Tính Gần đúng Tích Phân [Công Thức Hình Thang] - CaolacVC

Trang chủ » Các Công Thức Tính Xấp Xỉ » Tính Gần đúng Tích Phân [Công Thức Hình Thang] - CaolacVC

Có thể bạn quan tâm

  • Home
  • Contact
  • Edit
Math of CaolacVC Math of CaolacVC

tìm kiếm

HomeGiải tích sốTính gần đúng tích phân [Công thức hình thang] Tính gần đúng tích phân [Công thức hình thang] November 14, 2017

Thông thường muốn tính tích phân xác định của một hàm số trên đoạn $[a,b]$ ta tìm nguyên hàm của hàm đó và thay cận từ $a$ đến $b$. Tuy nhiên trong khoa học và kỹ thuật không phải lúc nào ta cũng tìm được nguyên hàm của một hàm cho trước, tức là đôi khi tồn tại nguyên hàm của một hàm nhưng chúng ta không thể biểu diễn nguyên hàm ấy dưới dạng các hàm sơ cấp. Chính vì vậy mà sẽ có một số giải pháp để tính tính phân những hàm như thế. Thêm vào đó với sự phát triển của công nghệ thông tin, thì sự hỗ trợ của máy tính là rất tuyệt vời, tuy nhiên để máy tính có thể hiểu được thì chúng ta phải có một thuật toán. Từ đó chúng ta sẽ thiết lập các phương pháp tính xấp xỉ mà nếu với sự hỗ trợ của máy tính ta sẽ có những kết quả xấp xỉ hoàn toàn chấp nhận được.

Bài viết này trình bày cách tính gần đúng tích phân bằng công thức hình thang. Mục tiêu bài viết là nêu lên công thức, cách áp dụng và một số thủ thuật thao tác khi làm nhằm phục vụ cho môn học giải tích số (phương pháp tính) ở đại học.

Bài toán: Tính gần đúng tích phân:

$$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$$

Công thức hình thang:

$$\displaystyle \int_a^bf(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$$

trong đó

$\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$ với $n$ là số đoạn được chia trên đoạn $[a,b]$

$\displaystyle x_0=a, x_n=b, x_i=x_0+ih, i=\overline{1,n}$

Vấn đề sai số:

$$\displaystyle \epsilon<\frac{M(b-a)}{12}\times h^2$$

trong đó $\displaystyle M=\max_{[a,b]} \big|f''(x)\big|$

Ví dụ: Tính gần đúng tích phân: $\displaystyle \int_1^5\frac{dx}{x}$ với $n=4$.

+) Ta tính $\displaystyle h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{5-1}{4}=1$

+) $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}$

Bảng các giá trị $x_i$ và $f(x_i)$ (Việc làm này giúp cho việc áp dụng công thức được rõ ràng rành mạch và không bị sai)

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}x_i & x_0=a & x_1 & x_2 & x_3 & x_4=b\\\hline f(x_i) &1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{5}\end{array}$$

Áp dụng công thức hình thang ta được:

$\displaystyle \int_1^5\dfrac{1}{x}dx\approx\dfrac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{3}f(x_i)\right]$

$\displaystyle \int_1^5\dfrac{1}{x}dx\approx\dfrac{1}{2}\Big[f(x_0)+f(x_4)+2\left(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right)\Big]$

$\displaystyle \int_1^5\dfrac{1}{x}dx\approx\dfrac{1}{2}\left[1+\dfrac{1}{5}+2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)\right]=\dfrac{101}{60}$

Vấn đề sai số

$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x},f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}, f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$

$\displaystyle M=\max_{[a,b]}\big|f''(x) \big|=\max_{[1,5]}\left|\dfrac{2}{x^3}\right|=2$

Suy ra

$\displaystyle \epsilon<\dfrac{M(b-a)}{12}\times h^2=\dfrac{2\times (5-1)}{12}\times 1^2=\dfrac{2}{3}$

Nhận xét: Nếu $n$ càng lớn, tức là ta chia đoạn $[a,b]$ thành càng nhiều phần hay thuật ngữ giải tích gọi là "mịn" thì giá trị của tích phân ta càng chính xác. Điều này chỉ có ý nghĩa khi có sự hỗ trợ của máy tính. Với tốc độ của máy tính thì việc cho $n$ bằng trăm, ngàn, thậm chí triệu thì việc tính toán cũng chỉ xảy ra trong vài giây.

