỉ mà nếu với sự hỗ trợ của máy tính ta sẽ có những kết quả xấp xỉ hoàn toàn chấp nhận được.

Bài viết này trình bày cách tính gần đúng tích phân bằng công thức hình thang. Mục tiêu bài viết là nêu lên công thức, cách áp dụng và một số thủ thuật thao tác khi làm nhằm phục vụ cho môn học giải tích số (phương pháp tính) ở đại học.

Bài toán: Tính gần đúng tích phân:

$$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$$

Công thức hình thang:

$$\displaystyle \int_a^bf(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$$

trong đó

$\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$ với $n$ là số đoạn được chia trên đoạn $[a,b]$

$\displaystyle x_0=a, x_n=b, x_i=x_0+ih, i=\overline{1,n}$

Vấn đề sai số:

$$\displaystyle \epsilon<\frac{M(b-a)}{12}\times h^2$$

trong đó $\displaystyle M=\max_{[a,b]} \big|f''(x)\big|$

Ví dụ: Tính gần đúng tích phân: $\displaystyle \int_1^5\frac{dx}{x}$ với $n=4$.

+) Ta tính $\displaystyle h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{5-1}{4}=1$

+) $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}$

Bảng các giá trị $x_i$ và $f(x_i)$ (Việc làm này giúp cho việc áp dụng công thức được rõ ràng rành mạch và không bị sai)

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}x_i & x_0=a & x_1 & x_2 & x_3 & x_4=b\\\hline f(x_i) &1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{5}\end{array}$$

Áp dụng công thức hình thang ta được:

$\displaystyle \int_1^5\dfrac{1}{x}dx\approx\dfrac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{3}f(x_i)\right]$

$\displaystyle \int_1^5\dfrac{1}{x}dx\approx\dfrac{1}{2}\Big[f(x_0)+f(x_4)+2\left(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right)\Big]$

$\displaystyle \int_1^5\dfrac{1}{x}dx\approx\dfrac{1}{2}\left[1+\dfrac{1}{5}+2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)\right]=\dfrac{101}{60}$

Vấn đề sai số

$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x},f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}, f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$

$\displaystyle M=\max_{[a,b]}\big|f''(x) \big|=\max_{[1,5]}\left|\dfrac{2}{x^3}\right|=2$

Suy ra

$\displaystyle \epsilon<\dfrac{M(b-a)}{12}\times h^2=\dfrac{2\times (5-1)}{12}\times 1^2=\dfrac{2}{3}$

Nhận xét: Nếu $n$ càng lớn, tức là ta chia đoạn $[a,b]$ thành càng nhiều phần hay thuật ngữ giải tích gọi là "mịn" thì giá trị của tích phân ta càng chính xác. Điều này chỉ có ý nghĩa khi có sự hỗ trợ của máy tính. Với tốc độ của máy tính thì việc cho $n$ bằng trăm, ngàn, thậm chí triệu thì việc tính toán cũng chỉ xảy ra trong vài giây.

Lưu ý là việc chia đoạn $[a,b]$ thành $n$ phần không nhất thiết phải bằng nhau, tức không phụ thuộc vào cách chia và cách chọn mốc $x_i$, tuy nhiên ta nên chọn cách đều cho dễ thao tác. Đối với lập trình thì việc chọn mốc cách đều giúp ta có thể xây dựng được một vòng lặp bằng một số câu lệnh đơn giản một cách dễ dàng.

Bài tập rèn luyện

Bài tập 1. $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x+1}$ với $n=5$

+) Ta tính $h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{1-0}{5}=\dfrac{1}{5}$

+) Bảng các giá trị ${{x}_{i}}$ và $f\left( {{x}_{i}} \right)$

$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ \hline x_i & 0 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5} & 1 \\ \hline f(x_i) & 1 & \dfrac{5}{6} & \dfrac{5}{7} & \dfrac{5}{8} & \dfrac{5}{9} & \dfrac{1}{2} \\ \hline \end{array}$$

+) Áp dụng công thức hình thang ta có

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dx}{x+1}}\approx \dfrac{h}{2}\left[ f\left( a \right)+f\left( b \right)+2\sum\limits_{i=1}^{4}{f\left( {{x}_{i}} \right)} \right]$

$=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{2}\left[ \left( 1+\dfrac{1}{2} \right)+2\left( \dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{5}{9} \right) \right]$

$=\dfrac{1753}{2520}$

Vậy $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dx}{x+1}}\approx \dfrac{1753}{2520}$

Vấn đề sai số

$f\left( x \right)=\dfrac{1}{x+1}$

$\Rightarrow f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

$\Rightarrow f''\left( x \right)=\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}$

$\Rightarrow M=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f''\left( x \right) \right|=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| \dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}} \right|=2$

$\Rightarrow \varepsilon <\dfrac{M\left( b-a \right)}{12}\times {{h}^{2}}=\dfrac{2\left( 1-0 \right)}{12}\times {{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{30}$

Bài tập 2. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_2^{3.5}\frac{1+x}{1-x}dx$ với $n=12$

