Tính ổn định Của Một Lớp Hệ Rời Rạc Có Trễ - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (31 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Cao đẳng - Đại học
>>
3. Sư phạm

Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (627.24 KB, 31 trang )

1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH--------------------PHẠM THỊ MINH TÂMTÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚPHỆ RỜI RẠC CĨ TRỄCHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCHMÃ SỐ: 60 46 01LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học:TS. Phan Lê NaNGHỆ AN - 2011 2MỤC LỤCTrangLời nói đầu ……………………………...…………………………………..3Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị ............................................................ .51.1. Một số yếu tố về đại số tuyến tính ......................................................... .51.2. Một số yếu tố về phương trình sai phân .................................................. .71.3. Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân ......... .81.4. Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính………………………………….....81.5. Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến …………………………………...101.6. Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ…………………………………….11Chương 2. Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ ……………………..162.1. Bài tốn ổn định hóa…………………………………………………...162.2. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính ……………………………………...162.3. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ .................................................. 172.4. Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tínhcó trễ ....................................................................................................... 202.5. Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ .......................................... 21Kết luận ………………………………………………………………...…. 30Tài liệu tham khảo ……………………………………………………….... 31 3LỜI NÓI ĐẦUMột lớp quan trọng của hệ động lực hỗn hợp là lớp thuộc hệ chuyểnđổi theo thời gian rời rạc mà thường xuất hiện trong các dạng toán của các hệdi truyền, các hệ Lotka-Volterra, các hệ điều khiển tăng trưởng kinh tế tồncầu, kiểm sốt các loại bệnh dịch vv… Một hệ biến đổi theo thời gian có thểđược biểu diễn dưới dạng một phương trình sai phânx  k  1  f  x  k  , x  k  h   , k .Trong đó : h  1,  f . :   M  là một tập hợp các hàm số từntới2nđược tham số hoá bởi tập hợp hữu hạn M và   M là một số khơng đổi đượcgọi là tín hiệu (chiến lược chuyển đổi). Trong trường hợp cụ thể giá trị của tại giá trị đã cho có thể phụ thuộc vào x  k  . Các hệ có sự chuyển đổi theothời gian có nhiều ứng dụng trong việc kiểm sốt các hệ thống cơ, điện, viễnthông và trong các lĩnh vực khác.