Lưu ý là việc chia đoạn $[a,b]$ thành $n$ phần không nhất thiết phải bằng nhau, tức không phụ thuộc vào cách chia và cách chọn mốc $x_i$, tuy nhiên ta nên chọn cách đều cho dễ thao tác. Đối với lập trình thì việc chọn mốc cách đều giúp ta có thể xây dựng được một vòng lặp bằng một số câu lệnh đơn giản một cách dễ dàng.

Bài tập rèn luyện

Bài tập 1. $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x+1}$ với $n=5$

+) Ta tính $h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{1-0}{5}=\dfrac{1}{5}$

+) Bảng các giá trị ${{x}_{i}}$ và $f\left( {{x}_{i}} \right)$

$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ \hline x_i & 0 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5} & 1 \\ \hline f(x_i) & 1 & \dfrac{5}{6} & \dfrac{5}{7} & \dfrac{5}{8} & \dfrac{5}{9} & \dfrac{1}{2} \\ \hline \end{array}$$

+) Áp dụng công thức hình thang ta có

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dx}{x+1}}\approx \dfrac{h}{2}\left[ f\left( a \right)+f\left( b \right)+2\sum\limits_{i=1}^{4}{f\left( {{x}_{i}} \right)} \right]$

$=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{2}\left[ \left( 1+\dfrac{1}{2} \right)+2\left( \dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{5}{9} \right) \right]$

$=\dfrac{1753}{2520}$

Vậy $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dx}{x+1}}\approx \dfrac{1753}{2520}$

Vấn đề sai số

$f\left( x \right)=\dfrac{1}{x+1}$

$\Rightarrow f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

$\Rightarrow f''\left( x \right)=\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}$

$\Rightarrow M=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f''\left( x \right) \right|=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| \dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}} \right|=2$

$\Rightarrow \varepsilon <\dfrac{M\left( b-a \right)}{12}\times {{h}^{2}}=\dfrac{2\left( 1-0 \right)}{12}\times {{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{30}$

Bài tập 2. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_2^{3.5}\frac{1+x}{1-x}dx$ với $n=12$

Bài tập 3. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{dx}{1+x^2}$ với $n=5$

Bài tập 4. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{\sin x}{x}dx$ với $n=5$

Bài tập 5. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ với $\epsilon=10^{-2}$

Bài tập 6. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_1^{2}\frac{dx}{1+x^2}$ với $\epsilon=0.02$

Bài tập 7. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_1^{3}\sqrt{1+3x}dx$ với $n=5$

Bài tập 8. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{2}\sqrt{1+x}dx$ với $n=5$

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH SỐ

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC HÌNH THANG

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC PARABOL (CÔNG THỨC SIMPSON)

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI NGUYÊN

Tags: 1000 Đại học Giải tích số
  • Newer
  • Older
admin

admin

You may like these posts

Post a Comment

7 Comments

  1. AnonymousJanuary 5, 2022 at 4:56 PM

    Cảm ơn bài viết

    ReplyDeleteReplies
      Reply
  2. AnonymousJune 7, 2022 at 9:05 AM

    nếu trong bài tâp không cho n (số đoạn chia) thì sẽ lấy n là bao nhiêu ạ

    ReplyDeleteReplies
    1. adminJune 7, 2022 at 9:59 AM

      Câu hỏi khá hay! Nếu $n$ càng lớn thì kết quả càng chính xác, giờ thì bạn muốn chọn bao nhiêu thì tùy, học tập thì chọn $n$ nhỏ, ví dụ $n=10$, còn nếu muốn chính xác hơn bạn cho $n$ lớn hơn, hoặc nếu đề cho sai số thì dựa vào công thức sai số để tìm ra $n$

      DeleteReplies
        Reply
      2. Reply
  3. AnonymousJuly 7, 2022 at 3:47 AM

    có lời giải chi tiết bài tập không ạ

    ReplyDeleteReplies
    1. adminJuly 7, 2022 at 6:29 PM

      Xem kỹ ví dụ chi tiết nha! Chắc chắn sẽ làm được bài tập! Gook luck!

      DeleteReplies
        Reply
      2. Reply
  4. AnonymousJuly 7, 2023 at 8:47 PM

    Nếu mà hàm f(x) phức tạp, mình ko tìm đc sup|f''(x)| thì nên làm như nào ạ? (Đề cho độ chính xác và bắt đi tìm n ạ)

    ReplyDeleteReplies
      Reply
  5. AnonymousDecember 17, 2023 at 2:51 AM

    giải bài tập 4 đi ạ

    ReplyDeleteReplies
      Reply
Add commentLoad more...