Bài tập 3. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{dx}{1+x^2}$ với $n=5$

Bài tập 4. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{\sin x}{x}dx$ với $n=5$

Bài tập 5. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ với $\epsilon=10^{-2}$

Bài tập 6. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_1^{2}\frac{dx}{1+x^2}$ với $\epsilon=0.02$

Bài tập 7. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_1^{3}\sqrt{1+3x}dx$ với $n=5$

Bài tập 8. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{2}\sqrt{1+x}dx$ với $n=5$

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH SỐ

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC HÌNH THANG

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC PARABOL (CÔNG THỨC SIMPSON)

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI NGUYÊN

Tags: 1000 Đại học Giải tích số

admin

7 Comments

AnonymousJanuary 5, 2022 at 4:56 PM
Cảm ơn bài viết
ReplyDeleteReplies
AnonymousJune 7, 2022 at 9:05 AM
nếu trong bài tâp không cho n (số đoạn chia) thì sẽ lấy n là bao nhiêu ạ
ReplyDeleteReplies
1. adminJune 7, 2022 at 9:59 AM
  Câu hỏi khá hay! Nếu $n$ càng lớn thì kết quả càng chính xác, giờ thì bạn muốn chọn bao nhiêu thì tùy, học tập thì chọn $n$ nhỏ, ví dụ $n=10$, còn nếu muốn chính xác hơn bạn cho $n$ lớn hơn, hoặc nếu đề cho sai số thì dựa vào công thức sai số để tìm ra $n$
  DeleteReplies
AnonymousJuly 7, 2022 at 3:47 AM
có lời giải chi tiết bài tập không ạ
ReplyDeleteReplies
1. adminJuly 7, 2022 at 6:29 PM
  Xem kỹ ví dụ chi tiết nha! Chắc chắn sẽ làm được bài tập! Gook luck!
  DeleteReplies
AnonymousJuly 7, 2023 at 8:47 PM
Nếu mà hàm f(x) phức tạp, mình ko tìm đc sup|f''(x)| thì nên làm như nào ạ? (Đề cho độ chính xác và bắt đi tìm n ạ)
ReplyDeleteReplies
AnonymousDecember 17, 2023 at 2:51 AM
giải bài tập 4 đi ạ
ReplyDeleteReplies

Add commentLoad more...

Vui lòng đăng nhập google để bình luậnĐể gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$Ví dụ: $[biểu thức toán]$

ĐỀ THPTQG MÔN TOÁN FILE WORD CÓ LỜI GIẢI

GÕ THUÊ $\LaTeX$

PHIẾU BTTN

FULL CÔNG THỨC

Tìm kiếm trong Blog

Tổng lượt truy cập

FULL KÍ TỰ LATEX

November 04, 2018 $WATERMARK TRONG LATEX$

WATERMARK TRONG LATEX

November 02, 2018

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

December 17, 2018

CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

May 02, 2020 $DẤU NGOẶC TRONG LATEX$

DẤU NGOẶC TRONG LATEX

June 23, 2017

CaolacVC

Khi làm bất cứ việc gì, đừng bao giờ mâu thuẫn nội tại

05/10/2022: Đạt 500.000 lượt truy cập

11/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 2000 lượt truy cập

30/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 3400 lượt truy cập

Menu Footer Widget

Home
About
Contact Us

Created By | Distributed By Blogger Themes

Từ khóa » Các Công Thức Tính Xấp Xỉ

Tính Gần đúng Tích Phân [Công Thức Hình Thang] - CaolacVC

Bài tập rèn luyện

admin

You may like these posts

Post a Comment

7 Comments

Tìm kiếm trong Blog

Tổng lượt truy cập

Tags

Tags

FULL KÍ TỰ LATEX

WATERMARK TRONG LATEX

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

DẤU NGOẶC TRONG LATEX

CaolacVC

Menu Footer Widget

Tính Gần đúng Giá Trị Của Một Biểu Thức

Tính Toán Khoa Học - Chương 5: Tính Gần đúng đạo Hàm Và Tích Phân

Ứng Dụng Vi Phân Tính Gần đúng - Theza2

Ứng Dụng Vi Phân Vào Phép Tính Gần đúng - Mathvn

Tính Xấp Xỉ Tích Phân Xác định Bằng Tổng Riemann - RPubs

Cách Tính Xấp Xỉ

Xấp Xỉ Tuyến Tính | Toán Học - Páginas De Delphi

Một Số Phương Pháp Xấp Xỉ Hàm Số - Tài Liệu Text - 123doc

Phép Xấp Xỉ – Wikipedia Tiếng Việt

Xấp Xỉ Tuyến Tính Và Tính Gần đúng Căn Bậc 2 Của 0,99 Bằng "đạo ...

[Series Phương Pháp Tính] Số Gần đúng Và Sai Số - Dạy Nhau Học

Xấp Xỉ Stirling – Wikipedia Tiếng Việt

Tính Toán Gần đúng Bằng Cách Sử Dụng Vi Sai - Thpanorama

Liên Hệ