Ổn định cho các hệ được chuyển đổi là phải tìm ra điều kiện đảm bảoổn định tiệm cận cho một giá trị chuyển đổi tùy ý   M . Nói cách khác, mộthệ thống là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu khi ta thay các dữkiện ban đầu thì hệ chỉ thay đổi chút ít và về lâu dài hệ có xu hướng trở vềtrạng thái cân bằng lúc ban đầu của hệ. Những vấn đề trên đã thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà toán học. Trên cơ sở các tài liệu về phương trình viphân và lý thuyết ổn định, áp dụng phương pháp thứ hai Lyapunov, một sốbất đẳng thức ma trận, luận văn này đề cập đến việc trình bày một số kết quảliên quan đến tính ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định vững) của hệ ở trạngthái cân bằng x  0 . Mục đích của luận văn là dựa vào bài báo của tác giả HyĐức Mạnh (2006), V.N.Phát (2002), A.S.Matveev (2000), A.V.Savkin(2002) để nghiên cứu về tính ổn định, ổn định hố, ổn định vững của hệchuyển đổi tuyến tính có trễ.Luận văn được chia làm hai chương:Chương 1:Trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm các nội dung sau:1.1 Một số yếu tố về đại số tuyến tính. 41.2. Một số yếu tố về phương trình sai phân.1.3. Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân.1.4. Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính.1.5. Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến.1.6. Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ.Chương 2: Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ là nội dungchính của luận văn gồm các nội dung sau:2.1. Bài tốn ổn định hóa.2.2. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính.2.3. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ.2.4. Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tínhcó trễ.2.5. Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ.Luận văn được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của cô giáo TS. Phan Lê Na. Tác giả xin được bày tỏ lịngbiết ơn sâu sắc nhất của mình đến Cô. Nhân dịp này, tác giả xin chân thànhcảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán –Trường Đại Học Vinh.Tác giả xin được cảm ơn q Thầy giáo, Cơ giáo tổ Giải tích trongkhoa tốn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập.Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, đặc biệt là Ban GiámHiệu, Tổ Văn hóa Trường TCN Hưng Yên cùng các anh chị trong lớp Caohọc 17 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quátrình học tập nghiên cứu.Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song Luận văn khơng tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót. Kính mong q Thầy Cơ và bạn đọc đóng góp ý kiến đểluận văn được hoàn thiện hơn.Nghệ An, tháng 12 năm 2011 5Chương 1MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊChương này trình bày một số kết quả về phương trình sai phân, một sốcơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân. Cụ thể là sẽ trìnhbày một số kiến thức liên quan đến phương trình sai phân, các khái niệm vềổn định và ổn định tiệm cận; sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạcphi tuyến có trễ và một số kiến thức về đại số tuyến tính cần dùng trongluận văn.1.1. Một số yếu tố về đại số tuyến tínhMa trận A  aij  , i  1, m , j  1, n , với aij có m hàng và n cột gọi làma trận cấp  m  n  .Giả sử R nm là tập hợp tất cả các ma trận cấp  n  m  , chuyển vị của matrận A kí hiệu là A' , I và I m là ma trận đơn vị trong R nn và R nm tương ứng.Ma trận Q Rnn là xác định không âm (Q ≥ 0) nếu x'Qx  0 , đối với tấtcả xn. Nếu x'Qx  0 ( x'Qx  0 , tương ứng), đối với tất cả x ≠ 0, thì Q là xácđịnh dương (âm, tương ứng) và được kí hiệu bởi Q > 0, (Q < 0, tương ứng).Ta thấy rằng Q > 0 (Q < 0, tương ứng) khi và chỉ khi  0 : x'Qx   x , x 2n(   0 : x'Qx   x , x 2n, tương ứng).Giả sử A là ma trận vuông cấp  n  n  , A   aij  , i, j  1, n , chuẩn của matrận A sẽ được xác định bởi1 n n2 2A    aij  . i 1 j 1Véctơ v n, v  0 gọi là véctơ riêng của ma trận A -  n  n  ứng với giá trịriêng  (số thực hay số phức) nếu Av  v . Tập các giá trị riêng của A kí hiệu là  A . Các giá trị riêng của A được xác định từ phương trình đặc trưng của A làdet   I  A  0 hay 6p      n  a1 n1  ...  