Vui lòng đăng nhập google để bình luậnĐể gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$Ví dụ: $[biểu thức toán]$

LỚP 10 LỚP 11 LỚP 12 LATEX ĐẠI HỌC CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12 CHƯƠNG 1: Khảo sát Hàm Số Bài 1: Tính đơn điệu Bài 2: Cực trị hàm số Bài 3: GTLN - GTNN Bài 4: Đường tiệm cận Bài 5: Khảo sát & Vẽ đồ thị Bài 6: Bài toán thực tiễn --- MỞ RỘNG --- Dáng đồ thị hay gặp Đơn điệu hàm hợp (VDC) Bài tập đơn điệu 8+ Đơn điệu hàm bậc 3 chứa m Tìm m để hàm đơn điệu Công thức giải nhanh bậc 3 Phương pháp cô lập m Dùng đơn điệu CM BĐT Cực trị hàm số (Bản cũ) Cực trị hàm trùng phương Cực trị hàm trị tuyệt đối Tìm Min Max bằng Casio Min Max chứa trị tuyệt đối Tịnh tiến đồ thị Phương pháp ghép trục (8+) CHƯƠNG 2: Toạ độ Không gian Bài 1: Véctơ trong KG Bài 2: Hệ trục & Toạ độ --- MỞ RỘNG --- Toạ độ chân đường cao Tâm tỉ cự CHƯƠNG 3: Mẫu số liệu Bài 1: Khoảng tứ phân vị Bài 2: Phương sai & Độ lệch CHƯƠNG 4: Nguyên Hàm - Tích Phân Bài 1: Nguyên hàm Bài 2: Tích phân Bài 3: Ứng dụng hình học --- MỞ RỘNG --- Nguyên hàm (Lý thuyết) Bài tập NH Hữu tỷ Phương pháp Đổi biến số Phương pháp Từng phần Một số nguyên hàm đặc thù Tích phân hàm ẩn Phương pháp che nguyên hàm Tích phân hàm hữu tỷ (NC) CHƯƠNG 5: PP Toạ độ Oxyz Bài 1: Phương trình mặt phẳng Bài 2: Phương trình đường thẳng Bài 3: Công thức tính góc Bài 4: Phương trình mặt cầu --- MỞ RỘNG --- Bài tập PT Mặt phẳng Khoảng cách điểm đến MP PT Đường thẳng (Lý thuyết) Giao điểm ĐT và MP Các dạng BT viết PTĐT Giao tuyến 2 mặt phẳng Đường vuông góc chung CHƯƠNG 6: Xác suất Bài 1: Xác suất có điều kiện Bài 2: Công thức XS toàn phần Bài 3: Công thức Bayes CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 CHƯƠNG 1: Lượng giác Bài 1: Giá trị lượng giác Bài 2: Công thức lượng giác Bài 3: Hàm số lượng giác Bài 4: PTLG Cơ bản --- MỞ RỘNG --- Tóm tắt công thức LG Min Max Hàm lượng giác PT bậc 2 với hàm LG PT đưa về cơ bản Bài tập PTLG Chu kỳ hàm lượng giác CHƯƠNG 2: Dãy số - Cấp số Bài 1: Dãy số Bài 2: Cấp số cộng Bài 3: Cấp số nhân CHƯƠNG 3: Mẫu số liệu Bài 1: Các số đo xu thế trung tâm CHƯƠNG 4: QH Song song KG Bài 1: Đường thẳng & Mặt phẳng Bài 2: Hai đường thẳng song song Bài 3: ĐT & MP song song Bài 4: Hai mặt phẳng song song Bài 5: Phép chiếu song song --- MỞ RỘNG --- Cách vẽ hình KG (Đang cập nhật) Xác định giao tuyến Xác định thiết diện (Đang cập nhật) Giao điểm ĐT và MP Ba điểm thẳng hàng (Đang cập nhật) Định lí Menelaus (Có lời giải) CHƯƠNG 5: Giới hạn - Liên tục Bài 1: Giới hạn dãy số Bài 2: Giới hạn hàm số Bài 3: Hàm số liên tục --- MỞ RỘNG --- Bài toán CM tồn tại nghiệm CHƯƠNG 6: Mũ & Logarit Bài 1: Luỹ thừa với số mũ thực Bài 2: Logarit Bài 3: Hàm số mũ & Logarit Bài 4.1: Phương trình mũ Bài 4.2: Phương trình Logarit Bài 4.3: Bất PT Mũ, Logarit --- MỞ RỘNG --- Tóm tắt công thức Tìm TXĐ hàm số mũ Tính tổng đặc thù Tìm số chữ số Lũy thừa Logarit (Cũ) Hàm số mũ, log (Cũ) Bất phương trình mũ (Cũ) CHƯƠNG 7: QH Vuông góc KG Bài 1: Hai ĐT vuông góc Bài 2: ĐT vuông góc MP Bài 3: Phép chiếu vuông góc Bài 4: Hai MP vuông góc Bài 5: Khoảng cách Bài 6: Thể tích --- MỞ RỘNG --- CM Đường vuông góc Mặt Góc giữa ĐT và MP Xác định góc giữa 2 MP Khoảng cách từ Điểm đến MP CHƯƠNG 8: Quy tắc xác suất Bài 1: Biến cố hợp, giao, độc lập Bài 2: Công thức cộng XS Bài 3: Công thức nhân XS CHƯƠNG 9: Đạo hàm Bài 1: Định nghĩa đạo hàm Bài 2: Các quy tắc đạo hàm Bài 3: Đạo hàm cấp hai --- MỞ RỘNG --- Phương trình tiếp tuyến CHUYÊN ĐỀ: Phép biến hình Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép quay - Đối xứng tâm Phép