Tính Tích Phân Bằng Phương Pháp Đổi Biến Số Và Bài Tập Có Lời Giải

Có thể bạn quan tâm

Vậy phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số thực hiện như thế nào? Bài viết dưới đây chúng ta cùng tìm hiểu các bước thực hiện khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và vận dụng giải các bài tập tích phân minh họa.

» Đừng bỏ lỡ: Tích phân từng phần, Công thức cách tính và Bài tập có lời giải chi tiết, dễ hiểu

I. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

• Kiến thức cần nhớ:

Định lý: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = μ(t) có đạo hàm liên tục trên [α;β] sao cho μ(α) = a; μ(β) = b và a ≤ μ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f \left ( \mu (t) \right )\mu '(t)dt$

- Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ta thường gặp 2 dạng đổi biến sau:

• Phương pháp đổi biến số dạng 1:

- Đặt $x=\mu (t)$ thỏa điều kiện của công thức

- Biến đổi: $f(x)dx=f\left [ \mu (t) \right ] \mu' (t)dt=g(t)dt$

- Tìm một nguyên hàm của g(t) rồi áp dụng

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }g(t)dt=G(t)\left |\begin{matrix} \beta \\ \alpha \end{matrix} \right.$

> Lưu ý: Đối với dạng (a2 - x2) thì đặt x = asint, dạng (a2 + x2) thì đặt x = atant.

• Phương pháp đổi biến số dạng 2:

- Đặt $t=v(x)\Rightarrow x=g(t)$ đổi cận

- Biểu diễn f(x)dx = g(t)dt

- Áp dụng: $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }g(t)dt=G(t)\left |\begin{matrix} \beta \\ \alpha \end{matrix} \right.$

II. Bài tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

* Bài tập 1 : Tính cáctích phân sau:

$a)\: I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x(cos^3x-1)dx$

$b)\:J= \int_{0}^{1}x^2\sqrt{x^3+5}dx$

$c)\: K=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cosx(1+sin^4x)dx$

* Lời giải: (sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1)

$a)\: I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x(cos^3x-1)dx$

- Ta có: $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^5xdx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2xdx=I_1-I_2$

- Xét: $I_2=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^xdx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+cos2x)dx$ $=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}sin2x)\left |\begin{matrix} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{matrix} \right.=\frac{\pi }{4}$

- Xét: $I_1=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^5xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^4x.cosx.dx$ $=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-sin^2x)^2d(sinx)$

$=\left ( \frac{1}{5}sin^5x-\frac{2}{3}sin^3x+sinx \right )\left |\begin{matrix} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{matrix} \right.=\frac{8}{15}$

Vậy: $I=I_1-I_2=\frac{8}{15}-\frac{\pi }{4}$

$b)\:J= \int_{0}^{1}x^2\sqrt{x^3+5}dx$

- Ta có: $d(x^3+5)=3x^2dx\Rightarrow \frac{d(x^3+5)}{3}=x^2dx$

$\Rightarrow J=\int_{0}^{1}\sqrt{x^3+5}\frac{d(x^3+5)}{3}=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}(x^3+5)^{\frac{1}{2}}d(x^3+5)$

$=\frac{1}{3}\frac{(x^3+5)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\left |\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} \right.$ $=\frac{2}{9}(x^3+5)\sqrt{x^3+5}\left |\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} \right.=\frac{4\sqrt{6}}{3}-\frac{10\sqrt{5}}{9}$

$c)\: K=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cosx(1+sin^4x)dx$

- Ta có: $K=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+sin^4x)d(sinx)=\left (sinx+\frac{1}{5}sin^5x \right )\left |\begin{matrix} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{matrix} \right.$ $=1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$

* Bài tập 2: Tính các tính phân sau:

$a)\: I=\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx$ $b)\: J=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}$

$c)\: K=\int_{e}^{e^2}\frac{dx}{xlnx}$ $d)\: L=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosx}{(sinx+cosx)^3}dx$

* Lời giải: (sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2)

$a)\: I=\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx$

- Đặt $x=2sint,\: t\in \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ $\Rightarrow dx=2costdt$

- Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0;x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$

$I=\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4-4sin^2t}.2costdt$

$=4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2tdt=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+cos2t)dt$ $=(2t+sin2t)\left |\begin{matrix} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{matrix} \right.=\pi$

$b)\: J=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}$

- Đặt $x=tant,t\in \left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$ $\Rightarrow dx=\frac{dt}{cos^2t}$

- Đổi cận: x = 0 thì t = 0; x = 1 thì t = π/4.