an1  an  0.Nếu ma trận A  A' thì A được gọi là ma trận đối xứng. Ta ln có AA' làđối xứng và  AB   B' A' .'Ma trận A được xác định dương thì tồn tại ma trận ngược A1 và ta cókhẳng định sau đây.1.1.1. Định lý. (Định lý bổ sung Schur) Giả sử các ma trận M có cấp (n  n),P có cấp (n  m), Q có cấp (m  m) sao cho Q  0, Q  Q' , thì P M' 1 '  0  P  M Q M  0. M Q 1.1.2. Định lý. Cho P  0, F '  k  F  k   I , và M, N là các ma trận hằng. Nếutồn tại một số   0 sao cho  I – M'PM  0 thì khi đó ta có các bất đẳng thứcma trận sau A  MF  k  N  P  A  MF  k  N   A' R 1 A   N ' N ,'trong đó1R : P 1  MM ' .1.1.3. Định lý. Các điều kiện sau tương đươngi) A là ma trận xác định dương .ii) c  0,  Ax, x   c x , x 2n.1.1.4. Định lý. (Sylvester conditions) Ma trận A -  n  n  là xác định dương nếudet  Di  > 0 , i  1,2,..., n và xác định âm nếu  1 det  Di  > 0 , i  1,2,..., n .iTrong đóaD1  a11 , D2   11 a21 a11 a12a12  , D3   a21 a22a22 a 31 a32 , …, Dn  A .a33 a13a23Ba bổ đề dưới đây khá quan trọng và được sử dụng ở phần sau.Bổ để 1. Giả sử A, B là các ma trận vuông (n  n). Khi đó nếu I  AB khảnghịch thì I + BA khả nghịch, hơn nữaIĐiều ngược lại cũng đúng. BA   I  B  I  AB  A.11 7Bổ đề 2. Giả sử A, B, C là các ma trận vng (n n), B khả nghịch. Khi đó tacó các khẳng định sau:i) B + AC khơng suy biến khi và chỉ khi I  CB1 A là không suy biến.ii) Nếu B + AC không suy biến thì B  AC 1 B 1  B 1 A  I  CB 1 A CB 1.1Bổ đề 3. Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng cấp, với  là một sốdương nào đó ta ln có bất đẳng thức sau F  G   F  G   1    F ' F  1   1  G'G.'1.2. Một số yếu tố về phương trình sai phânMục này trình bày các kiến thức cơ bản của phương trình sai phân.Xét hệ phương trìnhx  k  1  f  k , x  k   ,trong đó f . :nnk  0,1, 2...(1.1)cho trước.Khi đó với trạng thái ban đầu x  0   x0 hệ ln có nghiệm xác định bởi cơngthức truy hồix 1  f  0, x0  , x  2   f 1, f  0, x  0   ,...Khác với hệ vi phân, sự tồn tại của hệ nghiệm (1.1) là đơn giản, không cầnđiều kiện liên tục cũng như Lipschitz của hàm f . . Trường hợp hệ (1.1) làtuyến tính dạngx  k  1  A  k  x  k   g  k  ,(1.2)thì với điều kiện ban đầu x  0   x0 tùy ý và dãyg  g  0 , g 1 ,..., g  k  1 ,... ,nghiệm x  k  tại bước k  0 cho bởi công thức Cauchyk 1x  k   F  k , 0  x0   F  k , s  1g  s s 0trong đó F  k , s  là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhấtx  k  1  A  k  x  k  ,k. 8Ta có thể biểu diễn cơng thức của F  k , s  như sauF  k , s   A  k  1 . A  k  2  ... A  s  ,k  s 0,F k, k   I.Nếu A . là ma trận hằng số thì F  k , s   Ak s , k  s  0 và khi đó nghiệm củahệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc làk 1x  k   Ak x0   Ak  s 1 g  s  .s 0Bất đẳng thức ma trận dưới đây rất quan trọng khi ta nghiên cứu tính ổn địnhvà ổn định hóa được của hệ phương trình rời rạc.1.3. Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phânXét hệ (1.1) ở trên ta có định nghĩa1.3.1. Định nghĩa. Hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi   0 , k0 tồn tại  0 (  phụ thuộc vào  , k0 ) sao cho với mọi nghiệm x  k  của hệ màx  0    thì x  k    với mọi k  k0 .1.3.2. Định nghĩa. Hệ là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có một số  0  0x  k   0 với mọi nghiệm x  k  mà x  0    0 .sao cho limk 1.4. Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tínhMục này trình bày một số khái niệm về tính ổn định và ổn định tiệmcận theo Lyapunov.Xét hệ rời rạc tuyến tínhx  k  1  Ax  k  ,k(1.3)với x  0   x0 thì nghiệm của (1.3) cho bởi x  k   Ak x0 .Để x  k   0 khi k   theo định nghĩa ổn định tiệm cận thì hoặc A  q  1hoặc Ak  0  k    , A là ổn định nếu phần thực của tất cả các giá trị riêngcủa A là âm. Do đó ta có định lý sau. 91.4.1. Định lý. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong hai điềukiện sau xẩy rai) Tồn tại số q : 0  q  1 sao cho A  q  1 .ii)   1 với mọi     A :  : det A   E  0.Bây giờ ta xét hệ tuyến tính dừngx  k  1  A  k  x  k  ,k(1.4)1.4.2. Định lý. Đối với hệ (1.4) ta có khẳng định saui) Nếu A  k   A  C  k  trong đó A là ma trận ổn định và C  k   a khiđó hệ sẽ ổn định với a đủ nhỏ.ii) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại q   0,1 sao cho A  k   q vớimọi k .1.4.3. Ví dụ.Xét hệ phương trình11xxykk1k2(k  1)4(k  1).1y  yk k 12(k  1)Xét tính ổn định tiệm cận của hệ.Giải.Ta có 1 2(k  1)A(k)   0Vì A(k) cận.14(k  1) ,1 2(k  1) k.33  q  1 nên theo định lý 1.4.2 thì hệ là ổn định tiệm4(k  1) 4 101.5. Sự ổn định của các hệ rời rạc phi tuyếnXét hệ rời rạc phi tuyếnx  k  1  f  k , x  k   ,k (1.5)1.5.1. Định lý. Trong (1.5), với f(k, x) = A(k)x + g(k, x), giả sửi) Tồn tại q  (0, 1) sao cho A(k)  q, k ii) g(k, x)  L(k) x , k  q, k với lim supL(k)  0k Khi đó hệ (1.5) là ổn định tiệm cận.Định lý dưới đây là một áp dụng phương pháp thứ hai của Lyapunov chohệ rời rạc.1.5.2. Định lý.(Lyapunov) Nếu tồn tại hàm số V(x):nthoả mãn:i) 1  0, 2  0 : 1 x  V  x   2 x .22ii) 3  0 : V  x   V ( x  k  1  V  x  k    3 ( x  k ) .Khi đó hệ (1.5) là ổn định tiệm cận. Nếu vi phạm một trong hai điều kiện trênthì hệ (1.5) là khơng ổn định.Khi (1.5) có dạng tuyến tính dừng, ta có hệ quả.Hệ quả 1. Xét hệ phương trìnhx  k  1  Ax  k  .kNếu tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q sao choA ' PA  P  Q  0thì hệ phương trình trên là ổn định tiệm cận.1.5.3. Ví dụXét hệ phương trình11x(k1)x(k)y(k),k 28 y(k  1)  1 x(k)  1 y(k)24trong đó, 11 1 2A 1 21  1 28 'A 1 1  841 2 . .1 4 4 0Lấy ma trận P  .06 3Ta thấy P > 0 và A 'PA  5 45 4.9 16 3 4 0 Q  P  A 'PA   0 6   5 45   149  5 16   45 4   0.87 16 Vì P  O,Q  0 thỏa mãn A'PA  P  Q  0.Do đó theo hệ quả 1 hệ trên là ổn định tiệm cận.1.6. Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễXét hệ rời rạc có trễx  k  1  Ax  k   Bx  k  h  ,trong đó x . nk(1.6), A, B  Rnn , h  0 cho trước.Điều kiện ban đầu của hệ có dạngx  0   x  1  x  h   x0 .Với mỗi x0 cho trước có nghiệm xác định, nghiệm ở bước thứ k được truyhồi k  h bước trước đó.1.6.1. Định nghĩa. Hệ (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận không phụ thuộcvào độ trễ nếu với bất kỳ h  0 nào đó thì hệ cũng là ổn định tiệm cận.1.6.2. Định lý. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sauxẩy rai) Tồn tại một số hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho 12 X(P) B'PA  A'PB W   0 ,(1.7)trong đóX  P   A ' PA  W  B ' PB  P.ii) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương , Z saocho X() A' B  B' A Z   0trong đóX  p   B' pB  Z  A ' pAp.1.6.3. Ví dụ.Xét hệ phương trình:111xxxy k hk1kkh444,111y  x  y  y k 1 4 k 4 k 4 k htrong đó 1 4A 1 41B4 0 1 10 4 4'A ,11 0441104  B'  4.1114 44Lấy16 0  2 1P,Q 1 6 . 0 16 1 1 Thì P, Q là xác định dương và B'PB  .12Khi đó(1.8) 131 0W  Q  B'PB    0,04vớiM1W21 0 11 0.3, N   W B'PA  10  0 22Ta có 11 2   0.N ' N A 'PA Q  P  35 2  4Suy ra tồn tại các ma trận P, W thỏa mãn của định lý nên hệ phương trìnhtrên là ổn định tiệm cận.Hệ quả 2. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra:i) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R, A và W nghiệmđúng hệA'A 1A   R  P 11B B'A  P(1.9)ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương  , S,  và nghiệm đúng hệB'  1 B   S     A '   (1.10)Hệ quả 3. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu A hoặc B không suy biến và tồntại hai số dương p, q sao cho1 1 1p q(1.11)và các ma trận đối xứng xác định dương X, Q thoả mãn phương trình Lyapunovtổng quátpA'XA + qB'XB + Q = X.(1.12)Hệ quả 4. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một số a dương sao choA'A  aI  a BB'aI  .1(1.13) 141.6.4. Ví dụ.Xét hệ phương trình x(k  1)  x(k  1) aa1 a1 ax(k) y(k) x (k  h) y(k  h),k 2222aa1 a1 ax(k) y(k) x (k  h) y(k  h),h  02222trong đóAa2a2 1 aa 2 2, B 1 aa221 a 2 , 0 < a < 1.1 a 2 Tìm điều kiện của a để hệ ổn định tiệm cận.Giải.Ta cóA=  aa 2 2'A  aa2 2a2a2 1 a2B 1 a2AA '  aI  a2a2a 2 ,a2 1 a1 a 2 2' B  1 a1 a 2 2a  a2  2a  a2  21 a 2 .1 a 2 a 2  1 0+a a  0 12a 01 0=  a  (a  a) I .0 a0 1 1 a2'BB  aI   1 a21  a  1  a 2 21  a  1  a 2 21 a 1 02 + a1 a 0 12  150  a 01  a 0 1 a   0 a  (1  a  a) I .Theo hệ quả 4 để hệ là ổn định tiệm cận thìAA'  aI  a  BB'  aI    AA'  aI   BB'  aI   aI1  a  a  I (1  a  a) I  aI (a  a)(1  a  a) I 2  aIa a  1  a  a   a, hay 0  a a(1  a) .Vậy với 0  a  a(1  a) thì hệ trên là ổn định tiệm cận. 16Chương 2TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ RỜI RẠC CĨ TRỄChương này trình bày bài tốn ổn định hóa, các khái niệm, tính chấtvề sự ổn định, ổn định hóa của hệ tuyến tính; các khái niệm, tính chất về sựổn định, ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ và một số điều kiện đủ cho tínhổn định của hệ.2.1. Bài tốn ổn định hóaXét hệ điều khiển rời rạc x(k  1)  f (k, x(k),u(k),k nm x(k)  ,u(k) (2.1)2.1.1. Định nghĩa. Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàmu(k) = h(x(k)):nmsao cho với hệ phương trình sai phânx(k + 1) = f(k,x(k)), h(k), k +là ổn định tiệm cận. Hàm h(k) được gọi là hàm điều khiển ngược.2.2. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính.Xét hệ phương trìnhx  k  1  Ax  k   Bu  k  , k +(2.2)trong đó A  Rnn và B  Rnm .2.2.1. Định lý. Hệ (2.2) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứngxác định dương P sao cho X(P) B'PA  A'PB B'PB   0,(2.3)trong đó X(P) = A'PA - P, với điều khiển ngược u(k)= -(B'PB)-1B'PAx(k).2.2.2. Ví dụ.Xét tính ổn định hố của hệ phương trình 1711x(k1)x(k)x 2 (k)  u1 (k)  u 2 (k),k 1122 x (k  1)  1 x (k)  u (k)22 24.Giải.Ta có1A2 01 1 1 1 12 ,1B B 0 1 .1 0 141 0Ta thấy B khả nghịch, lấy P  I   , khi đó với điều khiển ngược01u(k) = Kx(k) ở đó1 1 1   2K  B1A   0 1  0 1 2 012141 4 .1 4thì hệ trên là ổn định hố được.2.3. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễXét hệ phương trìnhx (k+1) = Ax(k) + Bx(k - h) + Cu(k), k +(2.4)với điều kiện ban đầu của hệ làx(0) = x(-1) =trong đó A, B  Rnn , C  Rnm , x n,u m= x(-h) = x0 ,( m  n) là biến điều khiển.Ta đã nghiên cứu tính ổn định tiệm cận (không phụ thuộc độ trễ) của hệ (2.4)trong trường hợp khơng có điều khiển. Ở đây ta sẽ nghiên cứu tính ổn định 18hóa của (2.4), tức là ta phải tìm một hàm điều khiển ngược u(k) = h(x(k)) saocho khi thay vào (2.4) thì hệ ổn định tiệm cận.2.3.1. Định nghĩa. Hệ (2.4) là ổn định hóa được (khơng phụ thuộc độ trễ)nếu tồn tại hàm u(k) = Kx(k), với K là ma trận (m  n) sao cho hệx(k + 1) = (A + CK)x (k) + Bx(k - h), k +là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ trễ.2.3.2. Định lý. Xét hệ phương trình (2.4) hệ là ổn định hoá được nếu tồn tạihai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho X(P)G V H 1E E U 1V W 0000  G' V'0 U000 0 ,00  U 1 00  E 'H 1000H0  E' V 'U 10000 H 1 (2.5)với điều khiển ngược u(k) = Kx(k) màK = -H-1E - U-1V(2.6)trong đó ký hiệuX(P) = A'PA + W + B'PB - P,G = B'PA, U  C ' PBW 1B' PCV  C ' PBW 1B' PAH= C'PC, E = C'PA.2.3.3. Ví dụ.Xét tính ổn định hố của hệ phương trình11 x1 (k  1)  4 x1 (k)  2 x1 (k  h)  u1(k),k  x (k  1)  1 x (k)  1 x (k  h)  u (k)212 242Giải.Ta có. 1911A  I  A'  I44.11B  I  B'  I,C  I  C'2211Chọn P  I, W  I  W -1  4I với điều khiển ngược K   1 I .242Khi đóX  P   A'PA  W+B'PB  P  H  C'PC G '  B'PA 7I.3211I, E  C'PA  I2811I, U  C'PBW 1B'PC  I164Theo điều kiện (2.5) của định lý 2.3.2111 7  32 I 16 I 16 I 4 I 1 I 1I 00 164 11I0I04 16 100 4I I4 1000 8I 1I000 41 I4 00 00 000 1I 0 20 2I 1I8điều này tương đương với5I  0.64Vậy hệ trên là ổn định hóa được.2.3.4. Hệ quả. Hệ (2.4) là ổn định hóa được nếu tồn tại các ma trận đốixứng xác định dương P, R, A và W nghiệm đúng hệ1(A' K 'C')A (A  CK)  W  B'PB  R  PB(W  B'PB) 1 B' A  P 1(2.7) 20với điều khiển ngược u(k) = Kx(k)K = -H-1E - U-1V(2.8)trong đó các ký hiệu H , E,U ,V như ở định lý (2.3.2).2.3.5. Hệ quả. Hệ (2.4) là ổn định hóa được nếu B khơng suy biến và tồn tạihai số dương p, q sao cho1 1 1p q(2.9)và ma trận đối xứng xác định dương X, Q thoả mãn phương trìnhp(A' + K'C') X (A + CK) + qB'XB + Q = X ,(2.10)với điều khiển ngược u(k) = Kx(k)K = -(C'XC)-1C'XA - (C'XBW-1 B'XC)-1C'XBW-1B'XA,(2.11)trong đóW = (q - 1)B'XB.(2.12)2.4. Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính cótrễXét hệ chuyển đổi tuyến tính có độ trễ có dạng:x  k  1   A  A  k  x  k    B  B  k  x  k  h   C  C  k  u  k trong đó: k ,  M  1, 2,..., N  , h ≥ 1, x  k n, u  k m( 2.13), n ≥ m,A , B  Rnn , C  R nm là các ma trận hằng, ∆Aŋ(k), ∆Bŋ(k), ∆Cŋ(k) là tham sốbiến động dưới dạng:∆Ai(k) = EiF(k)Fi ,∆Bi(k) = HiF(k)Gi ,∆Ci(k) = QiF(k)Ti .Trong đó Ei, Fi, Hi, Gi, Qi, Ti, i = 1, 2 là các ma trận hằng có chiều thích hợpvà F(k) là ma trận biến động thỏa mãn điều kiệnF k  F ' k   I. 212.4.1. Định nghĩa. Nghiệm 0 của hệ chuyển đổi tuyến tính (2.13) (đặtu(k)=0, F(k) = 0) được gọi là có tính chất ổn định tiệm cận nếu tồn tại mộthàm số vơ hướng xác định dương V(x):nvà một tín hiệu chuyển đổiŋ  {1,2, ..., N} sao cho ∆V(x(k)) = V(x(k+1)) - V(x(k)) < 0, dọc theonghiệm của hệ.2.4.2. Định nghĩa. Hệ chuyển đổi (2.13) (đặt u(k) = 0) được gọi là có tínhổn định vững nếu tồn tại một hàm số vơ hướng xác định dương V(x):n,vàmộttínhiệuchuyển 1, 2,..., Nđổisaocho∆V(x(k))=V(x(k+1)) - V(x(k)) < 0, dọc theo nghiệm của hệ đối với tất cả cácbiến động.2.4.3. Định nghĩa. Hệ chuyển đổi (2.13) được gọi là ổn định hóa vững nếuu(k) = Kx(k) sao cho hệ khép kín có tính ổn định vững.2.5. Một số điều kiện đủ cho tính ổn định vữngXét hệ phương trìnhx(k + 1) = Ax(k) + B1x(k – h),k,(2.14)trong đó h ≥ 1, A, B1 Rnn .2.5.1. Định lý. Nghiệm x = 0 của hệ (2.14) có tính ổn định tiệm cận nếu tồntại ma trận P > 0 sao choA' PA  P  B1' PB1  I  A' PB1B1' PA  0(2.15)Chứng minhXét hàm Lyapunov dạng:V  x  k    x  k  Px  k  k 1' x i Qx i  ,'i k htrong đóQ  B1' PB1  I .Hiệu số Lyapunov của hệ được xác định làV  x   V  x  k  1   V  x  k   22  Ax  k   B1 x  k  h  P  Ax  k   B1 x  k  h   x '  k  Px  k ' x'  k  Qx  k   x'  k  h  Qx  k  h  x'  k  A' PAx  k   x'  k  h  B1' PAx  k   x'  k  A' PB1x  k  h  x'  k  h  B1' PB1 x  k  h  x'  k  Qx  k   x'  k  h  Qx  k  h  .Bằng cách ghép lại các số hạng bậc hai, ta có A' PA  P  QB 1' PA V  x   y '  y,A' PB1B1' PB1  Q trong đóy = [x(k), x(k – h)].Thay B1T PB1 – Q   I vào ma trận bên phải của hệ thức cuối, ta có A' PA  P  B1' PB1  IV  x   y ' A' PB1B 1' PA  y.I Vì vậy, hiệu Lyapunov là xác định âm nếu A' PA  P  B1' PB1  IA' PB1B 1' PA   0,I hoặc, theo Định lý 1.2.2 (Định lý bổ sung Schur), nếu điều kiện (2.15) thỏamãnXét hệ chuyển đổi rời rạc tuyến tínhx  k  1  Ai x  k   Bi x  k  h  , k ,(2.16)trong đó i1, 2, ..., N.Ta kí hiệu Ai ' PAi  P  QB 1' PA Li  P, Q   ,Bi ' PABi ' PBi  Q Si  x n: x' Li  P, Q  x  0.2.5.2. Định nghĩa. Một hệ các ma trận đối xứng { Li }, i = 1, 2,..., N, đượcgọi là đầy đủ hoàn toàn nếu cho mỗi x  0 với x sao chontồn tại i 1, 2,..., N 23x' Li x  0.2.5.3. Chú ý. Cho tập hợp i  { xn: xT Li x  0} . Ta nhận thấy hệNLi  , i  1, 2,..., N là đầy đủ hoàn toàn nếu và chỉ nếui n/ 0 .i1Trong cơng trình của F.Uhlig đã chỉ ra điều kiện đủ cho tính đầy đủ hồntồn của hệ { Li } là tồn tại các số ti  0 , i  1, 2,..., p sao chopt  0 vài 1 ipt L  0 .i 1ii2.5.4. Định lý. Nghiệm x = 0 của hệ chuyển đổi tuyến tính (2.16) có tính ổnđịnh tiệm cận nếu tồn tại các ma trận P > 0, Q > 0 sao cho hệ {Li (P, Q)} làđầy đủ hoàn toàn, hoặc nếu tồn tại các số ti ≥ 0, i = 1, 2, ...., N sao choN ti  0 vài 1N t L  P, Q   0.i 1iiTín hiệu chuyển đổi được chọn là ŋ(x(k)) = i khi x(k ) Si .Chứng minh.Giả sử P, Q là các ma trận xác định dương sao choN t L  P, Q   0 ,i 1iivới một hằng số ti ≥ 0, i = 1, 2, ...., N thỏa mãn làNi 1t i  0 . Vì các số ti làkhông âm và i 1 t  0 nên ln có một số  > 0 sao cho đối với mọi số khácNikhơng x(k), ta cóN t x  k  L  P, Q  x  k    x  k  x  k  .'i 1iDo đó, có ít nhất một chỉ số i'i{1, 2,..., N} sao chox'  k  Li  P, Q  x  k    x '  