vị tự Phép đồng dạng CHUYÊN ĐỀ: Lý thuyết đồ thị (Nội dung đang cập nhật) CHUYÊN ĐỀ: Vẽ kĩ thuật (Nội dung đang cập nhật) CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10 CHƯƠNG 1: Mệnh đề - Tập hợp Bài 1: Mệnh đề Bài 2: Tập hợp & Phép toán --- MỞ RỘNG --- Giao hợp chứa tham số m CHƯƠNG 2: BPT Bậc nhất 2 ẩn Bài 1: BPT Bậc nhất 2 ẩn Bài 2: Hệ BPT Bậc nhất 2 ẩn CHƯƠNG 3: Hệ thức lượng Bài 1: GTLG góc 0 đến 180 Bài 2: Hệ thức lượng tam giác --- MỞ RỘNG --- Công thức hệ thức lượng CM Đẳng thức trong tam giác CHƯƠNG 4: Véctơ Bài 1: Véctơ & các khái niệm Bài 2: Tích véctơ và một số Bài 3: Véctơ trong Oxy Bài 4: Tích vô hướng --- MỞ RỘNG --- CM Đẳng thức véctơ Xác định điểm thoả ĐK Phân tích theo 2 véctơ CM Ba điểm thẳng hàng Tìm D để là HBH Tìm trực tâm, chân đường cao Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm chân đường phân giác CHƯƠNG 5: Số đặc trưng (Đơn) Bài 1: Số gần đúng & Sai số Bài 2: Số đo xu thế trung tâm Bài 3: Số đo độ phân tán CHƯƠNG 6: Hàm số - Đồ thị Bài 1: Hàm số Bài 2: Hàm số bậc hai Bài 3: Dấu tam thức bậc 2 Bài 4: PT quy về bậc hai --- MỞ RỘNG --- Tìm tập xác định hàm số Tìm m để BPT vô nghiệm Bài tập xác định Parabol PT chứa ẩn ở mẫu PT chứa trị tuyệt đối CHƯƠNG 7: PP Toạ độ Oxy Bài 1: Phương trình đường thẳng Bài 2: Đường thẳng trong Oxy Bài 3: Phương trình đường tròn Bài 4: Ba đường Conic --- MỞ RỘNG --- Bài tập Viết PT đường thẳng Bài tập Viết PT đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn Elip (Lý thuyết) Tìm các thông số Elip Các bài toán toạ độ (HK1) CHƯƠNG 8: Đại số tổ hợp Bài 1: Quy tắc đếm Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp Bài 3: Nhị thức Newton --- MỞ RỘNG --- Phương trình P-A-C CHƯƠNG 9: Xác suất cổ điển Bài 1: Biến cố & Định nghĩa XS Bài 2: Tính xác suất cổ điển HƯỚNG DẪN LATEX TRA CỨU & NHẬP MÔN FULL KÍ TỰ LaTeX (TRA CỨU) LaTeX là gì? Font chữ trong LaTeX Một số lệnh thường dùng Tự định nghĩa lệnh (Newcommand) SOẠN THẢO CƠ BẢN Các môi trường Toán cơ bản Tạo Mục Lục Môi trường Liệt kê (List) Đánh số Định lý, Định nghĩa... Chèn Watermark (Bản quyền) GÕ CÔNG THỨC TOÁN Cách gõ công thức Toán Khoảng cách trong công thức Căn chỉnh vị trí công thức Phân số & Liên phân số Chỉ số trên & Chỉ số dưới Dấu ngoặc (Cơ bản) Dấu ngoặc (Nâng cao) Ma trận & Định thức Viết ký hiệu phần nghìn Ký hiệu Cung AB (Hình học) VẼ HÌNH & BẢNG BIẾN THIÊN Vẽ hình bằng gói TikZ Vẽ bảng biến thiên TOÁN CAO CẤP GIẢI TÍCH Đề GK1 Giải tích 1 - ĐHBK Hà Nội Vô cùng bé (Infinitesimal) Dãy số (Bài tập có lời giải) Nguyên lý Bolzano Weierstrass Khai triển Taylor Maclaurin Chuỗi số Chuỗi số dương Chuỗi số có dấu bất kỳ Chuỗi luỹ thừa Chuỗi hàm Sự hội tụ đều của chuỗi hàm Tích phân bất định hàm hữu tỷ Tích phân bội hai (Đổi thứ tự) Đổi biến số tích phân bội hai Đổi biến sang toạ độ cực GIẢI TÍCH SỐ Công thức hình thang Công thức Simpson Phương pháp chuỗi nguyên Phương pháp xấp xỉ Picard PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Mở đầu về PTVP PTVP Tách biến PTVP Thuần nhất PT đưa về dạng thuần nhất PTVP Tuyến tính cấp 1 (P1) PTVP Tuyến tính cấp 1 (P2) PTVP Đẳng cấp PTVP Toàn phần PT ĐẠO HÀM RIÊNG PT ĐHR Tuyến tính cấp 1 Phương trình Parabolic Phương trình Hyperbolic ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận & Các phép toán Phép nhân hai ma trận Định thức & Tính chất Bài tập Không gian Vector ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG Bài tập ĐSĐC (Có lời giải) ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN Tài liệu Độ đo (Sưu tầm) LÝ THUYẾT TOÁN TỬ Bài tập Lý thuyết toán tử TOPO (Đang cập nhật)