$\Rightarrow J=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+tan^2t}.\frac{dt}{cos^2t}$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+tan^2t}.(1+tan^2t).dt=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}dt=t\left |\begin{matrix} \frac{\pi }{4}\\ 0 \end{matrix} \right.=\frac{\pi }{4}$

$c)\: K=\int_{e}^{e^2}\frac{dx}{xlnx}$

- Đặt $t=lnx\Rightarrow dt=\frac{dx}{x}$

- Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = e2 ⇒ t = 2.

$K=\int_{e}^{e^2}\frac{dx}{xlnx}=\int_{1}^{2}\frac{dt}{t}=ln\left | t \right |\left |\begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix} \right.=ln2-ln1$

$d)\: L=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosx}{(sinx+cosx)^3}dx$

- Ta có: $L=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosx}{(sinx+cosx)^3}dx= \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosx}{(\frac{sinx}{cosx}+1)^3.cos^3x}dx$ $=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{(tanx+1)^3}\frac{dx}{cos^2x}$

- Đặt $t=tanx+1\Rightarrow dt=\frac{dx}{cos^2x}$

- Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = π/4 ⇒ t = 2.

$\Rightarrow L=\int_{1}^{2}\frac{dt}{t^3}=-\frac{1}{2t^2}\left |\begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix} \right.=-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{2} \right )=\frac{3}{8}$

III. Bài tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số tự làm

* Bài tập 1: Tính các tính phân sau:

$a)\: \int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{5x-1}}$ $b)\: \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cosx}{1+sinx}dx$

$c)\: \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi }{6}}\frac{dx}{cos^22x}$ $d)\: \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{dx}{sin^2\left ( \frac{x}{3} \right )}$

* Hướng dẫn:

a) Đặt t = 5x - 1 (hoặc sử dụng pp đổi biến số dạng 1)

b) Đặt t = 1 + sinx

c) Đặt t = 2x.

d) Đặt t = x/3.

* Bài tập 2: Tính các tính phân sau:

$a)\: \int_{-1}^{1}\frac{e^{|x|}}{1+e^x}dx$ $b)\: \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^3xdx$

* Hướng dẫn:

$a)\: \int_{-1}^{1}\frac{e^{|x|}}{1+e^x}dx$ $=\int_{-1}^{0}\frac{e^{-x}}{1+e^x}dx+\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{1+e^x}dx$

Xét $I=\int_{-1}^{0}\frac{e^{-x}}{1+e^x}dx$ Đặt t = -x thì dt = -dx hay dx = -dt;

Đổi cận: x = -1 thì t = 1; x = 0 thì t = 0.

$\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{e^{-t}+1}dt=\int_{0}^{1}\frac{e^{2t}}{e^{t}+1}dt=\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}}{e^{x}+1}dx$

Do đó: $\int_{-1}^{1}\frac{e^{|x|}}{1+e^x}dx= \int_{0}^{1}\frac{e^x(e^x+1)}{e^x+1}dx=\int_{0}^{1}e^xdx=e-1$

$b)\: \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^3xdx$

- Ta có: $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^3xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}[tanx(1 + tan^2x)-tanx]dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tanxd(tanx)+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{d(cosx)}{cosx}$ $=\left (\frac{1}{2}tan^2x+ln|cosx| \right )\left |\begin{matrix} \frac{\pi }{4}\\ 0 \end{matrix} \right.=\frac{1}{2}(1-ln2)$

* Bài tập 3: Tính các tích phân sau:

$a)\: \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{sin^5x}{cos^7x}dx$ $b)\: \int_{0}^{1}\frac{dx}{e^x+1}$

$c)\: \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{dx}{sin2x}$ $d)\: \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^2}$

* Hướng dẫn:

$a)\: \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{sin^5x}{cos^7x}dx$ $=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^5x\frac{dx}{cos^2x}$

- Đặt t = tanx.

$b)\: \int_{0}^{1}\frac{dx}{e^x+1}$ $=\int_{0}^{1}\frac{e^x}{e^x(e^x+1)}dx$

- Đặt t = ex + 1.

$c)\: \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{dx}{sin2x}$ $= \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{\frac{dx}{cos^2x}}{\frac{sin2x}{cos^2x}}=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{\frac{dx}{cos^2x}}{tanx}$

$=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{d(tanx)}{tanx}=\frac{1}{2}ln|tanx|\left |\begin{matrix} \frac{\pi }{3}\\ \frac{\pi }{4} \end{matrix} \right.=\frac{1}{4}ln3$