k  x  k trong đó   0 . Đối với mỗi số cố định iNti 1hàm Lyapunovi(2.17){1, 2,..., N}, chúng ta xét 24  x  k    x '  k  Px  k  k 1 x  j Q x  j  ,'ij k htrong đóQi  I  Bi' PBi .Ta dùng các chỉ số được sử dụng trong chứng minh của Định lý 2.5.1, hiệuLyapunov thỏa mãnV  x  k    y '  k  Li  P, Q  y  k  ,trong đó y(k)=[(x(k), x(k - h)]. Theo Chú ý 2.5.3, chúng ta cóNSi P n/ 0i 1chọn tín hiệu chuyển đổi ŋ(x(k)) = i, khi x(k ) Si và theo (2.17), ta cóV  x  k    y '  k  Li  P, Q  y  k     y  k   0,2Cho β > 0 suy ra điều phải chứng minh.Sau đây ta chứng minh điều kiện đủ cho sự ổn định vững của hệ (2.13).Đặt1Ri  P 1 – ( E Ei  H i ),Wi  P   Ai ' Ri 1 Ai  P    Fi ' Fi  Gi 'G   Bi ' Ri ' Bi' I   Fi 'Gi  Ai ' Ri 1Bi   Fi 'Gi  Ai ' Ri 1Bi  ,M i  x n': xW p  x  0.2.5.5. Định lý. Hệ chuyển đổi tuyến tính (2.13) (chọn u(k) = 0) có tính ổnđịnh vững nếu có tồn tại một ma trận P > 0 và một số  > 0 thoả mãn I – ( Ei' PEi  Hi ' PHi )  0(2.18)sao cho hệ {Wi (P)} là hoàn toàn đầy đủ, hoặc nếu tồn tại các số ti > 0,Nt  0 , sao choi 1 iN t W  P  0 .i 1iiTín hiệu quy đổi được chọn là ŋ(x(k)) = i khi x  k  M i .Chứng minh.(2.19) 25ĐặtA i  Ai  Ai  k Bi  Bi  Bi  k  .Sử dụng định lý 2.5.4, hệ  Ai , Bi  có tính ổn định tiệm cận nếu có các ma trậnP, Q > 0 sao cho Ai ' P Ai  P  QAi ' PBi 0ti'i 1Bi P AiBi PBi  Q N(2.20)Nhận thấy Ai ' P Ai  P  QAi ' PBi   Q  P 0   Ai '    '  P Ai Bi'0Q  Bi Bi P AiBi PBi  Q  Mặt khác, sử dụng điều kiện (2.18) và định lý 1.2.2 (chương 1) ta có A'   F'   Ai ' E   P Ai Bi    i    i  F '  k   Ei ' , H i '   P   Ai , Bi    i  F  k   Fi , Gi  B'  B '  G '   Hi  i i   i  Ai '  1 Fi '   T  Ri  Ai , Bi     '   Fi , Gi B G  i  i A ' R 1 A   Fi ' Fi  i ' i 1 i B R A  G 'Fi i i i iAi ' Ri 1Bi   Fi 'Gi  .Bi ' Ri 1Bi   Gi 'Gi Do đó Ai ' P Ai  P  QAi ' PBi  R   ' 1 i'Bi ' P AiBi PBi  Q   Bi Ri Ai   Gi Fitrong đóRi  Q – P  Ai' Ri1 Ai  Fi ' Fi Si= B i' Ri1   Gi' Gi – Q.LấyQ  Bi' Ri1Bi   Gi'Gi  I ,ta cóAi ' Ri 1Bi   Fi 1Gi ,Si

Tài liệu liên quan

• Tinh giai duoc cua mot lop he phuong trinh elliptic khong tuyenh tinh
  • 57
  • 479
  • 3
• Phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm có xung
  • 57
  • 695
  • 1
• KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
  • 9
  • 1
  • 4
• Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ luận văn thạc sỹ toán học
  • 31
  • 376
  • 0
• Về tính ổn định của một lớp hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên
  • 23
  • 401
  • 2
• Đặc trưng không gian trạng thái và tính ổn định của một số hệ Sandpile Model mở rộng
  • 122
  • 441
  • 0
• tóm tắt luận án tiến sĩ đặc trưng không gian trạng thái và tính ổn định của một số hệ sandpile model mở rộng
  • 25
  • 449
  • 0
• Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Khảo sát tính ổn định của hệ thống part 1 pdf
  • 10
  • 670
  • 2
• Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Khảo sát tính ổn định của hệ thống part 2 pptx
  • 10
  • 511
  • 3
• Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Khảo sát tính ổn định của hệ thống part 3 pps
  • 10
  • 543
  • 2

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(627.24 KB - 31 trang) - Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ Tải bản đầy đủ ngay ×