Tổng lượt truy cập

Tags

  • 1000
  • Lớp 12
  • Lớp 11
  • Lớp 10
  • Đại học
  • LaTeX
  • Giải tích
  • Mũ-Logarit
  • Blogspot
  • Oxyz
  • bt
  • Bài toán hay
  • Lớp 9
  • etc
  • HK1 LỚP 10
  • Nguyên Hàm - Tích Phân
  • Phương trình vi phân
  • Skills Giải Toán
  • Tình Yêu Toán
  • office
  • Oxyz VDC
  • Số phức
  • Bài tập
  • Giải tích số
  • Software
  • Đại Số Tuyến Tính
  • 10.000
  • 5000
  • HHKG
  • Lượng Giác
  • Phiếu BTTN
  • Phương trình đạo hàm riêng
  • Tích Phân Bội
  • BTTN
  • Casio
  • Công Thức Tính Nhanh
  • Hỏi - Đáp
  • Nuôi Dạy Con
  • Rèn Luyện Tư Duy
  • Số Phức VDC
  • Toán Tiếng Anh
  • Đề Thi THPT
  • Đề thi
  • Động Lực Trong Cuộc Sống
  • Ứng dụng đạo hàm VDC
  • 11 GK1
  • Chuyên Đề
  • Code Cũ
  • Giữa HK2 lớp 10
  • HK1 LỚP 11
  • HK2 Lớp 11
  • Hoá Hữu Cơ
  • Ký Hiệu Hoá Học
  • Kỷ Niệm
  • Luận Văn
  • My Style
  • Mũ-Loga VDC
  • Nón Trụ Cầu
  • Sự Thật
  • Thần chú Toán
  • Trick
  • Tích Phân VDC
  • VB.NET
  • XS CÓ ĐK
  • Xác suất - thống kê
  • Xác suất có điều kiện
  • Ôn vào 10
  • Đơn Điệu VCD
  • Đại số đại cương
FULL KÍ TỰ LATEX

FULL KÍ TỰ LATEX

November 04, 2018 WATERMARK TRONG LATEX

WATERMARK TRONG LATEX

November 02, 2018 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

December 17, 2018 CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

May 02, 2020 DẤU NGOẶC TRONG LATEX

DẤU NGOẶC TRONG LATEX

June 23, 2017

CaolacVC

Khi làm bất cứ việc gì, đừng bao giờ mâu thuẫn nội tại

05/10/2022: Đạt 500.000 lượt truy cập

11/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 2000 lượt truy cập

30/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 3400 lượt truy cập

5/1/2026: Đạt 2.238.000 lượt truy cập

Menu Footer Widget

  • Home
  • About
  • Contact Us
Created By | Distributed By Blogger Themes

Từ khóa » Các Công Thức Tính Xấp Xỉ